1.10. Определители

Остыловский А.Н. Лекция 10.

Определители. Мотивировка. Определитель. Разложение опре-

делителя по строке. Основные свойства определителя. Переста-

новки. Выражение определителя через его элементы. Алгебраиче-

ское дополнение. Разложение определителя по столбцу.

10.1. Мотивировка. Рассмотрим систему двух линейных урав-

нений

)

a11x1 + a12x2 = b1; a21x1 + a22x2 = b2

с двумя неизвестными x1 и x2. Умножим первое уравнение на a22, второе на ( a12) и сложим их. результате получим:

(a11a22 a12a21)x1 = b1a22 b2a12:

Если выражение в скобках не обращается в нуль, то

b1a2 b2a1

x1 = 2 2 : a11a22 a12a21

Введем обозначение

	a	b	= ad bc:	(1)

c d

Тогда выражение для x1 примет вид

			b1 a21
	1		b2	a22
	x =					:
			a1	a1
			1	2
			a2	a2
			1	2

Аналогично

					a11 b1
	2				a12	b2
x		=						:
					a1	a1
					1	2
					a2	a2
					1	2

1

Выражение (4) называется определителем второго порядка матрицы

"	#
a11	a21
A =	a22
a12

и обозначается jAj или det A.

Нетрудно убедиться в том, что решение системы трех линейных

уравнений

a2x2

a2x3

b2

; 9

a2x1

a11x1

+ a21x2

+ a31x3

= b1

;

>

1

+ 2

+ 3

=

3

1

a

3

x

2

3

3

3

>

a1x 1+

3+ a3x = b

=

22

>

;

с тремя неизвестными x , x , x

можно

представить в виде:

>

xi =

i

; i = 1; 2; 3;

(2)

где и i определители третьего порядка. При этом

=

a11 a21

a31

= a1

a3

a3

a2

a3

a3

+ a3

a3

a3

; (3)

a12

a22

a32

1

a22

a32

1

a12

a32

1

a12

a22

3

3

3

2

3

1

3

1

2

a1

a2

a3

а

i

полученный из определителя , заменой

есть

определитель,

2 b1

3

i

6

b2

7

его

-го столбца на столбец 6 b3

7.

Формулы (2), как и

аналогичные формулы для системы двух

4

5

уравнений, называются формулами Крамера.

Понятие определителя квадратной матрицы можно обобщить на случай матрицы произвольного порядка.

10.2. Определитель. Определитель квадратной матрицы A порядка n введем индуктивно.

Определение 1. Определителем матрицы (a) порядка 1 называется число a. Определителем матрицы A = [aij] порядка n назы-

2

вают число

det A = ( 1)1+1a11M11 + ( 1)1+2a12M21 + + ( 1)1+na1nMn1; (4)

где Mj1 определитель (n 1)-го порядка матрицы, получаемой из A вычёркиванием 1-й строки и j-го столбца.

Таким образом, вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислениям n определителей (n 1)-го порядка; вычисление каждого из них сводится к вычислениям (n 1) определителей (n 2)-го порядка и т.д. пока не доберемся до определителей порядка 1. Определителей порядка 1 будет, как нетрудно подсчитать, n! штук. Воспользоваться этим рецептом для подсчета определителя, например,

100-го порядка не представляется возможным даже на компьютере, ибо 100! 10158.

Отметим, что определения определителей порядков 2 и 3, введенные выше, являются частными случаями этого индуктивного определения.

Как следует из формулы (4), определитель представляет собой функцию n2 переменных элементов aij. Иногда удобно рассматривать его как функцию (a1; a2; : : : ; an) n векторных аргументов:

a1 = (a11; a12; : : : ; a1n); a2 = (a21; a22; : : : ; a2n);

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

an = (an1 ; an2 ; : : : ; ann)

строк этого определителя.

Теорема 1. Если две строки поменять местами, то определитель изменит лишь знак.

Доказательство. Допустим меняются местами i-я и j-я строки, i < j. При n = 2 справедливость утверждения усматривается непосредственно из (4). При n > 2 возможны три случая: 1 i; j > 1;

2 i = 1, j = 2; 3 i = 1, j > 2. Рассмотрим эти случаи отдельно.

3

1 . Индукция по порядку определителя. При n = 3 справедливость теоремы проверяется по формуле (3). Если же теорема верна при n = k 3, то она верна и при n = k, i; j 1. В самом деле, при перестановке строк с номерами i, j у каждого из определителей s

(k 1)-го порядка в формуле (4) две строки меняются местами, а значит, по предположению индукции, перед всеми слагаемыми в этой формуле изменяется знак, что и требовалось доказать.

2 . Обозначим через Mpq определитель порядка (n 2), полученный из исходного вычёркиванием его 1-й и 2-й строк, а также p-го и q-го столбиков. Очевидно, Mpq = Mqp. Пусть p < q. Применим формулу (4) к исходному определителю, а затем к каждому из определителей M11, M12, : : :, M1n. Получим

det A = + ( 1)1+pa1pMp1 + + ( 1)1+qa1qMq1 + =

=+ ( 1)1+pa1p( 1)qa2qMpq + + ( 1)1+qa1q( 1)1+pa2pMqp + =

=+ ( 1)1+2+p+q(a1pa2q a1qa2p)Mpq + =

= + ( 1)1+2+p+q	a2			a2 Mpq + =
		ap1		aq1
		p		q
				ap1	aq1
= p<q( 1)1+2+p+q			a2		a2		Mpq:
				p	q
Таким образом, если поменять местами					1-ю и 2-ю строки исходного

определителя, то в последнем выражении поменяют лишь знаки все определители 2-го порядка, что и требовалось доказать.

3 . Согласно ранее доказанному, имеем:

(a1; a2; : : : ; aj; : : :) = (a2; a1; : : : ; aj; : : :) =

4

= (a2; aj; : : : ; a1; : : :) = (aj; a2; : : : ; a1; : : :):

2

10.3. Разложение определителя по строке.

Определение 2. Определитель Mji, получаемый из det A вычёркиванием i-й строки и j-го столбца, называется минором, допол-

нительным к элементу aij.

Теорема 2. (Разложение определителя по строке).

	a11 a21 : : : an1								1)i+jai Mi:
det A =	a12	a22	: : : an2	=		n	(
						j=1			j j	(5)
	: : : : : : : : : : : : : :
						X
	an	an	: : : an
	1	2	n
Доказательство.		Индукция по			номеру строки i. При i					= 1

формула (5) верна, поскольку совпадает с формулой (4). Допустим,

что она верна для (i 1)-й строки (i n) и докажем, что тогда она

верна и для i-й строки. Поменяем местами (i 1)-ю и i-ю строки (при

этом у определителя изменится знак) и, в соответствии с предполо-

жением индукции, разложим полученный определитель по (i 1)-й

строке:

det A = (a1; : : : ; ai 1; ai; : : : ; an) = (a1; : : : ; ai; ai 1; : : : ; an) =

n			n
X	i 1+jai Mi		Xj	i+jai Mi:
= ( 1)	j j	=	( 1)	j j
j=1			=1

2

5

10.4. Основные свойства определителя.

1 : Если все элементы какой-нибудь строки умножить на одно и то же число, то весь определитель умножится на это число.

Это легко получается из последней теоремы.

2 : Если к строке определителя прибавить какую-нибудь строку b = (b1; b2; : : : ; bn), то его можно будет представить в виде суммы двух определителей: исходного и определителя, в котором указанная строка заменена на прибавленную. В самом деле,

	n
	Xj
(a1; : : : ; ai + b; : : : ; an) =	( 1)i+j(aji + bj)Mji =
	=1
n	n
X	X
= ( 1)i+jaji Mji +	( 1)i+jbjMji =
j=1	j=1

= (a1; : : : ; ai; : : : ; an) + (a1; : : : ; b; : : : ; an):

2

3 : Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Действительно, если указанные строки поменять местами, то опре-

делитель, с одной стороны, не изменится, а с другой поменяет

знак. Это имеет место лишь в том случае, когда он равен нулю. 2

4 : Определитель (e1; e2; : : : ; en), т.е. определитель

1 0 : : : 0

0 1 : : : 0

: : : : : : : : : : :

0 0	: : : 1

равен единице.

Для n = 1 это утверждение очевидно; если же оно доказано для

n = k 1, то при n = k, раскладывая данный определитель по

6

первой строке, получим:

(e1; e2; : : : ; en) = 1 1 = 1:

2

Замечание. Свойства 1 , 2 , 3 , 4 называют основными свойствами определителя, поскольку из них может быть выведена формула (4), и, следовательно, они могут быть положены в основу аксиоматического определения определителя.

Следствие 1. Если в определителе две строки пропорциональны (т.е. ai = aj и i 6= j), в частности одна из строк состоит из нулей (случай = 0), то он равен нулю.

Следствие 2. Если одна из строк равна линейной комбинации остальных, то определитель равен нулю.

Следствие 3. Если к какой-нибудь строке прибавить линейную комбинацию остальных строк, то определитель не изменится.

10.5. Перестановки.

Определение 3. Упорядоченная совокупность

= ( 1; 2; : : : ; n)

n попарно различных натуральных чисел, не превосходящих n, называется перестановкой из n чисел.

Как известно из комбинаторики, количество различных перестановок из n чисел равно n!.

Говорят, что пара чисел i, j в перестановке = ( 1; 2; : : : ; n)

образует беспорядок, если i > j, а i < j (т.е. большее число стоит раньше).

Например, перестановка (1; 2; 3; 4; 5) не содержит беспорядков, а в перестановке (1; 3; 2; 5; 4) их два: число 3 стоит раньше, чем 2, а число 5 раньше 4.

7

Теорема 3. Если два числа в перестановке поменять местами, то количество беспорядков в ней изменится на нечетное число.

Доказательство. Поменяем в перестановке числа i и i+k

местами. Индукция по k. Пусть k = 1. Если числа i и i+1 не образовывали беспорядка, то теперь они будут его образовывать; если же они образовывали беспорядок, то теперь они перестанут его образовывать. При этом все прочие беспорядки, очевидно, сохранятся. Таким образом, общее количество беспорядков изменится ровно на единицу (в ту или другую сторону), т.е. на нечетное число.

Допустим, что теорема верна для k = m 1 и докажем её дляk = m. Поменяем сначала местами числа i+k 1 и i+k; затем в полученной перестановке (: : : ; i; : : : ; i+k; i+k 1; : : :) поменяем местамиi и i+k; наконец, в перестановке (: : : ; i+k; : : : ; i; i+k 1; : : :) поменяем местами i и i+k 1: (: : : ; i+k; : : : ; i+k 1; i; : : :). В результате i-й и (i + k)-й элементы поменялись местами, а порядок следования остальных элементов не изменился. При этом количество беспорядков изменялось три раза, причём каждый раз на нечетное число. Следовательно, в результате количество беспорядков изменилось на нечетное число. 2

Теорема 4.

(a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ) = ( 1)N( ) (a1; a2; : : : ; an); (6)

где N( ) количество беспорядков в перестановке .

Доказательство. Выберем из чисел 1; 2; : : : ; n то k, которое равно 1, и поменяем его местами с 1. Одновременно поменяем местами строку a k определителя (a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ) со строкой a 1 . Затем выберем из оставшихся чисел то m, которое равно 2, и поменяем его местами с 2, а строку a m определителя со строкой a 2

и т.д. Продолжая этот процесс, мы, очевидно, и приведем данную перестановку к виду (1; 2; : : : ; n), а определитель (a 1 ; a 2 ; : : : ; a n )

8

к виду (a1; a2; : : : ; an).

Пусть K число шагов в этом процессе. Поскольку при каждой перестановке строк знак определителя менялся на противоположный, то

(a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ) = ( 1)N( ) (a1; a2; : : : ; an):

С другой стороны, на каждом шаге количество беспорядков в перестановке изменялось на нечётное число. Перестановка (1; 2; : : : ; n)

не содержит беспорядков, и, следовательно, общее число беспорядков N( ) в перестановке равно алгебраической сумме K нечётных чисел, которое чётно или нечётно в зависимости от того, чётно или нечётно число K. Поэтому ( 1)K = ( 1)N( ). 2

10.6. Выражение определителя через его элементы.

Теорема 5.

X

det A =	N( )	1 2	n	;	(7)
	( 1)	a 1 a 2	a n

где сумма берется по всем перестановкам из n чисел (т.е. каждой перестановке соответствует одно слагаемое), а N( ) количество беспорядков в перестановке .

Доказательство. Представим первую строку матрицы A в виде линейной комбинации единичных строк и воспользуемся свойствами 1 , 2 определителя:

det A = (a ; a	; : : : ; a	) =	Xs1	as1 e	1 ; a	; : : : ; a	!	=
1 2	n			1 s	2		n

= Xs1	(as1 e	1 ; a	; : : : ; a	) =
	1 s	2	n

X

a1 (es1 ; a2; : : : ; an):

s1

s1

Аналогично поступим со второй строкой матрицы A, затем с

третьей и т.д. В результате получим:

s1	;sX2 n			s1		s2		sn
det A =	1 2	n	(e		; e		; : : : ; e		):
	as1 as2	asn

;:::;s

9

Согласно свойству 3 в этой сумме отличны от нуля только те слагаемые, в которых все строки esi попарно различны, т.е. числа si

образуют перестановку из n чисел. Поэтому полученное выражение можно переписать так:

det A =	X	a 1 a 2	a n (e		1	; e		2 ; : : : ; e		n ):
		1 2	n

Осталось заметить, что по формуле (6)

(e 1 ; e 2 ; : : : ; e n ) = ( 1)N( ) (e1; e2; : : : ; en);

а(e1; e2; : : : ; en) = 1. 2

10.7.Алгебраическое дополнение. В формуле (7) соберем все

слагаемые, содержащие элемент aij, и вынесем его за скобку. Сумма, оставшаяся в скобках, называется алгебраическим дополнением Aij

элемента aij. Иными словами, Aij это то, во что превращается правая часть выражения (7) при замене элемента aij на единицу, а всех остальных элементов i-й строки на нули.

Теорема 6. Aij = ( 1)i+jMji.

Доказательство. Как только, что было отмечено, Aij равно определителю, полученному из det A заменой элемента aij на единицу, а всех остальных элементов i-й строки на нули. С другой стороны, если такой определитель разложить по i-й строке, то окажется, что он равен ( 1)i+jMji. 2

Замечание 1. Доказанная теорема позволяет по-новому записывать разложение определителя по i-й строке:

n

X

det A = aisAis:

s=1

Замечание 2. Рассмотрим определитель, в котором j-я строка

10