• У цьому випадку це конструктивне (генетичне) означення.

• Задача 6. Для поняття «квадрат» сформулюйте декілька еквівалентних означень.

• Зразок відповіді.

• 0₁. Прямокутник, у якого всі сторони рівні, називається квадратом.

• 02. Квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні.

• 0₃. Квадрат – це ромб, у якого всі кути прямі.

• 04. Ромб з прямими кутами називається квадратом.

• 0₅ Квадрат – це ромб з рівними діагоналями.

• Хоча означення поняття відрізняються, обсяги означуваного поняття збігаються, тобто О₁ – О5 – еквівалентні означення.

• Для одного і того самого поняття можна дати декілька правильних означень. Такі означення відрізняються за змістом.

• Задача 7. Установіть, чи правильним є означення призми. Якщо воно є неправильним, укажіть характер помилки.

• «Призмою називається многогранник, у якого дві грані, – рівні многокутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші грані – паралелограми».

• Зразок відповіді. В означенні не названі всі необхідні видові ознаки. Даному означенню задовольняють не лише призми, але й інші многогранники, відмінні від призм (рис.1). Означення є занадто широким, зміст поняття збіднений, перерахованих у означенні видових ознак недостатньо для означення.

• 

• Рис. 1. Многогранники

• Евристики і пошук розв'язання

• У процесі роботи з математичними поняттями слід звернути увагу на використання евристичних прийомів загального виду [9], а саме класифікація, обмеження, узагальнення тощо.

• КЛАСИФІКАЦІЯ

• Класифікація є одним із видів поділу.

• У зв'язку з тим, що відмінність поділу від класифікації у навчанні шкільної ма­тематики не має суттєвого значення, немає потреби чинити відмінність між ними.

• Задача 9. Запропонуйте поділ поняття «паралелограм».

• Зразок відповіді. Поняття «паралелограм» можна класифікувати за допомогою схеми (див. рис. 2) з переліком членів поділу: спочатку за основу класифікації обрано рівність сторін, по друге - основою класифікації послужила градусна міра кутів паралелограму.

• Схематично співвідношення між родовим і видовим поняттями можна зобразити, наприклад, у вигляді схеми Ейлера-Венна (рис. 3).

• 

• Рис. 3. Класифікація поняття паралелограм"у вигляді схеми Ейлера-Венна

• Задача 10. Перевірте, чи правильно виконана дія ділення поняття. Якщо так, за якою основою виконано ділення?

• а) прямокутники можуть бути рівносторонні та нерівносторонні;

• б) трикутники діляться на різносторонні, рівнобедрені та рівносторонні;

• в) чотирикутники діляться на прямокутники, ромби та квадрати;

• г) трикутники можуть бути правильні, гострокутні, тупокутні, рівносторонні;

• д) раціональні числа бувають додатні та від'ємні;

• є) функції бувають парні, непарні, загального виду;

• ж) трапеція може бути рівнобічна, прямокутна;

• з) піраміда ділиться на повні піраміди та зрізані. Зразок відповіді.

• а). Рівносторонні та нерівносторонні прямокутники знаходяться у відношенні протилежності, за основу ділення було взято довжина сторін.

• б), в). Не виконується вимога про те, що члени ділення повинні виключати один одного. Для пункту б) перераховані види трикутників не виключають один одне, рівносторонній трикутник є одночасно рівнобедреним. Для пункту в) квадрат одночасно є і ромбом, і прямокутником.

• г), ж). Не виконується вимога, про те, що ділення повинно мати одну основу. Основою служать дві ознаки: градусна міра кутів та довжина сторін.

• д, є), з). Не виконується вимога, про те, що ділення повинно бути помірним, тобто обсяг поняття що ділиться, повинен дорівнювати сумі обсягів понять, які є членами ділення. У випадку д) пропущений один член ділення – нуль. У випадку є) пропущений один член ділення – функція у = 0 (і парна і непарна одночасно). У випадку з) сума обсягів понять повної піраміди та зрізаної піраміди більша від обсягу діленого (зрізана піраміда не є видом піраміди).

• Задача 11. Запропонуйте класифікацію чисел, що вивчаються у загальноосвітній школі.

• Зразок відповіді.

• Така класифікація може бути представлена схемою, зображеною на рис. 4.

• 

• Рис. 4. Класифікація чисел

• Варто пам'ятати:

1. класифікація повинна проводитися лише за однією основою;

2. ієрархічна класифікація має бути лише безперервною (без пропусків рів­нів ділення);

3. сума обсягів видових понять повинна збігатися з обсягом родового поняття (вимога повноти класифікації);

1. отримані підкласи повинні виключати один одного.