для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / интегралы / 08. Тройной интеграл

Тройной интеграл.

Используется в том случае, если в качестве фигуры используется пространственное тело объема V.

Используя известные алгоритмы составления интегральной суммы.

1.	Оббьем		делим	на	n	частей	→
∆V1,∆V2,∆V3…∆Vi i=1:n
2.	Pi ∆Vi; p=p(x;y;z); f(Pi)= (xi;yi;zi)
3.	∆Vi* f(Pi)=f(xi;yi;zi)* ∆xi*∆yi*∆zi
4.			∆
	Про суммируем:
			Vi f(Pi)
Полученная сумма называется		интегральной.		Интегральная сумма
			=1

составляется произвольным образом, разбиение фигуры и выбор точки

произвольный. И вообще случае интегральные сумма можно составить очень
много, но если перейти к пределу при n		→			∞∆х	→ 0
∆ → 0;					∆	→ 0
Именно его и называется тройным			интегралом.
					∆	→ 0	xi	yi zi (1)
f(P) V = ( , , ) = lim ( ; , zi)
Определение тройного интеграла.
							∆ ∆	∆
Геометрического смысла тройного			интеграла не имеет.
					→1		двойные только для
Вычисляется тройные ( , , )					f(Pже) V как
Теорема Существования должна быть известной.
	С
интегралы					так
правильной области.
Определение. Область называется правильной в направлении оси Oz если

любая прямая параллельная оси Oz, проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает поверхность, ограничивающую область V ровно в 2 точках.

2) Область V проецируются на плоскость Ох и Оу в правильную область D.

Область правильная в направлении осей x,y,z называется правильной. И только на правильной области мы имеем право вычислять тройной интеграл. Можно доказать, что всякую область, ограниченную простой поверхностью, можно разбить на несколько правильных

областей.

Определение. Поверхность называется простой, если она составлении из нескольких частей определяемых уравнениями.

Z=φ(x,y) Cv

Y=ψ(x,z) Cv

X=ϕ(y,z) Cv

Вычисляем тройной интеграл, также путем повторного интегрирования но уже трех кратного( , ,. ) = (оу) = b ψ2(x)dy F2(x,y) ( , , ) = (оу)

(x) a (x,y) (1(x) ) F1(x,y)

= cd φφ12(x) dx FF12(x,y) ψ , , (2)

Выражение два показывает, что в тройных интегралах так же осуществляется перемена порядка интегрирования. Причем эта формула не исчерпывает все возможные комбинации: внешний интеграл в частном случае может вычисляется и по z. С помощью тройного интеграла мы вычисляем объем фигуры но при этом f(x;y;z)=1.

При рассмотрении тел вращения удобно вычислять тройной интеграл в сферических или цилиндрах. Их связь с декартовых координатах можно найти в учебнике или справочнике.