Математика постоянных величин
Древняя Греция (VII в до н.э.- V в н.э.)
Математика становится дедуктивной наукой - Фалес Милетский ввел метод логического доказательства
математи-ческих утверждений.
Метод логического доказательства был развит и усовершенствован учеными пифагорейской школы. Пифагорейцы предприняли первую попытку свести геометрию и алгебру того времени к арифметике.
Они считали, что «все есть число», понимая под словом «число» лишь натуральные числа.
Греческие математики предприняли попытку обосновать всю математику на основе геометрических понятий. Они стали развивать геометрическую алгебру, истолковывая, например, сложение величин, как сложение отрезков, а умножение - как построение прямоугольника с заданными сторонами. При этом говорили о равенстве отрезков, а не о равенстве их длин, поскольку длина отрезка выражается числом, а числа были изгнаны из древнегреческой математики. Следы такого подхода к алгебре сохранились в современных терминах квадрат числа, куб числа, геометрическое среднее, геометрическая прогрессия и т. д.
Математика постоянных величин
Древняя Греция (VII в до н.э.- V в н.э.)
Недостатком геометрического подхода к математике было то, что он препятствовал развитию алгебры - невозможно было представить геометрически четвертую и высшие степени длины, а, кроме того, нельзя было складывать выражения разных степеней: эта сумма геометрического смысла не имела. По той же причине в греческой математике не было отрицательных чисел и нуля, иррациональных чисел и буквенного исчисления.
Выдающуюся роль в формировании математики как теоретической науки сыграла знаменитая книга Евклида «Начала» (III в до н.э.), представлявшая синтез и систематизацию
основных результатов древнегреческой математической мысли и длительное время служившая источником знаний и образцом строгого математического изложения. В ней впервые был предложен метод, который теперь называют аксиоматическим.
Аксиоматический метод
Аксиоматический метод – это такой способ построения теории, при котором в основу кладутся исходные положения (аксиомы или постулаты), а все остальные положения (теоремы) выводятся из исходных путем рассуждений, называемых доказательствами. Аксиоматическая теория должна быть непротиворечивой и полной, аксиомы – независимыми.
Науки, которые строятся на основе аксиоматического метода, называют дедуктивными (математика и логика, некоторые разделы физики); индуктивные науки строятся на основе обобщения наблюдений и экспериментов, их выводы имеют вероятностный характер и различную надёжность.
Математика постоянных величин
После принятия христианства в V в. н. э. математика на несколько веков уходит из Европы - центр математических исследований переместился на Восток: в Индию, Китай и арабский мир.
Индийские математики ввели нуль и отри- цательные числа, проводили исследования по комбинаторике (Ариабхатта, V в. н. э.).
Основной заслугой арабских математиков (аль- Беруни, Омар Хайям, Гиясэддин Джемшид, IX-XIII вв. н. э.) следует считать развитие тригонометрии (в связи с астрономическими исследованиями) и создание новой области математики - алгебры.
Алгебра, которую теперь рассматривают как общее учение о формальных действиях и их свойствах, появилась у арабов как наука о решении уравнений. Само слово «алгебра» арабского происхождения и означало «восстановление», т. е. перенос отрицательных слагаемых в другую часть уравнений.
Математика постоянных величин
С начала XIII в. математика возвращается в Европу.
Но лишь в XVI в. были получены первые научные результаты, превзошедшие достижения греков и арабов, - итальянские математики дель Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и др. вывели формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней.
Формируется система алгебраических обозначений - словесная алгебра постепенно заменяется буквенной.
В начале XVII в. в трудах французских и английских математиков (Виета, Декарта, Гэрриота) завершается развитие алгебраической символики, создаются правила буквенного исчисления. Происходит расширение понятия о числе:
окончательно утверждаются отрицательные числа, а вскоре за тем появляются и комплексные числа. При этом оказалось, что правила буквенной алгебры в равной мере применимы к числам любого вида.
Важнейшую роль сыграли работы итальянского ученого Бомбелли (XVI в.) и французского математика Рене Декарта (XVII в.), которые фактически ввели идею действительного числа, освободив тем самым алгебру от несвойственной ей геометрической одежды. Декарт начал алгебраически решать геометрические задачи, положив
начало аналитической геометрии.
Джон Непер
Джон Непер |
Титульный лист книги Непера |
(Napier, John; |
«Описание удивительных таблиц |
1550-1617) |
логарифмов», 1614 г. |
Шотландский лорд |
|
Логарифмическая линейка
log (a*b) = log a + log b
b
1 2 3 4 5 6
1 |
2 |
3 |
4 |
5 6 |
a
a • b
Логарифмическая
линейка
Математика переменных величин
Третий период развития математики следует отсчитывать с работ Декарта, в которых он ввел понятие переменной величины
Под влиянием запросов практики математики XVII в. переходят от изучения постоянных величин к исследованию зависимостей между переменными величинами, т. е. к математическому описанию движения и других процессов.
Готтфрид
Лейбниц
(Leibniz,
Gottfried; 1646-1716)
Таким образом, третий период развития математики является
периодом, математики переменных величин
Одним из основных достижений этого периода явилось введение общего понятия функции, сделанное в конце XVII в. немецким математиком и философом Г.В.Лейбницем. В этом понятии нашла свое отражение общефилософская идея о всеобщей связи явлений материального мира.
Арифмометр Лейбница
Арифмометр Лейбница (1673 г., реконструкция). Механизм ввода слагаемых размещен спереди на подвижной каретке, его ступенчатые валики вращаются правой рукояткой. Суммирующий механизм расположен сзади, сдвиг каретки производится поворотом левой рукоятки
Математика переменных величин
Рассматривая вопросы геометрии и механики в конце XVII в., английский физик и математик И. Ньютон и почти одновременно с ним Г. В. Лейбниц создали основы дифференциального и интегрального исчислений.
Они и их ученики развили аппарат математического анализа, ставший одним из основных орудий в решении задач механики и гидродинамики, астрономии и оптики.