04 АЗЭ Лабораторные работы / 2013 Практикум ЛР АЗЭ

		a11	a12	...	a1s
		a	a	...	a
At		21	22			2s
		.	.		.
			ap 2
		ap1		...	aps

Очевидно, что для строки транспонированной матрицей является столбец, а для столбца—строка.

Квадратная матрица А равна транспонированной Аt, если она симметрична, т. е. если aij a ji . Частным случаем симметричной матрицы является диагональ-

ная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы, расположенные на диагонали. Диагональная матрица порядка р

a1		0	...	0
	0	a	...	0
		2
.		.		.
	0	0	...	ap

сокращенно записывается как

A diag(ai ),i 1, 2,..., p.

Если все элементы ai - диагональной матрицы равны единице, т. е.

1	0 ...	0
A 0	1 ...	0		(	ij )
. .		.
0	0 ...	1
где ij - символ Кронекера ( ij 0 при		i j и				ij 1 при	i j ), то такая

матрица называется единичной и обозначается символом 1. Столбец, все элементы которого равны единице, называется единичным столбцом и обозначается n. Транспонированный единичный столбец есть единичная строка nt.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом 0.

Определителем квадратной матрицы А называется определитель, эле-

менты которого равны элементам матрицы; он обозначается символом |А|. Квадратная матрица A (aij ) называется неособенной (или невырож-

денной), если ее определитель отличен от нуля; в противном случае матрица называется особенной.

Умножение матриц на число и сложение матриц. Произведением мат-

рицы A (aij ) на число а называется матрица, элементы которой получены из элементов матрицы А умножением на число а:

51

a11a

A 21.ap1

a12	...	a1s
a	...	a
22			2s .
.		.
ap 2
	...	aps

Суммой двух матриц A (aij ) и B (bij ) , имеющих одинаковое число строк и столбцов, называется матрица С (сij ) , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В ( сij aij bij ).

Умножение матриц. Умножение матриц А и В определяется только в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом элементы матрицы-произведения С A B вычисляются следующим обра-

зом: элемент cij i й		строки	j го столбца матрицы С равен сумме	произ-
ведении	элементов	i й	строки матрицы А на соответствующие	элемен-
ты j го	столбца матрицы В. При

A (aij ),i 1, 2,..., p; j 1, 2,..., s;

B (bij ),i 1, 2,..., s; j 1, 2,..., q; получим С A B (cij ),i 1, 2,..., p; j 1, 2,..., q , причем

s

cij ailblj l 1

Очевидно, что произведение двух прямоугольных матриц есть прямоугольная матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицысомножителя, а число столбцов — числу столбцов второй матрицы сомножителя.

Произведение двух матриц не обладает свойством коммутативности, т. е. A B B A . Даже сама постановка вопроса об этом равенстве имеет смысл только для квадратных матриц А и В одинакового порядка. Действительно, матрицы A B и B A имеют смысл одновременно только в том случае, если число строк первой матрицы равно числу столбцов второй, а число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. При выполнении этих условий матрицы A B и B A будут квадратными, но разных порядков, если А и В не квадратные. Но даже и для квадратных матриц одинакового порядка*в общем слу-

чае A B B A .

В отдельных случаях умножение двух матриц может быть коммутативно. При этом матрицы-сомножители называются перестановочными. Так, единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка и играет • среди квадратных матриц такую же роль, как и единица среди чисел, т. е.

1 A A 1 A

52

Из определения операции умножения матриц следует, что транспонированная матрица-произведение равна произведению транспонированных мат- риц-сомножителей, взятых в обратном порядке:

A B t Bt At .

Обращение матриц. Для квадратной неособенной матрицы А определена

операция ее обращения, т. е. нахождения обратной матрицы A 1 . Обратной матрицей по отношению к данной называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу:

А A 1 A 1 A 1.
Элементы обратной матрицы A 1 B bij						А-1 = В = (6,у) вычисляются по
формуле
bij	Aij		A		,
где Aij - алгебраическое дополнение	элемента					aij ; в определителе матрицы
А.

Обратная матрица произведения двух квадратных матриц равна произведению обратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

А C 1 C 1 A 1

Кроме того, транспонированная обратная матрица равна обратной транспонированной матрице:

А 1 At 1
t
Обращение матрицы при помощи разбиения на блоки. Обратную
матрицу B A 1 можно получить, решив систему матричных уравнений	AB 1

при представлении матриц в блочной форме, т. е. при разделении обращаемой матрицы на несколько матриц меньшего порядка (блоков). Разбиение исходной матрицы А на блоки осуществляется тем или иным образом в соответствии с ее конкретной структурой.

Рассмотрим наиболее часто применяемый случай разбиения матрицы на четыре блока таким образом, что диагональные блоки являются квадратными и неособенными. Тогда получим следующее матричное уравнение:

A	A			В	В		1	0	,	(П1-1)
11	12			11	12
A21	A22			В21	В22		0	1

где блоки матрицы В имеют те же размеры, что и соответствующие блоки матрицы А.

Пусти порядок исходной матрицы А равен р, а порядки ее квадратных диагональных блоков A11 и A22 равны соответственно q и r ( p q r) . Тогда

блоки A12 и A21 в общем случае ( q r ) будут прямоугольными размеров q r и r q соответственно.

53

В соответствии с правилами	умножения блочных матриц представим
(П1-1) в виде четырех матричных уравнений:
A11B11 A12 B21	1;	(П1-2а)
A11B12 A12 B22	0;	(П1-2б)
A21B11 A22 B21	0;	(П1-2в)
A21B12 A22 B22	1;	(П1-2г)

Разрешая полученную систему (П1-2а) - (П1-2г) относительно блоков матрицы B получим искомую матрицу A 1 . При этом обращение матрицы А порядка p в общем случае сводится к обращению матриц порядков q и r и к выполнению операций сложения и умножения блоков матрицы А. Поскольку операция обращения матриц является наиболее трудоемкой, целесообразно строить вычислительную схему таким образом, чтобы количество обращаемых матриц было минимальным (для рассматриваемой задачи -двум). В данном случае возможны, две таких схемы решения, одна из которых строится следующим образом.

Умножая (П1-2в) на A12 A221 слева, получим

A12 A221 A21B11 A12 B21 0,

откуда

A12 B21 A12 A221 A21B11

Подставим полученное выражение в (П1-2а):

A11B11 A12 A221 A21B11 1

откуда

B11 A11 A12 A221 A21 1 .

Полученный результат подставим в (П-2в) и разрешим это уравнение относительно B21 :

B21 A221 A21B11 A221 A21 A11 A12 A221 A21 1

Умножая (П1 -2г) слева A12 A221 на получим

A12 A221 A21B12 A12 B22 A12 A221

Или

A12 B22 A12 A221 A221 A21 A21B12 .

Полученный результат подставим в (П1-2б):

A11B12 A12 A221 A21B12 A12 A221 ,

откуда

B12 A11 A12 A221 A21 1 A12 A221 B11 A12 A221 .

Подставив B12 в (П1-2г), определим

B22 A221 A221 A21В12 A221 A221 A21 A11 A12 A221 A21 1 A12 A221 .

54

Таким образом, блоки матрицы В вычисляются в соответствии с выражениями:

B11	A11 A12 A221 A21 1						(П1-3а)
						;
B	B A A 1						(П1-3б)
12	11	12 22 ;
B	A 1 A B			;			(П1-3в)
21	22	21	11
B A 1 A 1 A В						;	(П1-3г)
22	22	22	21		12
Расчет по этим выражениям				требует обращения			двух матриц: A22
и A11 A12 A221 A21 .
Аналогично можно построить и вторую схему определения блоков мат-
рицы В, которая базируется на обращении матриц A11 и A22							A21 A111 A12 . Соглас-
но этой схеме
B22 A22 A21 A111 A12 1 ;							(П1-4а)
B B A A 1				;			(П1-4б)
21	22	21	11
B A 1 A B				;			(П1-4в)
12	11	12	22
B A 1 A 1 A В						;	(П1-4г)
11	11	11	12		21

Собственные значения матрицы. Собственными значениями квадрат-

ной матрицы А порядка n называются корни характеристического уравнения

A 1 0 ,

т. е. уравнения

	(a11 )	a12	...	a1n
	a21	(a22 )	...	a2n	0.
	...	...	...	...
	an1	an2	...	(ann )

Собственные значения матрицы с вещественными элементами могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряженными числами.

Квадратичная форма и положительно-определенная матрица. Квад-

ратичная форма - это однородный полином второй степени от нескольких переменных:

n	n
F (x1, x2 ,..., xn ) xt Ax aij xi x j .
i 1	j 1

Здесь А - симметричная квадратная матрица порядка n, называемая мат-

рицей квадратичной формы; х—столбец того же порядка.

Квадратичная форма называется вещественной, если элементы А- вещественные числа.

55

At GA

Вещественная квадратичная форма называется положительноопределенной, если она положительна при любых значениях xi ,i 1, 2,..., n , не

все из которых равны нулю. Вещественная симметричная матрица называется положительно-определенной, если соответствующая ей квадратичная форма положительно определена. Примером положительно-определенной матрицы может служить диагональная матрица с положительными элементами (в частности, единичная матрица). Если G—положительно-определенная матрица, а А—произвольная квадратная неособенная матрица того же порядка, что и G, то матрица —также положительно-определенная. В частности, при G=1, по-

лучаем, что матрица At1A At A — положительно-определенная.

56

Приложение 2. Список условных обозначений

Mnxm – первая матрица инциденций, состоящая из n строк (по числу узлов) и m столбцов (по числу ветвей);

n – число независимых узлов в схеме;

M∑ - 1-я матрица инциденций М, дополненная строкой связности для балансирую-

щего узла Mn+1,j, где j = 1,…,m;

Мα – блок 1-ой матрицы инциденций, размерностью (n x n) - для дерева сети;

М – блок 1-ой матрицы инциденций, размерностью (n x k) – для хорд. (М =[Мα Mβ] );

N - вторая матрица инциденций, строки которой соответствуют независимым контурам, а столбцы - ветвям схемы;

Nα, N - подматрицы второй матрицы инциденций для дерева и хорд. N = [Nα N ]; ZB – матрица сопротивлений ветвей m-го порядка;

Zα, Z - матрицы сопротивлений ветвей дерева и хорд соответственно; dZB – диагональная матрица сопротивлений ветвей m-го порядка;

Yy – матрицa собственных и взаимных проводимостей узлов электрической сети I - вектор-столбец токов ветвей;

Iα, I – составляющие токов для дерева сети и хорд;

Jу – вектор-столбец задающих токов в узлах сети; EB = [Ei], i = 1,2,...,m - вектор-столбец ЭДС в ветвях;

EК – вектор-столбец контурных ЭДС, представляющих собой алгебраические суммы ЭДС ветвей Ев по независимым контурам.

I = [Ii], i = 1,2,...,m - вектор-столбец токов в ветвях; Uб – напряжение балансирующего узла;

UВ – падение напряжения на ветвях сети;

U – вектор-столбец падений напряжений в узлах сети относительно балансирующего узла;

Uy – вектор-столбец напряжений в узлах сети;

Cp = М -1 – матрица, обратная матрице М – матрица коэффициентов токораспределения для дерева сети;

E – единичная матрица;

Sy – узловые задающие мощности;

Zк - матрица контурных сопротивлений, которая является квадратной и неособенной; C – матрица коэффициентов распределения;

Sв – матрица потерь мощности на ветвях схемы; dIв – диагональная матрица токов ветвей;

S — суммарные потери мощности в сети;

Sнб – небалансы мощности в узлах схемы.

57

Литература

1.Электрические системы, т.1. Математические задачи энергетики. Под ред. В. А. Веникова. Учебное пособие для электроэнергетических вузов. М., “Высшая школа”, 1981, 336 с.

2.Идельчик В. И. Электрические системы и сети. М., Энергоатомиздат, 1989

3.Веников В. А. Математические задачи электроэнергетики. М., “Высшая школа “,1981

4.Расчет и анализ режимов работы сетей. Под ред. В. А. Веникова, Москва, Энергия,

1974

5.Передача и распределение электрической энергии: учеб. пособие / А.А. Герасименко, В.Т. Федин. – Красноярск: ИПЦ КГТУ; Минск: БНТУ, 2006.- 808 с.

6.Электрические системы, т.1. Математические задачи энергетики. Под ред. В. А. Веникова. Учебное пособие для электроэнергетических вузов. М., “Высшая школа”,

1981, 336 с.

1.Расчет и анализ режимов работы сетей. Под ред. В. А. Веникова, Москва, Энергия,

1974

2.Идельчик В. И. Электрические системы и сети. М., Энергоатомиздат, 1989

3.Лыкин А.В. Электрические системы и сети: Учебное пособие. – М.: Изд-во Логос,

2011. – 254с.

4.Справочник по проектированию электрических сетей / Под ред. Д.Л. Файбисовича 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2006. – 352с.

5.Электрооборудование электрических станций и подстанций / Л.Д. Рожкова, Л.К. Корнеева, Т.В. Чиркова. – 3-е изд. – М.: Изд. центр “Академия, 2006. – 448с.

6.Технико-экономическое обоснование развития электрических сетей 35-220 кВ. : Методическое пособие по курсу «Электрические системы и сети» для курсового проектирования и подготовки выпускных квалификационных работ / Сост. А.А. Альмендеев, Ю.В. Вейс, В.Г. Гольдштейн, В.П. Степанов, Л.М. Сулейманова. Самар. гос. техн. ун-

т; Самара, 2006. – 31с.

7.Передача и распределение электрической энергии: учеб. пособие / А.А. Герасименко, В.Т. Федин. – Красноярск: ИПЦ КГТУ; Минск: БНТУ, 2006.- 808 с.

8.Шиманская Т.А. Применение матричных методов для расчета и анализа режимов электрических сетей: Методическое пособие по выполнению курсовой работы и изучению дисциплины «Математические задачи энергетики» / Т.А. Шиманская; Под редакцией В.Т. Федина. – Мн.: БНТУ, 2008. – 112 с.

58