Характерные черты математики
1. Математика изучает абстрагированные свойства предметов – числа, а не совокупности предметов, геометрические фигуры, а не реальные тела. При этом математика абсолютизирует свои абстракции: возникшие в ходе ее развития математические понятия в дальнейшем закрепляются и рассматриваются как данные. Например, хотя теперь известно, что свойства реального пространства отличны от предполагавшихся Евклидом, построенная им геометрия сохранила свое значение, как одна из возможных моделей реального
пространства.
Сравнение же результатов, полученных в математике, с реальной действительностью является задачей не столько математики, сколько её приложений.
Характерные черты математики
2. Основным методом получения математических результатов является логический вывод, не опирающийся на экспериментальную проверку.
3. Как следствие этого имеет место непреложность математических выводов. Если приняты исходные посылки, то полученные из них математическим путем результаты непреложны. Если же результаты расходятся с опытом, то следует подвергнуть исследованию принятые посылки.
Характерные черты математики
4. Абстракции, возникающие в математике, развиваются ступенчато – от
абстракций, непосредственно обобщающих свойства реальных предметов, к абстракциям столь высокого уровня, как топологические пространства, общие алгебраические системы, алгоритмы и т.д.
Характерные черты математики
5. Математика обладает свойством универсальной применимости. В любой области, где только удается математически поставить задачу, математика дает результат с точностью, соответствующей точности постановки задачи. При этом, чем более отвлеченными от содержания являются используемые в исследовании понятия и методы, тем шире об-ласть возможных применений этих методов. Однако эта универсальность не является абсолютной – сама возможность применения математических методов предполагает известный уровень абстрактности данной науки.
Кроме того, ошибочность принятых положений не может быть исправлена сколь угодно тонким математическим анализом.
Характерные черты математики
6. Наконец отметим, что математика занимает особое положение в системе наук – её нельзя отнести ни к
гуманитарным, ни к естественным наукам. Она дает те основные понятия,
которые используются почти во всех науках. Такие понятия, как «множество», «структура», «система», «изоморфизм» и т. д., впервые возникшие в математике, сейчас приобрели статус общенаучных понятий.
Основные этапы развития математики
Современный период развития математики
(начало XIX в – наши дни)
Математика переменных величин
(конец XVII в – начало XIX в )
Математика постоянных величин
(V в до н.э. – XVII в н. э.)
Период зарождения математики
(от древности до VII - V вв до н.э.)
Период зарождения математики
(с древнейших времен до VII-V вв. до н. э.)
Формируются три основные понятия:
число, величина, геометрическая фигура.
Период зарождения математики
(с древнейших времен до VII-V вв. до н. э.)
Установлена связь между натуральными числами и величинами.
Натуральные
Когда результат измерения не выражался натуральным числом, либо переходили к более мелкой единице измерения, либо выражали результат измерения дробью, то есть вводятся
рациональные числа.
Период зарождения математики
(с древнейших времен до VII-V вв. до н. э.)
Длина = … Площадь = … Объем = …
С помощью наблюдений и простейших рассуждений получены формулы для вычисления геометрических величин - длин, площадей и объемов различных фигур
Вавилонские ученые умели решать уравнения первой и второй степеней (а в некоторых случаях - и более высоких степеней), решать задачи на прогрессии и т. д.
Период зарождения математики
(с древнейших времен до VII-V вв. до н. э.)
Однако, несмотря на накопление известного теоретического материала, математика того времени еще не была дедуктивной наукой - наряду с результатами, полученными путем тех или иных выводов, она содержала много эмпирических результатов, часть которых была даже ложной.
Задачи в древнеегипетских папирусах классифицировались не по методам решения, а по содержанию. Вместо доказательств писалось: «Делай, как делается», т. е. основой было не логическое рассуждение, а ссылка на авторитет предшественников. Основной задачей обучаемого было не понимание правил, а их запоминание.