Основные формулы исчисления сводных, или общих, индексов

 

Наименование	Формула расчета	Что показывает индекс	Что показывает значение индекса, уменьшенное на 100%, т.е. 1-100	Что показывает разность числителя и знаменателя
Индекс физического объема продукции		Во сколько раз изменилась стоимость продукции в результате изменения ее объема, или сколько процентов составил рост (снижение) стоимости продукции из-за изменения ее физического объема	На сколько процентов изменилась стоимость продукции в результате изменения ее объема	На сколько рублей изменилась стоимость продукции в результате роста (уменьшения) ее объема
Индекс цен		Во сколько раз изменилась стоимость продукции в результате изменения цен, или сколько процентов составил рост (снижение) стоимости продукции из-за изменения цен	На сколько процентов изменилась стоимость продукции в результате изменения цен	На сколько рублей изменилась стоимость продукции в результате роста (уменьшения) цен
Индекс стоимости продукции (товарооборота)		Во сколько раз возросла (уменьшилась) стоимость продукции, или сколько процентов составил рост (снижение) стоимости продукции в текущем периоде по сравнению с базисным	На сколько процентов возросла (уменьшилась) стоимость продукции в текущем периоде по сравнению с базисным	На сколько рублей увеличилась (уменьшилась) стоимость продукции в текущем периоде по сравнению с базисным
Индекс физического объема		Во сколько раз изменились издержки производства продукции в результате изменения объема ее производства, или сколько процентов составил рост (снижение) издержек производства продукции из-за изменения физического объема ее производства	На сколько процентов изменились издержки производства продукции в результате изменения объема ее производства	На сколько рублей изменились издержки производства продукции в результате роста (уменьшения) объема ее производства
Индекс себестоимости продукции		Во сколько раз изменились издержки производства продукции в результате изменения себестоимости продукции, или сколько процентов составил рост (снижение) издержек производства продукции из-за изменения ее себестоимости	На сколько процентов изменились издержки производства продукции в результате изменения ее себестоимости	На сколько рублей изменились издержки производства в результате роста (уменьшения) себестоимости продукции
Индекс издержек производства		Во сколько раз возросли (уменьшились) издержки производства продукции, или сколько процентов составил рост (снижение) издержек производства продукции в текущем периоде по сравнению с базисным	На сколько процентов возросли (уменьшились) издержки производства продукции в текущем периоде по сравнению с базисным	На сколько рублей увеличились (уменьшились) издержки производства продукции в текущем периоде по сравнению с базисным
Индекс физического объема продукции		Во сколько раз изменились затраты времени на производство продукции в результате изменения объема ее производства, или сколько процентов составил рост (снижение) затрат времени на производство продукции из-за изменения физического объема ее производства	На сколько процентов изменились затраты времени на производство продукции в результате изменения объема ее производства	На сколько человеко-часов возросли (уменьшились) затраты времени на производство продукции в результате роста (уменьшения) объема производства продукции
Индекс производительности труда по трудовым затратам		Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) производительность груда, или сколько процентов составило снижение (рост) производительности труда в текущем периоде по сравнению с базисным	На сколько процентов изменилась производительность труда в текущем периоде по сравнению с базисным	Абсолютный размер экономии (перерасхода) затрат живого труда в связи с ростом (уменьшением) его производительности
Индекс затрат времени на производство продукции		Во сколько раз изменились затраты времени на производство продукции, или сколько процентов составил рост (снижение) затрат времени на производство продукции в текущем периоде по сравнению с базисным	На сколько процентов изменились затраты времени на производство продукции в текущем периоде по сравнению с базисным	На сколько человеко-часов увеличились (уменьшились) затраты на производство продукции в текущем периоде по сравнению с базисным

 

Средний арифметический индекс физического объема продукции вычисляется по формуле:

 

 

Так как i_q ∙ q₀ = q₁, то формула этого индекса легко преобразуется в формулу (12.14). Весами в формуле (12.19) является стоимость продукции базисного периода.

Средний арифметический индекс производительности труда определяется следующим образом:

 

 

Так как i_t ∙ t₁ = t₀, то формула этого индекса может быть преобразована в агрегатный индекс трудоемкости продукции. Весами являются общие затраты времени на производство продукции в текущем периоде.

В статистике широко известен и другой средний арифметический индекс, который используется при анализе производительности труда. Он носит название индекса Струмилина и определяется следующим образом:

 

 

Индекс показывает, во сколько раз возросла (уменьшилась) производительность труда, или сколько процентов составил рост (снижение) производительности труда в среднем по всем единицам исследуемой совокупности.

Средние арифметические индексы чаще всего применяются на практике для расчета сводных индексов количественных показателей. При анализе качественных показателей данная форма индекса применяется для исчисления приведенных выше индексов (формулы (12.20) – (12.21)).

Индексы других качественных показателей (цен, себестоимости и т.д.) определяются по формуле средней гармонической взвешенной величины.

Средний гармонический индекс тождествен агрегатному, если индивидуальные индексы взвешены с помощью слагаемых числителя агрегатного индекса.

Например, индекс себестоимости можно исчислить так:

 

 

Таким образом, при определении среднего гармонического индекса себестоимости весами являются издержки производства текущего периода, а при вычислении индекса цен веса – стоимость продукции этого периода.

Рассчитаем средние индексы цен и физического объема продукции по данным табл. 12.1 (графы 11-12):

 

 

Этот же результат получился при расчете агрегатных индексов. Средние индексы широко используются для анализа рынка ценных бумаг. Наиболее известными являются индексы Доу-Джонса, Стэндарда и Пура.

Индекс Доу-Джонса (Dow Jones Industrial Average Index) определяется как средний арифметический индекс значений курсов акций, котирующихся на Нью-Йоркской фондовой бирже. Один сводный и три групповых индекса рассчитываются каждые полчаса, и ежедневно публикуется их значение на момент закрытия биржи. Групповые индексы определяются по ценам акций 30 промышленных, 20 транспортных и 15 компаний сферы услуг. Общий индекс рассчитывается по всем 65 компаниям. Их перечень был составлен в 1928 г. В качестве базисного выбран 1920 г. Первоначальная методика исчисления индекса была разработана основателем и редактором крупнейшей в США газеты «Уолл-стрит джорнел» Чарлзом Доу.

Индекс Стэндарда и Пура (Standard and Poor's 500 Stock Index) -индекс, рассчитываемый по курсам акций 500 крупнейших компаний Нью-Йоркской фондовой биржи как средний взвешенный показатель, учитывающий общее число выпущенных компанией акций. В число компаний, акции которых включены в индекс, входят 400 промышленных корпораций, 40 – финансовых, 20 – транспортных и 40 – сферы услуг.

31.Агрегатные и индивидуальные индексы их сущность и расчет.

Индекс — это обобщающий относительный показатель, характеризующий изменение уровня общественного явления во времени, по сравнению с программой развития, планом, прогнозом или его соотношение в пространстве.

Наиболее распространена сравнительная характеристика во времени. В этом случае индексы выступают как относительные величины динамики. Индексный метод является также важнейшим аналитическим средством выявления связей между явлениями. При этом применяются уже не отдельные индексы, а их системы. В статистической практике индексы применяются при анализе развития всех отраслей экономики, на всех этапах экономической работы. В условиях рыночной экономики особенно возросла роль индексов цен, доходов населения, фондового рынка и территориальных индексов.

Статистика осуществляет классификацию индексов по следующим признакам:

1. В зависимости от объекта исследования:

• индексы объемных (количественных) показателей (индексы физического объема: товарооборота, продукции, потребления)

• индексы качественных показателей (индексы цен, себестоимости, заработной плата)

К индексам объемных показателей относятся индексы физического объема: товарооборота, продукции, потребления материальных благ и услуг; а также других показателей, имеющих количественный характер: численности работников, посевных площадей и т.п. К индексам качественных показателей относятся индексы: цен, себестоимости продукции, заработной платы, производительности труда, урожайности и т.п.;

2. По степени охвата элементов совокупности:

• индивидуальные индексы (дают сравнительную характеристику отдельных элементов явления)

• общие индексы (характеризуют изменение совокупности элементов или всего явления в целом)

3. В зависимости от методологии исчисления общие индексы подразделяются на:

• агрегатные (агрегатные индексы являются основной формой индексов и строятся как агрегаты путем взвешивания индексируемого показателя с помощью неизменной величины другого, взаимосвязанного с ним показателя).

• средние (являются производными от агрегатных)

4. В зависимости от базы сравнения различают:

• базисные (если при исчислении индексов за несколько периодов времени база сравнения остается постоянной)

• цепные (если база сравнения постоянно меняется)

Индексный метод

Элиминирование, то есть расчет влияния отдельных факторов на обобщающий показатель, может осуществляться такжеиндексным методом. Этот метод применяется для расчленения экономических показателей. Индексы являются разновидностью относительных величин. Индексы применяются в анализе хозяйственной деятельности с целью характеристики экономических явлений, состоящих из элементов, которые не следует суммировать.

Технически любой индекс представляет собой показатель, определяемый как соотношение двух каких-либо величин. Последние являются, по существу, определенными состояниями известного признака. С помощью индексов осуществляются сравнения фактических показателей с базисными, то есть, как правило, с плановыми и с показателями предшествующих периодов.

Различают два основных вида индексов:

• простые (частные, индивидуальные);

• аналитические (общие, агрегатные).

В первом случае исследуемый признак принимается без учета связи этого признака с остальными признаками исследуемых экономических явлений. Такие индексы могут быть представлены следующей формулой:

 и — соответственно сравниваемые состояния какого-либо признака

Во втором случае изучаемый признак используется не изолированно, а в его взаимосвязи с другими признаками.

Поэтому любой аналитический индекс состоит из двух элементов:

• индексируемый признак , то есть тот признак, изменение которого подвергается изучению;

• весовой признак .

С помощью весовых признаков исследуются изменения экономических явлений, составляющие элементы которых являются несоизмеримыми. Следует иметь в виду, что простые и аналитические индексы взаимно дополняют друг друга.

Аналитические индексы могут быть представлены следующим образом:

 или 

где и— весовые признаки

Использование индексов в экономическом анализе преследует следующие цели:

• с их помощью дается оценка относительного изменения какого-либо экономического явления или показателя;

• применение индексов дает возможность определить влияние отдельных факторов на изменение обобщающего (результативного) показателя (признака).

• дается оценка влияния изменения структуры какого-либо экономического явления на величину динамики этого явления.

Рассмотрим сущность индексного метода на конкретном примере. Если анализируемая организация выпускает разнородную продукцию, то рассчитывается общий индекс объема продукции.

Информация об объеме и стоимости выпускаемой продукции.

Виды продукции	Количество (штук)			Цена за 1 штуку (рублей)			Стоимость продукции (рублей)
А	10	13	5		5	50		65	65
Б	15	12	3		2	45		36	24
В	20	22	1		2	20		22	44
Итого:	-	-	-		-	115		123	133

В рассматриваемом примере мы исчислим аналитические индексы, где в качестве индексируемого признака беретсяобъем выпускаемой продукции, а в качестве весового признака — цена за единицу продукции. На основе данных, приведенных в таблице, рассчитаем общий индекс объема продукции:

На полученный нами результат оказали влияние два фактора:

• изменение количества продукции;

• изменение цен на продукцию.

Следует отдельно определить:

• индекс изменения количества (объема) продукции при условии ее оценки в одинаковых ценах;

• индекс изменения цен на продукцию при условии ее одинакового объема.

Вначале найдем индекс изменения количества продукции:

Затем определим индекс изменения цен на продукцию:

В рассматриваемом примере индекс изменения количества показывает увеличение объема продукции на или на 8 рублей, то есть (123 — 115). Индекс изменения цен свидетельствует о повышении цен на продукцию на, что составляет 10 рублей, то есть (133 — 123).

Если сложить влияние индексов получим общий индекс объема продукции — 18 рублей.

С помощью индексов можно сравнивать данные за ряд лет, например, путем расчетов темпов роста продукции в сопоставимых ценах.

В условиях анализа динамики показателей следует различать понятия цепного и базисного индексов. Базисным называется индекс, рассчитанный по отношению к базисному периоду. Цепным называется индекс, рассчитанный по отношению к предыдущему периоду.

Индивидуальные индексы

Способы построения индексов зависят от содержания изучаемого явления, методологии расчета исходных статистических показателей и целей исследования. В каждом индексе выделяют 3 элемента:

В каждом индексе выделяют 3 элемента:

• индексируемый показатель — это показатель, соотношение уровней которого характеризует индекс

• сравниваемый уровень — это тот уровень, который сравнивают с другим.

• базисный уровень — это тот уровень, с которым производится сравнение.

Для расчета индекса необходимо найти отношение сравниваемого уровня к базисному и выразить его в виде коэффициента, если база сравнения приравнивается к единице, или в процентах, если база сравнения принимается за 100%. Обычно расчеты индексов производятся в форме коэффициентов с точностью до третьего знака после запятой, т. е. до 0,001, в форме процентов — до десятых долей процента, т.е. до 0,1%.

Для удобства построения индексов используется специальная символика:

• i — символ индексируемого показателя — индекс, характеризующий изменение уровня элемента явления.

• I — с подстрочным индексируемым показателем — для группы элементов или всей совокупности в целом.

• q — количество проданных товаров или произведенной продукции в натуральном выражении

• p — цена за единицу товара

• z — себестоимость единицы продукции

• w — производительность труда

• T — отработанное время или численность работников

• l — средняя заработная плата одного работника

• 0 — базисный период

• 1 — отчетный период

Исходные данные						Расчетные данные
Товары	Базисный период		Отчетный период		Товарооборот млн.руб					Индивидуальные индексы
	Про-дано т.шт	Цена за 1 шт. т.руб	Про-дано т.шт	Цена за 1 шт. т.руб	Базисный период		Отчетный период	Отчетный период по ценам базисного периода	Физ. объема т-ооборота		Цен	Товаро-оборота
А	1	2	3	4	5=1*2		6=3*4	7=3*2	8=3:1		9=4:2	10=6:5
	q0	p0	q1	p1	q0 * p0		q1 * p1	q1 * p0
Телевизоры	400	3	360	3,3	1200		1188	1080	0,9		1,1	0,99
Видео-магнито-фоны	200	2	250	1,8	400		450	500	1,250		0,9	1,125
Итого	х	х	х	х	1600		1638	1580	0,9875		1,037	1,024

Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельного элемента явления.

Индивидуальный индекс физического объема товарооборота

Так, для изучения изменения количества проданных товаров (физического объема продаж) следует построить индивидуальный индекс физического объема товарооборота как отношение количества товара одного вида, проданного в отчетном периоде, к количеству того же товара, проданного в базисном периоде (i_q = q₁ / q₀ ). Поскольку базисный уровень индексируемого показателя приравнивается к 1 или 100%, то разность между полученным индексом и 1 или 100% характерзиует относительную величину изменения количества проданного товара. По этому индексу можно определить и абсолютное изменение количества проданного товара в натуральном выражении как разность между числителем и знаменателем индекса .

Произведем расчет индивидуальных индексов физического объема товарооборота.

По телевизорам: или90% и рассчитываем тыс.шт, то есть в отчетном периоде по сравнению с базисным было продано телевизоров на 40 тыс.штук, или на 10% меньше, чем в базисном году.

По видеомагнитофонам: , и рассчитываемтыс.шт, то есть количество проданных видеомагнитофонов возрасло на 50 тыс. штук или на25%.

Индивидуальный индекс цен

Индивидуальный индекс цен определяется как отношение цены отдельного товара в отчетном периоде к цене его в базисном периоде, то есть по формуле: . Разность между числителем и знаменателем его покажет абсолютное изменение цены за единицу товара в рублях.

Рассчитаем индивидуальные индексы цен (9):

По телевизорам: или 110% итыс.руб, т.е. цена телевизора увеличилась на 0,3 тыс.руб., или на10% (110-100).

По видеомагнитофомам: или90% и тыс.руб т.е. цена видеомагнитофона снизилась на 0,2 тыс.руб или на 10%.

Индивидуальный индекс товарооборота

Индивидуальный индекс товарооборота характеризует изменение товарооборота по одному товару и строится как отношение товарооборота отчетного периода к товарообороту базисного периода, то есть по формуле:

Разница между числителем и знаменателем его покажет абсолютное изменение товарооборота в рублях за счет двух фактров: изменения количества проданного товара и изменения цены этого товара, то есть 

Рассчитаем индивидуальные индексы товарооборота (10):

По телевизорам: или99% и млн.руб, то есть товарооборот по телевизорам стал меньше на 12 млн.руб, или на 1% (99-100%).

По видеомагнитофонам: или112.5% и млн.руб, то есть товарооборот по видеомагнитофонам увеличился на 50 млн.руб. или на 12,5% (12,5-100%).

Рассмотренные нами индивидуальные индексы взаимосвязаны между собой так же, как сами индексируемые показатели: индекс товарооборота равен произведению индекса физического объема товарооборота на идекс цен, то есть 

Проверим взаимосвязь исчисленных индивидуальных индексов:

• По телевизорам: 0,99 = 0,9*1,1

• По видеомагнитофонам: 1,125 = 1,25*0,9

Кроме того, полученные данные позволяют рассчитать абсолютные показатели изменения товарооборота по отдельным товарам за счет отдельных факторов.

Так, по телевизорам общее изменение товарооборота составило: млн.руб, то есть товарооборот по телевизорам в отчетном периоде по сравнению с базисным стал меньше на 12 млн.руб. Эта величина может быть разложена на две:

1. за счет изменения количества проданных товаров: млн.руб, то есть за счет уменьшения количества проданных телевизоров на 40 тыс.штук товарооборот стал меньше на 120 млн.руб.

2. за счет изменения цен: млн.руб, то есть за счет роста цены одного телевизора на 0,3 тыс.руб товарооборот возрос на 108 млн.руб.

Проверим взаимосвязь исчисленных показателей: млн.руб.

По видеомагнитофонам имеем изменение товарооборота на 50 млн.руб.

1. за счет изменения количества проданных товаров: 

2. за счет изменения цен: 

Товарооборот по видеомагнитофонам увеличился на 50 млн.руб. За счет увеличения количества проданных видеомагнитофонов на 50 тыс.штук товарооборот возрос на 100 млн.руб, а за счет снижения цен на видеомагнитофоны на 0,2 тыс.руб за штуку стал меньше на 50 млн.руб.

Общие индексы

Все рассмотренные нами индексы характеризуют относительное изменение уровней отдельных элементов явления и называются индивидуальными индексами.

Однако большинство изучаемых статистикой общественных явлений и процессов состоят из многих элементов, которые могут быть как однородными, так и неоднородными. Однородные явления можно непосредственно суммировать и исчислять индексы, характеризующие изменение не одного элемента, а группы элементов или всей совокупности в целом. Такие индексы называются общими индексами. Так, можно суммировать количество проданныходнородных товаров по группе фирм и исчислить общий индекс физического объема товарооборота по формуле:

, где знак означает суммирование данных о количестве одного товара по нескольким фирмам. Можно суммировать товарооборот по нескольким товарам и исчислять общий индекс товарооборота по формуле, где знакозначает суммирование товарооборота по группе товаров.

Если же отдельные элементы явления неоднородны, то непосредственное суммирование их невозможно или бессмысленно и тогда необходимо привести их к сопоставимому виду. Все товары имеют стоимость, а стоимости товаров можно суммировать. Переход от натуральных показателей к стоимостным позволяет преодолеть несуммарность натурально-вещественных элементов совокупности. Но изменение стоимости товаров обусловлено совместным изменением двух факторов — количества товаров и цен на них, а нам необходимо определить изменение каждого из этих факторов в отдельности. Для изучения изменения одного фактора необходимо абстрагироваться от изменения второго, взаимосвязанного с ним фактора и построить общий индекс в агрегатной форме.

Так, агрегатный индекс физического объема товарооборота должен показать изменение количества проданныхразнородных товаров, поэтому в числителе его берется отчетное количество товаров (q₁), а в знаменателе — базисное (q₀), т.е. индексируемый показатель изменяется, а взвешивание производится в одних и тех же ценах базисного период (p₀):

.

В числителе этого индекса — условная величина товарооборота отчетного периода в ценах базисного периода, в знаменателе — реальная величина товарооборота базисного периода. Разность между числителем и знаменателем индекса покажет абсолютное изменение товарооборота за счет изменения физического объема товарооборота:

Рассчитаем агрегатный индекс физического объема товарооборота по данным нашего примера:

 или 98,75% и млн.руб., то есть количество проданных магазином товаров в среднем стало меньше на 1,25% (98,75 — 100%), что привело к уменьшению товарооборота на 20 млн.руб.

Агрегатные индексы качественных показателей строятся при весах — объемных показателях отчетного периода. Так, агрегатный индекс цен по формуле немецкого экономиста Э.Пааше:

В числителе индекса — товарооборот отчетного периода, в знаменателе — товарооборот отчетного периода в ценах базисного периода, а разность между ними характеризует: с позиции продавца — абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен, с позиции покупателя — экономию (перерасход) населения от изменения цен на товары: .

Рассчитаем агрегатный индекс цен по данным нашего примера:

 или 103.7% и млн.руб, то есть в среднем цены на товары возрасли на 3,7%, что привело к росту товарооборота на 58 млн.руб.

В качестве весов в индексах качественных показателей могут быть использованы не только абсолютные объемные показатели, но и показатели их структуры, то есть доли.

В статистической практике используется также индекс цен, построенный с базисными весами по формуле Э.Ласпейреса:

Агрегатный индекс товарооборота исчисляется по формуле:

 или 102.4%. Разность между числителем и знаменателем этого индекса характеризует абсолютное изменение товарооборота за счет двух фактров: изменения количества проданных товаров и цен на них: млн.руб, то есть товарообот в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличился на 38 млн.руб. или на 2,4%.

Агрегатные индексы объемных и качественных показателей, построенные с различными весами, взаимосвязаны между собой так же, как индивидуальные индексы: произведение агрегатного индекса физического объема товарообора на агрегатный индекс цен, дает агрегатный индекс товарооборота:

Мы получили систему взаимосвязанных агрегатных индексов, каждый из которых позволяет определить изменение индексируемого показателя в относительном выражении (%). Кроме того, по этим индексам можно определить изменение обобщающего показателя — товарооборота за счет отдельных факторов в абсолютном выражении как разность между числителем и знаменателем соответствующего индекса. Абсолютные показатели изменения товарооборота за счет отдельных факторов взаимосвязаны следующим образом.

Проверим взаимосвязь показателей, исчисленных по данным нашего примера:

1. аграгатных индексов: 1,024 = 0,975*1,037

2. абсолютных изменений: +38 млн.руб = — 20 + 58 млн.руб.

Аналогичным образом строятся системы агрегатных индексов других экономических показателей.

32.Индексы структурных сдвигов и их определение.

При изучении динамики качественных показателей приходится определять изменение средней величины индексируемого показателя, которое обусловлено взаимодействием двух факторов – изменением значения индексируемого показателя у отдельных групп единиц и изменением структуры явления. Под изменением структуры явления понимается изменение доли отдельных групп единиц совокупности в общей их численности. Так, средняя заработная плата на предприятии может вырасти в результате роста оплаты труда работников или увеличения доли высокооплачиваемых сотрудников. Снижение трудоемкости производства единицы продукции по совокупности предприятий отрасли может быть обусловлено повышением производительности труда на предприятиях или концентрацией производства продукции на заводах с низкой трудоемкостью. Так как на изменение среднего значения показателя оказывают воздействие два фактора, возникает задача определить степень влияния каждого из факторов на общую динамику средней.

Эта задача решается с помощью индексного метода, т.е. путем построения системы взаимосвязанных индексов, в которую включаются три индекса: переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индексом переменного состава называется индекс, выражающий соотношение средних уровней изучаемого явления, относящихся к разным периодам времени. Например, индекс переменного состава себестоимости продукции одного и того же вида рассчитывается по формуле:

 

 

где I_пс – индекс переменного состава.

 

Индекс переменного состава отражает изменение не только индексируемой величины (в данном случае себестоимости), но и структуры совокупности (весов).

Индекс постоянного (фиксированного) состава – это индекс, исчисленный с весами, зафиксированными на уровне одного какого-либо периода, и показывающий изменение только индексируемой величины. Индекс фиксированного состава определяется как агрегатный индекс. Так, индекс фиксированного состава себестоимости продукции рассчитывают по формуле:

 

 

где /_фс – индекс фиксированного состава.

 

Под индексом структурных сдвигов понимают индекс, характеризующий влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня этого явления. Индекс определяется по формуле (при изучении изменения среднего уровня себестоимости):

 

 

где /_сс – индекс структурных сдвигов.

 

Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики средней себестоимости имеет следующий вид:

 

 

Рассмотрим применение такой системы.

 

Пример. Пусть имеются данные об объеме строительства коттеджей и себестоимости 1 кв. м жилья двух строительных фирм в мае-июне 2002 г. (табл. 12.4).

В июне по сравнению с маем 2002 г. себестоимость 1 кв. м коттеджного жилья в двух строительных фирмах возросла: в ООО «Скат» она увеличилась на 5,26%, а в ООО «Стройинвест» – на 16,67%. При этом изменилась структура рынка участников строительства: уменьшилась доля первой строительной фирмы (ООО «Скат») в общем объеме строительства коттеджей (с 35,1 до 28,5%) и возросла доля второй фирмы (ООО «Стройинвест») – с 64,9 до 71,5%).

 

Таблица 12.4

 

Построено коттеджного жилья и себестоимость 1 кв. м по двум строительным фирмам в мае-июне 2002 г. (Цифры условные.)

 

Строительная фирма	Построено коттеджного жилья							Себестоимость единицы продукции, долл. США					Индивидуальные индексы себестоимости, % iz = z1 : z0			Общие затраты на производство жилья, тыс. долл. США
	Всего, кв. м			% к итогу			базисный период (май) z0			текущий период (июнь) z1					Базисный период (май) z0q0			текущий период (июнь) z1q1		z0q0
	базисный период (май) q0	текущий период (июнь)q1	базисный период (май)		текущий период (июнь)
А	1	2	3		4	5			6		7 = 6 : 5			8 = 5 ∙ 1			9 = 6 ∙ 2		10 = 5 ∙ 2
ООО «Скат»	1620	1780	35,1		28,5	285			300		105,26			461,7			534,0		507,3
ООО «Строй-инвест»	3000	4470	64,9		71,5	300			350		116,67			900,0			1564,5		1341.0
Итого	4620	6250	100,0		100,0	–			–		–			1361,7			2098,5		1848,3

 

Рассчитаем индекс переменного состава. Для этого сначала определим среднюю себестоимость единицы продукции в текущем и базисном периодах:

 

 

Тогда

 

I_п.с = 335,8 : 294,7 = 1,1395, или 113,95%.

 

Следовательно, средняя себестоимость по двум фирмам возросла в текущем периоде по сравнению с базисным на 13,95%, и в каждом из них в отдельности она возрастала. Это результат того, что исчисленный индекс учитывает влияние еще и структурного фактора.

Определим индекс себестоимости фиксированного состава:

 

 

Таким образом, себестоимость в текущем периоде по сравнению с базисным возросла в среднем на 13,5%.

Вычислим влияние изменения структуры на динамику средней себестоимости:

 

 

Изменение доли строительных фирм в общем объеме построенного коттеджного жилья привело к увеличению себестоимости на 0,34%.

Аналогично строятся системы индексов для других показателей. Так, для показателя производительности труда можно построить систему индексов, в которой:

 

33.Отраслевые классификаторы и их виды.

Классифика́тор, или (отлат.classis—разрядиfacere—делать) — систематизированный перечень наименованных объектов, каждому из которых в соответствие дан уникальныйкод. Классификация объектов производится согласно правилам распределения заданногомножестваобъектов на подмножества (классификационные группировки) в соответствии с установленными признаками их различия или сходства. Применяется вАвтоматизированных системах управленияи обработке информации. Классификатор является стандартным кодовым языком документов, финансовых отчётов и автоматизированных систем.

 Классификаторы разрабатываются как на уровне отдельных предприятий (организаций), так и на уровне государств. Существуют следующие уровни классификаторов:

• международные — стандартные классификаторы, используемые по всему миру;

• межгосударственные — классификаторы, используемые в рамках экономических союзови других межгосударственных объединений: например, классификаторы используемые вЕС,СНГи т. д.

• национальные, или межотраслевые — классификаторы, используемые в пределах государства. Не должны противоречить международным классификаторам;

• отраслевые — классификаторы, используемые в рамках одной отрасли;

• региональные - классификаторы действующие на территории региона. Например: общемосковские классификаторы, общегородские классификаторы Санкт-Петербурга и т.п.

• системные — классификаторы, принятые отдельным предприятием (организацией) для применения в рамках своей автоматизированной системы. Они содержат информацию, необходимую для решения задач в конкретной АС и отсутствующую в национальном или отраслевом классификаторе.

34.Функциональные и стохастические связи, их модели.

Связь называется функциональной (или жестко детерминированной), если любому значению факторного признака соответствует вполне определенное неслучайное значение признака результативного. Система называется жестко детерминированной, если при данных начальных условиях она переходит в единственно возможное (совершенно определенное) состояние. Анализ жестко детерминированных систем часто называют факторным анализом. Подробно он будет рассмотрен в разделе 2.6.2.

Связь называется стохастической (вероятностной), если любому значению факторного признака соответствует множество значений признака результатного (т.е. определенное статистическое распределение). При этом для каждого конкретного значения признака х значения у образуют распределение, называемое условным. Поэтому изменение величины х приводит к изменению величины у лишь в среднем. Система называется вероятностной, если при одних и тех же начальных условиях она может переходить в различные состояния, имеющие разные вероятности. Анализ стохастических связей в вероятностных системах будет рассмотрен в разделе 2.8.

Типы экономических моделей

Многие аналитические методы используются в совокупности с различными типами моделей, которые позволяют структурировать и идентифицировать связи между основными показателями.

Можно выделить три основных типа моделей, используемых в экономическом анализе: дескриптивные, предикативные и нормативные.

Дескриптивные модели. Эти модели, известные также как модели описательного характера, являются основными для оценки финансового состояния предприятия. К ним относятся: построение системы отчетных балансов, представление финансовой отчетности в различных аналитических разрезах, вертикальный и горизонтальный анализ отчетности, система аналитических коэффициентов, аналитические записки к отчетности. Все эти модели основаны на использовании информации бухгалтерской отчетности.

В основе вертикального анализа лежит иное представление бухгалтерской отчетности - в виде относительных величин, характеризующих структуру обобщающих итоговых показателей. Обязательным элементом анализа служат динамические ряды этих величин, что позволяет отслеживать и прогнозировать структурные сдвиги в составе хозяйственных средств и источников их покрытия.

Горизонтальный анализ позволяет выявить тенденции изменения отдельных статей или их групп, входящих в состав бухгалтерской отчетности. В основе этого анализа лежит исчисление базисных темпов роста балансовых статей или статей отчета о прибылях и убытках.

Система аналитических коэффициентов - ведущий элемент анализа финансового состояния, применяемый различными группами пользователей: менеджерами, аналитиками, акционерами, инвесторами, кредиторами и др. Известны десятки этих показателей, поэтому для удобства они подразделяются на несколько групп. Чаще всего выделяют пять групп показателей по следующим направлениям финансового анализа.

1. Анализ ликвидности. Показатели этой группы позволяют описать и проанализировать способность предприятия отвечать по своим текущим обязательствам. В основу алгоритма расчета этих показателей заложена идея сопоставления текущих активов (оборотных средств) с краткосрочной кредиторской задолженностью. В результате расчета устанавливается, в достаточной ли степени предприятие обеспечено оборотными средствами, необходимыми для расчетов с кредиторами по текущим операциям. Поскольку различные виды оборотных средств обладают различной степенью ликвидности (конвертации в абсолютно ликвидные средства - денежные средства), рассчитывают несколько коэффициентов ликвидности (см. раздел 4.5).

2. Анализ финансовой устойчивости. С помощью этих показателей оценивается состав источников финансирования и динамика соотношения между ними. Анализ основывается на том, что источники средств различаются уровнем себестоимости, степенью доступности, уровнем надежности, степенью риска и др. (см. раздел 4.6).

3. Анализ текущей деятельности. С позиции кругооборота средств текущая деятельность любого предприятия представляет собой процесс непрерывной трансформации одних видов оборотных активов в другие:

где ДС - денежные средства;

СС - сырье на складе;

НП - незавершенное производство;

ГП - готовая продукция;

СР - средства в расчетах (дебиторы).

Эффективность текущей финансово-хозяйственной деятельности может быть оценена протяженностью операционного цикла, зависящей от оборачиваемости средств в различных видах активов. При прочих равных условиях ускорение оборачиваемости свидетельствует о повышении эффективности. Поэтому основными показателями этой группы являются показатели эффективности использования материальных, трудовых и финансовых ресурсов: выработка, фондоотдача, коэффициенты оборачиваемости средств в запасах и расчетах (см. раздел 4.7).

4. Анализ рентабельности. Показатели этой группы предназначены для оценки общей эффективности вложения средств в данное предприятие. В отличие от показателей второй группы здесь абстрагируются от конкретных видов активов, рентабельность капитала анализируют в целом. Основными показателями поэтому являются рентабельность авансированного капитала и рентабельность собственного капитала (см. раздел 4.8).

5. Анализ положения и деятельности на рынке капитала, В рамках этого анализа выполняются пространственно-временные сопоставления показателей, характеризующих положение предприятия на рынке ценных бумаг: дивидендный выход, доход на акцию, ценность акции и др. Этот фрагмент анализа выполняется главным образом в компаниях, зарегистрированных на биржах ценных бумаг и котирующих там свои акции. Любое предприятие, имеющее временно свободные денежные средства и желающее вложить их в ценные бумаги, также ориентируется на показатели данной группы (см. раздел 4.9).

Предикативные модели - это модели предсказательного, прогностического характера, которые используются для прогнозирования доходов предприятия и его будущего финансового состояния. Наиболее распространенными из них являются расчет точки критического объема продаж (см. раздел 3.5), построение прогностических финансовых отчетов (см. раздел 2.5.6), модели динамического анализа (жестко детерминированные факторные модели и регрессионные модели - см. разделы 2.6.2 и 2.8.2), модели ситуационного анализа (см. раздел 2.5.8). В указанных разделах нашего пособия будут рассмотрены некоторые теоретические и практические аспекты применения подобных моделей.

Нормативные модели. Модели этого типа позволяют сравнить фактические результаты деятельности предприятий с ожидаемыми, рассчитанными по бюджету. Эти модели используются в основном во внутреннем финансовом анализе, а также в управленческом учете, в частности в управлении затратами. Их сущность сводится к установлению нормативов по каждой статье расходов по технологическим процессам, видам изделий, центрам ответственности и т.п. и к анализу отклонений фактических данных от этих нормативов (см. раздел 3.4.2). Анализ в значительной степени базируется на применении системы жестко детерминированных факторных моделей.

35.Двухмерная (однофакторная) линейная модель линейной корреляционной связи.

 корреляционный анализ

Задачей описательной статистики является не только систематизация эмпирических данных в виде распределения частот и расчеты типовых показателей МЦТ и вариаций признаков ММ, но и выявление связи между переменными, оцинюва Ання его направления и интенсивности Сравнивая различные виды связей, можно выделить три типа зависимостей между переменными X и Y:

функциональная зависимость определяет значение переменной Y от X однозначно;

корреляционная зависимость определяет среднее значение переменной Y от X;

стохастическая зависимость определяет распределение переменной Y от X

Итак, наиболее общей считается стохастическая зависимость Корреляционная зависимость является зависимостью стохастической, функциональная - рассматривается как частный случай корреляционной зависимости

Сущность корреляции

Корреляция (от лат correlatio - соотношение) - это статистическая зависимость между случайными величинами, носит вероятностный характер

Корреляционные связи можно изучать на качественном уровне из диаграмм рассеяния эмпирических значений переменных X и Y (рис 251) и соответствующим образом их интерпретировать Так, например, если повышение уровня одной изм минной сопровождается повышением уровня другой, то речь идет оро положительнуюкорреляцию или прямая связь (рис 251, б) Если же рост одной переменной сопровождается снижением значений другой, то имеем дело с отрицательной корреляцией или обратной связью (рис 251 г, г) Ноль ьовою называется корреляция при отсутствии связи переменных (рис 251 в) Однако нулевая общая корреляция может свидетельствовать лишь об отсутствиисутність линейной зависимости, а не вообще об отсутствии любогостатистического связи

Рис 251 Диаграммы рассеяния эмпирических значений переменныхX и В:

а) строгая положительная корреляция б) сильная положительная корреляция в) нулевая корреляция г) умеренная отрицательная корреляция г) строгая отрицательная корреляция д) нелинейная корреляция

В психолого-педагогических исследованиях основном наблюдаются связи нелинейные (см. рис 251 д) Например, рост мотивации сначала повышает эффективность научения, а затем наступает снижение производительности (эффект \"перемотивации\" - закон Иеркса-Додсона) Количественная мера корреляций ийного связи оценивается по значениям коэффициентами корреляции в пределах от -1 до 1 Отрицательные значения коэффициентов указывают на обратную связь, положительные - на прямую Нулевое значение может свидетельствовать пр в отсутствие связи Интенсивность связи (слабая связь - умеренный - существенный - сильный) оценивается по абсолютным значениям коэффициентов корреляцийіцієнтів кореляції.

Методы расчета степени корреляционных связей тесно связаны с применяемыми измерительными шкалами (табл. 24)

Таблица 24

Коэффициенты корреляции зависимости от типов измерительных шкал

Шкалы признаки В	Шкалы признаки X
	Интервальная (отношений)	Ранговая	Номинальная
Интервальная (отношений)	Коэффициент Пирсона гх в; Дихотомическое коэффициент корреляции р; Тетрахоричний коэффициент корреляции тш
Ранговая	Коэффициент Спирмена г \"(при условии, если длях шкалу интервалов или отношений превратить в ранговую шкалу)	Коэффициенты корреляции Спирмена т Кендалла; Коэффициент конкордации В
Номинальная	Точечно-бисериальный коэффициент корреляции мая ^; бисериальный коэффициент корреляции гьии	рангов-бисериальный коэффициент корреляции	Коэффициент ассоциации Ф; Коэффициент контингенции Юла 6; Коэффициенты сопряженности Чупрова К и Пирсона С

Изучение связи между признаками, которые принимают случайные значения, начинается с оценки его линейности

Линейная корреляция

Линейный корреляционная связь для эмпирических данных, измеренных по шкале интервалов или отношений, оценивается с помощью коэффициента корреляции Пирсонаг _ху

где Хи и в и - значения переменных X и Y; х и у - средние X и Y; п - объем выборки

⁸ Указанные методы расчета с использованием компьютерной техники можно найти в учебнике [56]

Формула (222) может быть преобразована, если заменить значение переменныхХ и и в и нормированными значениями 2_х и г_у, и выглядеть так:

Пример 27 Оценить связь между переменнымиX иУ по эмпирическим данным таблицы рис 252 двумя способами с использованием формул (222) и (223) Способ 1

Последовательность решения:

o оценить характер линейности связи между признакамиX и В с помощью диаграммы рассеяния (рис 252);

Рис 252 Диаграмма рассеяния признаков

o убедиться, что корреляция линейная и продолжить расчеты коэффициента корреляции Пирсона г _ху (рис 253 и 254);

o в ячейках В16 и С16 рассчитать средние значения х и у

х = и х_і = 112,00; У =¹ ул = 18,17;

o в ячейках и В15 рассчитать суммы квадратов разностей:

X (х, - X)² = 386,00; у, - у)² = 311,67;

Рис 253 Результаты расчета коэффициента корреляцииг _ху

o в ячейке Н18 рассчитать сумму произведений разниц:

X (х_і - X) o (у_і - у) = 242,00;

o в ячейке В17 рассчитать коэффициент корреляции г _ху по формуле:

гху = - ^242,00 - 0,70 л/386, 00 o 311,67

Рис 254 Расчетные формулы Значение г _ху ~ 0,70 свидетельствует о существенном прямая связь между признаками

Способ 2

Последовательность решения:

o Результаты расчета г _ху за нормируемыми данным показано на рис 255, расчетные формулы рис 256

Рис 255 Результаты расчета г _ху за нормируемыми данным

o в ячейках В16 и С16 рассчитать средние значения х и у;

o в ячейках В17 и С17 рассчитать стандартные отклонения у_х и у_у;

Рис 256 Формулы расчета г _ху за нормируемыми данным o в столбцах Б и Е рассчитать нормированные данные 2_х и 2_у (обратите внимание

что среднее нормированных данных равен 0, а стандартное отклонение - 1,00);

o в ячейке В18 рассчитать коэффициент корреляцииr _xy по формуле (223);

Выводы Одно и то же значение r _xy ~ 0,70 рассчитан двумя способами Методы расчета за нормируемыми данным выглядят более лаконично Значение парного коэффициента корреляции Пирсона r _xy можно получить с помощью специальной функции MS Excel = Пирсон ()

36.Проверка адекватности однофакторной регрессионной модели.

Для практического использования моделей регрессии большое значение имеет их адекватность, т. е. соответствие фактическим статистическим данным.

Адекватность регрессионной модели при малой выборе можно оценить F критерием Фишера:

 ,

где m – число параметров модели;

n - число единиц наблюдения;

 - факторная дисперсия, которая характеризует вариацию результативного признака под влиянием признака фактора, включенного в модель;

 - остаточная дисперсия, характеризующая вариацию результативного признака под влиянием прочих, неучтенных факторов;

 - общая дисперсия, показывающая вариацию результативного признака под влиянием всех факторов, вызывающих эту вариацию:

 

 .

 

Эмпирическое значение критерия сравнивается с критическим (табличным)с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (m-1), (n-m).

Если >, то уравнение регрессии признается значимым.

Проведем оценку адекватности регрессионной модели , выражающей зависимость среднего объема привлеченных средств банков от собственных средств, с помощью F критерия Фишера:

 

 ;

 ;

 

 ;

 

 .

 

Табличное значение F_т с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы (2-1), (15-2) равно 4,68. (См. Приложение 7). Так как >, то уравнение регрессии можно признать адекватным.

При численности объектов анализа до 30 единиц (при малой выборе) возникает необходимость испытания параметров уравнения на их типичность (значимость). При этом осуществляется проверка, насколько вычисленные параметры характерны для отображаемого комплекса условий, не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных причин.

Для проверки значимости параметров уравнения регрессии используется t – критерий Стьюдента. Вычисляются фактические значения t критерия:

Для параметра :

 ;

для параметра :

 

 ,

где - среднее квадратическое отклонение результативного признака от выравненных значений;

 

 - среднее квадратическое отклонение факторного признака хот общей средней .

Полученные фактические значения исравниваются с критическим, который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимостиа (а=0,01 или а=0,05) и числа степеней свободы k=n-2.

Параметр признается значимым (типичным), если эмпирическое значение больше критического табличного:

 > <.

 

Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента:

 

 ;

 ;

 

 ;

 

 .

 

Табличное значение t – критерия с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы k=n-2=15-2=13 равно 2,161 (Приложение 6).

Сравним фактические значения ис критическим (=2,161), получаем:

 

 = 4,96 > = 2,161<=15,2.

 

Следовательно, вычисленные по уравнению регрессии параметры ипризнаются значимыми.

Измерение тесноты корреляционной связи.

Проверка адекватности регрессионной модели может быть дополнена корреляционным анализом. Для этого необходимо определить тесноту корреляционной связи между переменными х и у.

Теснота связи между двумя признаками может измеряться линейным коэффициентов корреляции (r), корреляционным отношением ( ) и индексом корреляции (R).

Линейный коэффициент корреляции определяется по формулам:

 

 

или .

 

Линейный коэффициент корреляции характеризует степень тесноты только при прямолинейной корреляционной зависимости. С коэффициентом регрессии связан таким соотношением:.

Величина принимает значения в интервале:. Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные – на прямую. При=0 линейная связь отсутствует. Чем ближепо абсолютной величине к единице, тем теснее связь между признаками. И, наконец, при, связь функциональная.

Квадрат линейного коэффициента корреляции называется линейным коэффициентом детерминации, показывает удельный вес влияния данного фактора в общей сумме всех факторов, определяющих уровень результативного признака.

Линейный коэффициент корреляции предложили в конце XIX века английские ученые Ф. Гальтон и К. Пирсон.

При наличии криволинейной корреляционной связи недооценивает тесноту связи и в некоторых случаях может дать неверное представление о степени тесноты связи.

Теоретическое корреляционное отношение ( ) и индекс корреляции () служат для измерения тесноты связи как при прямолинейной, так и при криволинейной корреляционной связи.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формулам:

 

 или .

 

Корреляционное отношение в квадрате показывает, какую часть всей вариации результативного признака составляет вариация, вызванная факторным признаком.

Для упрощения расчетов степени тесноты связи часто применяется индекс корреляции. Индекс корреляции определяется по следующим формулам:

 

 или .

 

Абсолютные размеры линейного коэффициента корреляции, корреляционного отношения, индекса корреляции колеблются от 0 до 1. Направление связи (знак перед и) определяется непосредственно по исходным данным.

Для качественной оценки тесноты связи можно воспользоваться также шкалой Чеддока:

 

Величина показателя тесноты связи	Характеристика тесноты
0,1- 0,3 0,3 – 0,5 0,5 – 0,7 0,7 – 0,9 0,9 - 0,99	Слабая Умеренная Заметная Высокая Весьма высокая

 

Показатели ипри прямолинейной связи совпадают. Поэтому вычисленные по одним и тем же данным величиныичасто используют для того, чтобы судить о том, насколько для данного случая правильно предположение о наличии именно прямолинейной формы корреляционной связи. Английский статистик Блекман предложил следующий критерий: если разностьне превышает 0,1, предположение о прямолинейной форме корреляционной связи можно считать оправданным.

При выборе вида уравнения можно воспользоваться еще критерием криволинейности , если k> 2,5, то предположение о данном виде криволинейной связи можно считать оправданным.

Используем данные табл. 7.7 и рассчитаем линейный коэффициент корреляции, теоретическое корреляционное отношение и индекс корреляции:

 ;

 

 ;

 

 ;

 

 ;

 

 .

 

Все показатели тесноты корреляционной связи показывают весьма высокую связь между объемами привлеченных и собственных средств.

Коэффициент детерминации 0,947 означает, что вариация привлеченных средств банков на 94,7% объясняется вариацией собственных средств и на 5,7% - прочими факторами.

Так как , то можно седлать заключение, что гипотеза о линейной форме связи подтверждена.

37.Трехмерная (двухфакторная) линейная модель линейной корреляционной связи.

38.Парные и частные коэффициенты корреляции, совокупный коэффициент множественной корреляции и детерминации.

Если факторные признаки различны по своей сущно­сти и/или имеют различные единицы измерения, то коэф­фициенты регрессии  при разных факторах являются не­сопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с ре­зультатом, позволяющими ранжировать факторы. К ним от­носят: частные коэффициенты эластичности, β-коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.

Парные коэффициенты корреляции. Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных (без учета их взаимодействия с другими переменными) применяются парные коэффициенты корреляции. Методика расчета таких коэффициентов и их интерпретации аналогичны линейному коэффициенту корреляции в случае однофакторной связи.

где - среднее квадратическое отклонение факторного признака;

      - среднее квадратическое отклонение результативного признака.

Коэффициент частной корреляции измеряет тесноту линейной связи между отдельным фактором и результатом при устранении воздействия прочих факторов модели.

Для качественной оценки тесноты связи можно использовать следующую классификацию:

0.1- 0.3- слабая связь

0.3-0.5 – умеренная связь

0.5-0.7- заметная связь

0.7-0.9- тесная связь

0.9-0.99- весьма тесная

Для расчета частных коэффициентов корреляции мо­гут быть использованы парные коэффициенты корреляции.

Для случая зависимости Y от двух факторов можно вычислить 2 коэффициента частной корреляции:

   

(2-ой фактор  фиксирован);

 

    

(1-ый фактор  фиксирован).

 

Это коэффициенты частной корреляции 1-ого порядка (порядок определяется числом факторов, влияние которых на результат устраняется).

Частные коэффициенты корреляции, рассчитанные по таким формулам изменяются от -1 до +1. Они используют­ся не только для ранжирования факторов модели по степени влияния на результат, но и также для отсева факторов. При малых значениях  нет смысла вводить в уравнение m-ый фактор, т.к. качество уравнения регрессии при его введении возрастет незначительно (т.е. теоретиче­ский коэффициент детерминации увеличится незначитель­но).

Совокупный коэффициент множественной корреляции или индекс множественной корреляции определяет тесноту совместного влияния факторов на результат:

где  остаточная дисперсия;

или 

. Он принимает значения от 0 до 1 (в отличие от парного коэффициента корреляции, который может прини­мать отрицательные значения, Rиспользуется без учета на­правления связи). Чем плотнее фактические значения располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина. Таким образом, при значенииR близком к 1, урав­нение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат; при значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактиче­ские данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

При трех переменных для двух факторного уравнения регрессии данная формула совокупного коэффициента множественной корреляции легко приводится к следующему виду:

Чем R ближе к единице, тем совокупное влияние изучаемых показателей x1 и x2  на результативный фактор y больше (корреляционная связь более интенсивная).

 

Множественный (совокупный) коэффициент детерминации определим как квадрат множественного коэффициента корреляции. Показывает, какая доля вариации изучаемого показателя объясняется влиянием факторов, включенных в уравнение множественной регрессии. Его значение - в пределах от нуля до единицы. Чем ближе множественный коэффициент детерминации к единице, тем вариация изучаемого показателя в большей мере характеризуется влиянием отобранных факторов. 

Связь: Частный коэффициент корреляции в отличие от коэффициента (полного) парной корреляции между явлениями показывает тесноту связи после устранения изменений, обусловленных влиянием третьего явления на оба коррелируемых признака (из значений корреляционных признаков вычитаются линейные оценки в связи с третьим признаком).

Также из приведенных ранее формул частных коэффициентов корреляции видна связь этих показателей с совокупным коэффициентом корреляции. Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить  совокупный коэффициент корреляции по формуле:

При полной зависимости результативного признака от исследуемых факторов коэффициент совокупного их влияния равен единице. Из единицы вычитается доля остаточной дисперсии результативного признака , обусловленная последовательно включенными в анализ факторами. В результате подкоренное выражение характеризует совокупное действие всех исследуемых факторов.

39.Непараметрические методы установления связи между качественными признаками.

Методы корреляционного и регрессионного анализа не универсальны: их можно применять, если все изучаемые признаки являются количественными. Между тем в статистике приходиться сталкиваться с задачами измерения связи между качественными признаками. Такие методы измерения связи называются непараметрические.

Для исследования степени тесноты связи между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков, может быть использован коэффициент ассоциации Д. Юла или коэффициент контингенции К. Пирсона. Расчетная таблица в этом случае состоит из четырех ячеек (таблица «четырех полей») и имеет следующий вид:

Признаки	А (да)	(нет)	Итого
B (да)	a	b	а + b
(нет)	c	d	c + d
Итого	a + c	b + d	n

Коэффициент ассоциации вычисляется по формуле:

.

Коэффициент контингенции:

.

Если по каждому из взаимосвязанных признаков выделяется число групп более двух то для подобного таблиц теснота связи между качественными признаками может быть измерена с помощью коэффициентов взаимной сопряженности К. Пирсона и А. А. Чупрова.

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона вычисляется по формуле:

, где j² – показатель средней квадратической сопряженности, который вычисляется по формуле:

, где ,.

Коэффициент Чупрова:

, где К₁, К₂ – число групп по каждому из признаков.

Для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками, при условии, что значение этих признаков могут быть проранжированы по степени убывания или возрастания, используется коэффициент корреляции рангов Спирмена:

,

где d – разность рангов признаков x и y ;

n - число наблюдаемых единиц.

В случае отсутствия связи r = 0. При прямой связи коэффициент r - положительная правильная дробь, при обратной – отрицательная.

Если объём исходной информации небольшой, то необходимо выполнить проверку существенности рангового коэффициента, т. е. сверить с таблицей предельных значений. Расчетное значение r должно быть больше предельного.

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется коэффициент конкордации:

,

где m – количество факторов;

n - число наблюдений;

S - отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

Рассмотрим пример:

В результате обследования студентов факультета получены следующие данные:

Успеваемость	Количество студентов	Всего
Посещающих спортивные секции	Не посещающих спортивные секции
Удовлетворительная
Неудовлетворительная
Итого

Определите коэффициент ассоциации и контингенции между успеваемостью и посещаемостью спортивных секций.

Коэффициент ассоциации:

Коэффициент контингенции:

.

Полученные коэффициенты подтверждают наличие существенной связи между исследуемыми признаками. Однако коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации и дает более корректную оценку тесноту связи.