Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
ТЕОРЕМА. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а,b]. Тогда
(4)
где 
Формула (4) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Вопрос 7. Приближённое вычисление определённых интегралов
Рассмотрим задачу о приближённом нахождении значения определённого интеграла
Относительно
подынтегральной функции 
мы
будем предполагать, что она непрерывна
на отрезке интегрирования, а также,
когда это понадобится, что она имеет на
этом отрезке производные до некоторого
порядка.
Вычислять
значение интеграла 
мы
будем по значениям функции 
в
некоторых точках отрезка 
.
Эти значения 
мы
будем предполагать известными, то есть
предполагать, что у нас есть некоторый
эффективный способ вычисления значений
функции с любой требуемой точностью.
Формулы, позволяющие по известным
значениям 
приближённо
определить значение 
,
называются квадратурными
формулами.
Для
наглядности мы будем прибегать к
геометрической интерпретации смысла
определённого интеграла, как площади
некоторой криволинейной трапеции, в
случае функции 
.
Следует, однако, иметь в виду, что
квадратурные формулы, которые мы будем
получать, имеют смысл для функций,
принимающих значения произвольного
знака.
При 
вычислить
интеграл 
значит
найти площадь под графиком 
,
расположенную над отрезком 
.
Естественной идеей является следующее
построение: разобьём отрезок на части
точками деления 
и
положим 
и 
(см. определение
значения определённого интеграла).
Тогда разбиение отрезка 
состоит
из отрезков 
при 
.
Вместо площади под графиком, равной 
,
будем приближённо находить суммарную
площадь узких полосок, лежащих над
отрезками разбиения 
(см. рис.).
Вопрос 8.
Определенный
интеграл 
называется несобственным
интегралом,
если выполняется, по крайней мере, одно
из следующих условий:
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].
так,
по определению, 
.
Если этот предел существует и конечен,
интеграл 
называется
сходящимся; если предел не существует
или бесконечен, интеграл называется
расходящимся.
Свойства - ??
Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы.
Несобственный
интеграл I=
называется:
а)абсолютно
сходящимся,
если сходится интеграл 
=
,
в этом случае говорят, что ф-ция f абс.
интегрируема на промежутке [a;b); б)условно
сходящимся,
если интеграл I сходится, а
расходится.
Теорема. Если
несобственный интеграл 
сходится,
то интеграл I также сходится и выполняется
неравенство: 
.
Док-во:
1)Из сходимости 
следует,
что для него выполняется условие Коши,
то есть:
.
По определению несобственного интеграла
I ф-ция f(x) интегрируема по Риману на
отрезке с концами 
и
поэтому ф-ция 
также
интегрируема по Риману на этом отрезке.
Далее применим правило оценки интегралов
и получим: 
,
отсюда следует что f удовлетворяет
условию Коши, и по достаточному признаку
сходимости сходится интеграл I. 2)
-
это нер-во справедливо 
[a;b).
В силу сходимости I и 
сущ-ют
пределы при 
левой
и правой частей этого нер-ва, равные
соответственно I и 
.
Переходим к пределу, получаем 
.