для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / интегралы / 04. Определенный интеграл, как функция верхнего предела

Определенный интеграл, как функция верхнего предела

Производная интеграла по верхнему пределу

Отметим, что ранее была доказана
Теорема 1. Если f интегрируема на [a,b], то F(x) =		dt непрерывна на
[a,b].
Теорема 2. Если f непрерывна на [a,b], то F(x) =		dt дифференцируема
на [a,b] и F¢(x) = f(x).
Доказательство.
	dt = f(x). Непрерывные функции	Математика лекции
примеры решения задач
Следствие. Всякая непрерывная на [a,b] функция f(x) имеет на [a,b]
первообразную
dx =	dt + C

Формула Ньютона-Лейбница.

F(b) и F(a) первообразная для функции f(x).

Вычисление определенного интеграла по частям

Теорема. Если f(x) c[ab] и ϕ(t) c’[αβ] причем х=ϕ(t) a=ϕ(α); b=ϕ(β) и ϕ(х)≠0

то

От определенного интеграла или при выполнении замены нет необходимости к старой переменной, так как предел интегрирования выполняется для новой переменной.

Определенные интегралы позволяют вычислять:

1)Длины отрезков

2)Длину линии

3)Площадь области

4)Площадь поверхности

5)Объем тела