Лекция 7
.docЛекция № 11
Условный экстремум
Пусть на открытом множестве заданы функции , , , . Обозначим – множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям:
, ,. (*)
Уравнения (*) называют ограничениями или уравнениями связи.
Определение. Точка называется точкой условного строгого максимума, если выполняется неравенство .
Если выполняется неравенство , то точку называют точкой условного строгого минимума.
Методы нахождения точек условного экстремума.
-
Метод исключения. Рассмотрим уравнения связи , . Если уравнения связи удается разрешить относительно каких-то переменных: , ,,, то исследование функции на условный экстремум сводится к исследованию на обычный экстремум функции переменных.
Пример 1. Найти экстремум функции при условии, что и удовлетворяют уравнению связи .
Решение. Разрешим уравнение связи относительно переменной : . Подставив выражение для в функцию, получим . Исследуем на экстремум функцию одной переменной.
, .
Следовательно, точка минимума функции. Исходная функция в точке имеет условный минимум.
Пример 2. Найти условные экстремумы функции относительно уравнений связи , .
Решение. Разрешим уравнения связи относительно переменных и : , .
Подставив найденные значения и в выражения для , сведем задачу к исследованию на обычный (безусловный) экстремум функции . . Стационарные точки и .
, , . Следовательно, в точке функция имеет максимум , а в точке – минимум .
Исходная функция при заданных ограничениях имеет один условный максимум и один условный минимум .
-
Метод неопределенных множителей Лагранжа.
Пусть и непрерывно дифференцируемы в окрестности точки и ранг матрицы Якоби в этой точке равен .
Функцию называют функцией Лагранжа. Коэффициенты – неопределенные множители Лагранжа.
Необходимые условия существования условного экстремума.
Для того, чтобы точка являлась точкой условного экстремума функции при связях необходимо, чтобы её координаты при некоторых значениях удовлетворяли системе уравнений
,
т.е. – стационарная точка функции Лагранжа и её координаты удовлетворяют уравнениям связи.
Достаточные условия существования условного экстремума.
Пусть и дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки , в которой выполняются необходимые условия существования условного экстремума функции при ограничениях .
Если при выполнении условий
, (1)
второй дифференциал является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то функция в точке имеет условный минимум (максимум).
Если при условиях (1) является неопределенной квадратичной формой, то в точке условного экстремума нет.
Пример 3. Найти экстремум функции при условии, что переменные и удовлетворяют уравнению .
Пример 4. Найти условный экстремум функции
относительно уравнения связи .
Решение. Функции и дважды непрерывно дифференцируемы. Матрица Якоби , .
Строим функцию Лагранжа .
Необходимые условия:
В точках и может быть условный экстремум.
Достаточные условия:
, , . , .
В точках и и связаны соотношением , поэтому и .
Точке соответствует поэтому и в точке условный максимум.
Точке соответствует поэтому и в точке условный минимум.
Наибольшее и наименьшее значение функции.
Hаибольшим значением функции в области называется число , если и для всех точек этой области выполняется неравенство .
Наименьшим значением функции в области называется число , если и для всех точек этой области выполняется неравенство .
Теорема Вейерштрасса. Для функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве, существует на этом множестве точка, в которой функция принимает наибольшее значение и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.
Функция, дифференцируемая в ограниченной области и непрерывная на её границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках области.
Пример 4. Определить наибольшее и наименьшее значения функции в области D: , , .
Решение. Указанная область есть треугольник (рис. 1). Стационарных точек функция не имеет, так как , .
Исследуем функцию на границах области. Граница состоит из трех отрезков [ОА], [АВ], [ОВ]. На отрезке , значит, для точек этого отрезка , .
Таким образом, задача свелась к нахождению наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке . Так как , то функция принимает эти значения на концах отрезка, т. е. в точках и . Находим , .
Аналогично, для отрезка задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке . Они реализуются на концах отрезка, т. е. в точках и , так как . Находим .
Отрезок определяется уравнением или при . Для этого отрезка имеем или и , т. е. наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах отрезка , в точках и . Сравнивая все полученные значения, заключаем, что
, .
Пример 5. Положительное число требуется разбить на три неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Решение. Обозначим слагаемые , и . Ищем максимум функции . По смыслу задачи функция рассматривается внутри замкнутого треугольника , , .
. Внутренняя стационарная точка .
, , .
Матрица Гессе в стационарной точке . Так как , а , то в точке функция достигает максимума .
Поскольку на контуре треугольника , то этот максимум будет наибольшим значением.
Пример 6. (КИМ ЕГЭ 2006) Три числа, принадлежащих соответственно отрезкам , и , являются первыми членами арифметической прогрессии. Найдите, какие значения может принимать величина , где – первый член, а – разность прогрессии.
Решение. Из условия задачи имеем: . Рассмотрим функцию , определенную на шестиугольнике . , Стационарная точка не принадлежит шестиугольнику .
Найдем координаты вершин шестиугольника: , , , , , . Вычислим значения функции в вершинах: , , , , .
Значит, функция может принимать значения из отрезка .