Вопросы и задания

9.1. При помощи карт Карно найдите минимальные формы функций трех переменных у₁(х₁,х₂,х₃), у₂(х₁,х₂,х₃), у₃(х₁,х₂,х₃), заданных таблично:

х1	х2	х3	у1	у2	у3
0	0	0	1	0	1
0	0	1	0	1	1
0	1	0	0	1	0
0	1	1	0	1	0
1	0	0	0	1	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	0
1	1	1	1	1	0

Сравните полученный результат с результатом задания 8.2.

9.2. Найдите минимальную форму функций четырех переменных у₁(х₁,х₂,х₃,х₄), у₂(х₁,х₂,х₃,х₄), у₃(х₁,х₂,х₃,х₄), заданных таблично:

х1	х2	х3	х4	у1	у2	у3
0	0	0	0	1	0	1
0	0	0	1	1	0	1
0	0	1	0	0	0	1
0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	0	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1
0	1	1	0	0	1	1
0	1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	0
1	0	0	1	0	1	1
1	0	1	0	1	0	1
1	0	1	1	0	1	1
1	1	0	0	0	0	1
1	1	0	1	1	0	1
1	1	1	0	0	0	0
1	1	1	1	1	0	1

Ответы

3.1. в) "ни один человек не был в космосе"

3.2. "Квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов"

3.3. "Из трех одиннадцатиметровых штрафных ударов вратарь отбивает два, три или ни одного"

3.4. "3 – простое число" и "5 – простое число"

3.5.х₁ – "ответ на 1^ый вопрос – правильный", х₂ – "ответ на 2^ый вопрос –правильный", и т.д. Условие получения оценки пять: х₁х₂х₃х₄х₅.

3.7. Исходная цепь:

Примеры цепей, в которых проходящий через источник ток в два раза больше, чем в исходной цепи:

а)

б)

в)

Простые высказывания:

y – ток в новой цепи в два раза выше, чем в исходной;

х₁ – новая цепь имеет вид а);

х₂ – новая цепь имеет вид б);

х₃ – новая цепь имеет вид в).

Сложное высказывание:

3.8. Условие получения оценки 4:

Условие получения оценки 1:

3.10. "Если двигатель автомобиля удалось завести, то в автомобиле есть топливо"

3.11. "Если цены на нефть растут и добыча нефти постоянна, то выручка нефтяной компании увеличивается".

3.12.

х1	х2
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	1

3.14. "Сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный"

3.15. "Предохранитель срабатывает тогда и только тогда, когда проходящий через него ток превышает допустимое значение"

3.17.

а)

							– тождество не верно
0	0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	1	0	1
0	1	0	0	1	0	1
0	1	1	0	1	0	1
1	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0	1
1	1	0	1	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1

б)

							– тождество верно
0	0	0	1	0	1	1
0	0	1	1	0	1	1
0	1	0	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	0	1	0	1	1
1	0	1	1	0	1	1
1	1	0	1	0	1	1
1	1	1	1	1	0	1

в)

					– тождество верно
0	0	0	0	0
0	1	1	1	1
1	0	0	1	1
1	1	0	1	1

г)

						– тождество верно
0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	0	1

Верные тождества – б), в), г).

4.1.

5.1. Доказательство законов ассоциативности:

x	y	z						yz	x(yz)	xy	(xy)z
0	0	0	0	0	0	0		0	0	0	0
0	0	1	1	1	0	1		0	0	0	0
0	1	0	1	1	1	1		0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1		1	0	0	0
1	0	0	0	1	1	1		0	0	0	0
1	0	1	1	1	1	1		0	0	0	0
1	1	0	1	1	1	1		0	0	1	0
1	1	1	1	1	1	1		1	1	1	1

Доказательство законов поглощения:

x	y	xy
0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	1	0
1	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1

5.2.

а) ­– не является тождеством

б) – верное тождество

в) – верное тождество

6.1. Нет, не может. Дизъюнктивной нормальной форме всегда соответствует единственная совершенная дизъюнктивная нормальная форма.

6.2. Да, может. Совершенной дизъюнктивной нормальной форме может соответствовать множество различных дизъюнктивных нормальных форм.

6.3.

а)	;
б)	;
в)
г)

6.4. Макситерму соответствует параллельное соединение нескольких ключей. Схема, соответствующая конъюнктивной нормальной форме, представляет собой последовательно соединенные элементы, каждый из которых соответствует макситерму.

7.1. Состояние лампочки (y) должно меняться при изменении состояния любого из переключателей (x₁ и x₂). Таблицу соответствия удобнее будет составлять так, чтобы каждая следующая строчка отличалась значением только одной из переменных (x₁, x₂). Один из возможных вариантов таблицы соответствия, ее аналитического описания и соответствующей переключательной схемы:

x1	x2	y
0	0	0
0	1	1
1	1	0
1	0	1

7.2. При составлении таблицы соответствия будем действовать аналогично предыдущему заданию:

x1	x2	x3	y
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	1	0
0	1	0	1
1	1	0	0
1	1	1	1
1	0	1	0
1	0	0	1

8.1. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы:

;

;

.

Совершенные конъюнктивные нормальные формы:

;

;

.

8.2.Минимальные формы:

;

.

9.1.Карты Карно для функцийу₁, у₂ и у₃:

Минимальные формы для функций у₁, у₂ и у₃:

; ;;

9.2.Карты Карно для функций у₁, у₂ и у₃:

Минимальные формы для функций у₁, у₂ и у₃:

; ;.