- •Конспект лекций по дисциплине «Диагностика и надежность автоматизированных систем»
- •Содержание
- •Раздел 1. Общие сведения по теории надежности 2
- •Раздел 2. Принципы описания надежности автоматизированных систем управления технологическими процессами (асу тп) 27
- •Раздел 3. Расчет надежности систем без учета восстановления 51
- •Раздел 4. Методы технического диагностирования систем автоматического управления 129
- •Раздел 1. Общие сведения по теории надежности
- •1.1. Основные термины и определения
- •1.2. Показатели надежности объектов
- •1.3. Показатели надежности невосстанавливаемых объектов
- •1.4.Основные законы распределения случайных величин в теории надежности
- •1.4.1. Экспоненциальный закон распределения
- •1.4.2. Закон распределения Релея
- •1.4.3. Нормальное распределение
- •1.4.4. Логарифмически нормальное распределение
- •1.4.5. Распределение Вейбулла
- •1.4.6. Гамма-распределение
- •1.5. Показатели надежности восстанавливаемых объектов
- •Раздел 2. Принципы описания надежности автоматизированных систем управления технологическими процессами (асу тп)
- •2.1. Надежность асу тп как совокупности комплекса технических средств, программного обеспечения и оперативного персонала
- •2.2. Надежность асу тп как совокупности функций. Надежность асутп с учетом взаимосвязи с внешней средой.
- •Надежность асу тп с учетом взаимосвязи с внешней средой. Критерии отказов и показатели надежности асу тп в целом
- •2.3. Взаимосвязь надежности и других свойств асу тп
- •Раздел 3. Расчет надежности систем без учета восстановления
- •3.1. Основные этапы расчета надежности и методы расчета надежности без учета восстановления
- •3.2. Расчет характеристик надежности резервированных объектов без учета восстановления
- •3.3. Расчет надежности каналов технологического контроля, систем защиты технологического оборудования и систем регулирования
- •3.4. Расчет надежности систем с учетом восстановления
- •Методы, основанные на использовании классической теории вероятностей
- •Метод, основанный на использовании теории массового обслуживания
- •Метод, основанный на использовании теории графов
- •3.5. Расчет надежности функций асутп
- •Надежность программного обеспечения
- •Расчет надежности функций с учетом действий оператора
- •Раздел 4. Методы технического диагностирования систем автоматического управления
- •4.1. Методологические основы технического диагностирования
- •4.2. Организация поиска дефектов
- •4.3. Влияние периодичности диагностических циклов на показатели надежности восстанавливаемых систем
- •Библиографический список
Метод, основанный на использовании теории графов
Не составляя и не решая дифференциальных или интегральных уравнений, можно получить количественные характеристики надежности восстанавливаемых резервированных устройств.
Непосредственно по известному графу состояний записываются выражения для установившегося значения коэффициента готовности, а также выражения в преобразованиях Лапласа для вероятности безотказной работы и вероятности застать устройство в исправном состоянии в любой момент времени.
Рассмотрим эту методику на частном примере.
Пусть дано некоторое устройство (элемент, узел, блок, система и т. п.), для повышения надежности которого применено общее постоянное резервирование.
Известны:
интенсивности перехода устройства из i-го состояния в состояния i-1 и i+1;
необходимое время работы устройства;
кратность резервирования;
число обслуживающих бригад.
Необходимо вычислить вероятность безотказной работы Р(t) в течение времени t и вероятность того, что резервированное устройство будет исправно в любой момент времени
Решение. Сделаем следующие допущения:
длительность безотказной работы и время восстановления отдельных элементов подчиняются экспоненциальному закону;
при отказе одного из устройств оно сразу же отправляется на восстановление и ожидает очереди на обслуживание, если все ремонтные бригады заняты, или немедленно начинается процесс восстановления, если очереди на обслуживание нет.
При указанных выше допущениях функционирование резервированного устройства можно представить уже известным графом, изображенным на рис.31.
В дальнейшем для конкретности предположим, что кратность резервирования m=2, все устройства равнонадежны, каждое из них имеет интенсивность отказов , а при отказе любого из устройств надежность исправных не меняется. Предположим, что резервированная система обслуживается одной бригадой, а интенсивность восстановления равна μ. Тогда граф рис. 31 преобразуется в граф, показанный на рис. 33.
Рис.33. Граф переходов системы при двухкратном резервировании
Из нулевого состояния (все устройства исправны) возможен переход в состояние 1, когда одно устройство отказало и отправлено в ремонт, а два других исправны. Интенсивность перехода будет . Из состояния 1 возможен переход либо в состояние 0 с интенсивностью восстановления, либо в состояние 2 с интенсивностью отказов. В состоянии 2 одно устройство исправно, одно ремонтируется и одно ожидает ремонта.
Из состояния 2 вновь возможны два перехода: в состояние 1 с интенсивностью восстановления (так имеется только одна ремонтная бригада) и в состояние 3 с интенсивностью перехода. В состоянии 3 все устройства отказали, поэтому возможен переход только в состояние 2 с интенсивностью восстановления.
Если имеется несколько бригад обслуживания, то вид графа не меняется, а изменяются лишь интенсивности перехода . Так, например, если имеется две бригады обслуживания, то,. Если число бригадk=3, то ,,. Вид графа также не изменяется, если имеет место резервирование замещением. В этом случае(в предположении, что интенсивности отказов резервных устройств до включения в работу равны нулю).
Если отказ одного из устройств вызывает изменение интенсивности отказов устройств, оставшихся исправными, то вид графа вновь не изменяется. В этом случае ,,, где– интенсивность отказов любого из устройств, когда все они иcправны; – интенсивность отказов каждого из исправных устройств при отказе любого одного;–интенсивность отказов исправного устройства при отказе двух любых устройств.
Рассмотрим, как деформируется приведенный на рис. 33 граф в случае резервирования по схеме группирования (с дробной кратностью, когда m=1/2). Так как отказ наступает, когда отказывают любые два устройства, то при одной бригаде обслуживания,,,,.
Очевидно, что в этом случае граф будет иметь вид, показанный на рис.34.
Рис.34. Граф переходов системы при общем резервировании с кратностью m=1/2
Независимо от вида графа ясно, что для нахождения количественных характеристик надежности перечисленных в нашем примере случаев достаточно было бы получить формулы для вычисления вероятностей состояний устройства в зависимости от интенсивностей переходов и.
Получим расчетные формулы для коэффициента готовности, вероятности застать систему в исправном состоянии в любой момент времени и вероятности безотказной работы системы.
Составим систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение такого устройства:
(3.4.61)
Начальные условия:
Решая эту систему уравнений с помощью преобразования Лапласа, приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений:
(3.4.62)
где – преобразования Лапласа вероятности.
Правило Крамера дает решение такой системы в виде
(3.4.63)
(3.4.64)
где – главный определитель системы;– частный определитель, который находится из (3.4.64) заменойi-го столбца коэффициентами, стоящими в правых частях уравнений (3.4.62).
Раскрывая по степенямp, получаем
(3.4.65)
Анализируя вид коэффициентов в определителе , можно заметить, что они построены следующим образом. Свободный член равен 0. Это является необходимым условием существования стационарных решений длятак как
Коэффициент при равен 1. Коэффициент припредставляет собой сумму всех интенсивностей переходов графа рис.33. Коэффициент приесть сумма попарных произведений интенсивностей переходов, за исключением произведений видаи. Наконец, коэффициент приесть сумма произведений интенсивностей переходов, взятых по три, за исключением тех, в которых встречаются те же произведенияи, т. е., остаются только произведения интенсивностей переходов, из каждой крайней точки графа состояний в данную (– в точку 0,– в точку 1,– в точку 2,– в точку 3).
В нашем случае имеется только одно отказовое состояние – состояние 3. Поэтому вероятность есть вероятность простоя, причем
,
где
(3.4.66)
Из выражения для видно, что этот определитель представляет собой произведение интенсивностей переходов из всех возможных исправных состояний в неисправное состояние 3.
Таким образом, для нашей задачи вероятность пребывания резервированной системы в состоянии 3 или вероятность простоя в преобразовании Лапласа будет иметь вид
(3.4.67)
Если известно , то вероятность застать систему в исправном состоянии находится из выражений
(3.4.68)
Установленное нами правило для системы, граф состояний которой соответствует рис. 33, оказывается справедливым для системы с произвольным числом состояний, граф которой изображен на рис.31, т. е.
, (3.4.69)
где
–сумма произведений интенсивностей переходов, взятых по i-1, за исключением тех членов, в которых содержатся произведения вида (i=0,1,2,…,k-2).
Граф состояний резервированной восстанавливаемой системы может иметь более сложный вид, чем показанный на рис.31. Сложные ветвящиеся графы получаются при раздельном резервировании, учете двух характеров отказов, отсутствии контроля моментов отказов отдельных устройств резервированной системы, резервировании неравнонадежных устройств и т. п.
В этих случаях может быть несколько отказовых состояний. Тогда вероятность того, что резервированная система будет неисправна в любой момент времени t, равна
(3.4.70)
где – вероятность того, что система в момент времениt находится в i-м отказовом состоянии; N — число отказовых состояний.
Очевидно, что преобразование Лапласа для находится из выражения
где – главный определитель системы;– частный определитель;– число, зависящее от уровня отказового состояния;– число состояний системы.
Нами установлено, что независимо от вида графа резервированной восстанавливаемой системы коэффициенты определителянаходятся по указанному выше правилу.
Оказывается, что число n и коэффициенты частного определителя легко находятся непосредственно из графа и выражений для коэффициентовA при соответствующих степенях p определителя . Степень полинома числителя определяется из выражения
,
где – число состояний устройства, равное числу узлов графа;– номер уровняi-го отказового состояния, численно равный количеству неисправных устройств резервированной системы, находящейся в отказовом состоянии i.
Коэффициент определителянаходится непосредственно из коэффициентапри той же степениp определителя . Оказывается, чтосодержит те члены коэффициента, в которых имеются произведения всех интенсивностей переходов из состояния 0(все элементы исправны) в отказовое состояниеi по кратчайшему пути, т. е. без восстановления.
Описанная методика позволяет особенно легко найти установившееся значение функции готовности – коэффициент готовности.
Так как
(3.4.71)
то
,
Для нашего примера
.
По известной функции готовности легко также найти вероятность безотказной работы. Очевидно, что в графе состояний теперь будут отсутствовать переходы из отказовых состояний всего устройства в исправные. Тогда для отыскания преобразования Лапласа вероятности отказа достаточно в выражении для вычеркнуть члены, которые содержат интенсивности переходов из отказовых состояний системы в исправные во всех коэффициентахи. В нашем примере необходимо вычеркнуть члены, в которых содержится коэффициент. Тогда из выражения дляполучим
Зная , легко найти среднюю наработку до первого отказа.
Так как
, (3.4.72)
то
(3.4.73)
т. е. для определения средней наработки до первого отказа достаточно найти преобразование Лапласа и затем, подставляя в негоp=0, записать выражение для средней наработки до первого отказа.
Для нашего примера из выражения для имеем
Описанный метод расчета надежности резервированных восстанавливаемых устройств позволяет найти расчетные соотношения непосредственно из графа состояний системы, не составляя и не решая уравнений массового обслуживания. Его недостаток в том, что для определения инеобходимо находить обратные преобразования Лапласа от функцийипредставляющих собой дробно-рациональные функции.