1.10. Определители

заменена на i-ю (i 6= j):

:a:1: :a: 2: : ::::::::::::::::::: :a:n:
	1	1	1
	i	i	i
a1		a2	: : : : : : : : : an
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
	i	i	i
a1		a2	: : : : : : : : : an

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
an		an	: : : : : : : : : an
	1	2	n

Этот определитель, очевидно, равен нулю в нем две одинаковые

строки. Раскладывая его по j-ой строке и учитывая, что алгебра-

ические дополнения к её элементам не зависят от элементов j-ой

строки (она вычёркивается), получим:

n

X

aisAjs = 0:

s=1

Объединяя этот результат с замечанием 1, получим:

asi Asj	=	8det A;	i = j;	(8)
n		<0;	i = j:
s=1
X		:	6

10.8. Разложение определителя по столбцу.

Теорема 7.

n

X

det A = asjAsj:

s=1

Доказательство. Каждое слагаемое в (7) есть произведение n

элементов, взятых из различных столбцов. Поэтому в каждом сла-

гаемом элемент j-го столбца фигурирует ровно один раз. Следова-

тельно, каждое слагаемое из этого выражения войдет в нашу сумму,

и притом только один раз. 2

11

Матрицей транспонированной по отношению к матрице

2a12		a22		: : : an2 3
a11		a21		: : : an1
6: : : : : : : : : : : : : : :7							;
6						7
6am		am		: : : am7
6	1	2			n	7
4						5
называется матрица	2a21
			a22		: : : a2m
		a11	a12		: : : a1m
AT =	6 ... ...				: : : ...
	6
	6a1		a2		: : : am
	6	n	n			n
	4

3

7

7

7:

7

5

Таким образом, строками матрицы AT являются столбцы матрицы A (и наоборот). Например,

2 3T

1 5

"#

67

2	6	=	1	2	3	4	:
63	77		5	6	7	8
6	7
6	7

45

4 8

Теорема 8. det(AT ) = det A:

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку n матрицы A.

При n = 1 утверждение теоремы очевидно.

Допустим, что теорема доказана для n = k. Тогда разложение определителя (k + 1)-го порядка матрицы AT по первой строке совпадает с разложением определителя матрицы A по первому столбу.

2

Следствие. Все утверждения о строках определителя справедливы и для его столбцов.

12

Упражнения

1. Показать, что

1		2	1	: : :	1		1
	1	1	1	: : :	1		1
1		1	3	: : :	1		1		= n!
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1		1	1	: : :	n		1
1 1 1 : : : 1						n + 1

2. Выразить трёхдиагональный определитель

	a2		b2	c2	: : :	0				0
		b1	c1	0	: : :	0				0
n =		0 a3 b3 : : :				0				0
	: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
		0 0 0 : : : bn							1	cn		1
		0	0	0	: : :	a		n		b	n

через определители n 1 и n 2.

3. Показать, что для произвольного числа k и квадратной мат-

рицы порядка n имеет место равенство

det(kA) = kn det A:

4.Показать, что если все элементы i-й строки представлены в виде суммы aij = a0ji + a00j i, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как в исходном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов a0ji, а в другом из элементов a00j i.

5.Показать, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

6.Пусть

"#

A B

M =

O C

13

блочная матрица, причем матрицы A и C квадратные. Доказать, что

jMj = jAjjCj:

Вывести аналогичную формулу для нижней блочно-треугольной матрицы.

7.Найти частную производную определителя по его элементу.

8.Пусть

h iT h i x = x1; x2; : : : xn ; y = y1; y2 : : : yn :

Показать, что

jE + xyj = 1 + yx:

9.Укажите такие матрицы A и B, что det(A+B) 6= det A+det B.

10.Покажите, что три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда их попарные расстояния lij удовлетворяют со-

отношению

0		1	1	1
	1	0	l122	l132
1		l12	0	l23
1		l2	l2	0		= 0:
		2	23	2
		13

11.Покажите, что четыре точки лежат на одной плоскости тогда

итолько тогда, когда их попарные расстояния lij удовлетворяют

соотношению

1		0	l2	l2	l2
	0	1	1	1	1
		2		2	2		= 0:
1 l12			0 l23		l24
			12	13	14
		2	2	0	2
1		l13	l23		l34
		2	2	2	0
1		l14	l24	l34

12. Покажите, что для любых пяти точек (в трёхмерном про-

14

странстве) их попарные расстояния lij удовлетворяют соотношению

1 0 l122				l132	l142	l152
	0	1	1	1	1	1
		2	0	2	2	2
1		l12		l23	l24	l25		= 0:
			l2	0 l2		l2
1 l2
		2	2	2	0	2
1		l14	l24	l34		l45
		13	23		34	35
1 l2			l2	l2	l2	0
		15	25	35	45

13. Пусть Bk и Cs квадратные матрицы, соответственно, порядков k и s, Bk Cs блочно-диагональная матрица с блоками Bk и

Cs, Eij матричная единица, т.е. матрица (i; j)-й элемент которой

равен 1, а оставшиеся нулю, g; h числа. Тогда

det((Bk Cs)+hEk;k+1 +gEk+1;k) = det Bk det Cs gh det Bk(k) det Cs1;

где Bk(k) подматрица матрицы Bk, полученные вычёркиванием k-й строчки и k-го столбика, а Cs1 получается из Cs вычёркиванием 1-й строчки и 1-го столбика.

15