Оценка качества регулирования

Качество любой системы регулирования определяется величиной ошибки:

x(t)=g(t)−y(t)=Φ_x(p)g(t)

Но функцию ошибки x(t) для любого момента времени трудно определить, поскольку она описывается с помощью ДУ системы – Φ_x(p) – высокого порядка, и зависит от большого количества параметров системы. Поэтому оценивают качество САР по некоторым ее свойствам, определяют которые с помощью критериев качества.

Критериев качества регулирования много. Их разделяют на 4 группы:

1. Критерии точности – используют величину ошибки в различных типовых режимах.

2. Критерии величины запаса устойчивости – оценивают удаленность САР от границы устойчивости.

3. Критерии быстродействия – оценивают быстроту реагирования САР на появление задающего и возмущающего воздействий.

4. Интегральные критерии – оценивают обобщенные свойства САР: точность, запас устойчивости, быстродействие.

Существует два основных подхода к оценке качества:

1. Первый использует информацию о временных параметрах системы: h(t), w(t); расположение полюсов и нулей ПФ замкнутой системыΦ(s).

2. Второй использует информацию о некоторых частотных свойствах системы: полоса пропускания; относительная высота резонансного пика; и т.д.

Точность в типовых режимах

Рабочие файлы: [ok_ast.vsm]

Для оценки точности используется величина ошибки в различных типовых режимах. Типовые режимы движения состоят в подаче на вход сигналов с нормированными метрологическими характеристиками. Различают типовые режимы:

1. Ненулевое, неподвижное состояние.

2. Движение с постоянной скоростью.

3. Движение с постоянным ускорением.

4. Движение по гармоническому закону.

Сигналы задания для типовых режимов движения, их модели и изображения по Карсону-Хевисайду

На рис. показаны режимы: ненулевого, неподвижного положения координаты; движение с постоянной скоростью; движение с постоянным ускорением. Легко понять, что перемещение координаты с постоянной скоростью легко получить интегрированием постоянного сигнала, а для получения координаты движущейся с постоянным ускорением необходимо интегрировать координату, перемещающуюся с постоянной скоростью. Заменив операцию интегрирования оператором, получим изображения по Карсону-Хевисайду.

Ошибки статической системы

Здесь и далее будем рассматривать установившиеся составляющие ошибки системы в типовых режимах движения. Для чего будем анализировать уравнение ошибки:

,

где: g₀+v/s+ε/s² – изображение представленного рядом Тейлора входного сигнала; s→0 соответствует установившемуся режиму.

Итак, если ПФ САР W(s) статическая, т.е. в области низких частот W(s)|_s→0→K. Тогда первая составляющая ошибки:

,

т.е. в статической системе ошибка, вызванная заданием равным константе, так же константа, но меньшая в 1+K раз, а ошибки от заданий меняющихся с постоянными скоростью или ускорением нарастают до бесконечности.

Ошибки системы с астатизмом первого порядка

Если ПФ САР W(s) обладает астатизмом первого порядка, т.е. в области низких частот W(s)|_s→0→K_v/s. Тогда первая составляющая ошибки:

,

т.е. в астатической системе первого порядка ошибка от задания равного константе равна нулю, ошибка от задания меняющегося с постоянной скоростью равна x_v=v/K_v, а ошибка от задания, меняющегося с постоянным ускорением, нарастает до бесконечности.

Ошибки системы с астатизмом второго порядка

Если ПФ САР W(s) обладает астатизмом второго порядка, т.е. в области низких частот W(s)|_s→0→K_ε/s². Тогда первая составляющая ошибки:

,

т.е. в астатической системе второго порядка ошибки от заданий равного константе и изменяющегося с постоянной скоростью равны нулю, а ошибка от задания меняющегося с постоянным ускорением равна константе x_ε=ε/K_ε.

Качество САР с астатизмом принято характеризовать величинами, называемыми добротностью по скорости и ускорению:

 .

О компенсации помех в астатических системах

Рассмотрим вторую составляющую ошибки x''_уст от возмущающих воздействий f_k0. Если САР астатическая, то W(s)|_s→0→∞, но возможен случай, когда W_fk(s)|_s→0→∞. Т.е. при любой степени астатизма САР x''_уст может быть отличной от нуля.

.

Резюме:

1. Для подавления ошибки от возмущения необходимо, чтобы интегрирующий элемент был включен в контур до места приложения возмущения.

2. Если рассматривать ошибку чувствительного элемента (сумматора) как возмущение, то, очевидно, что повышение степени астатизма не позволяет устранить ее.

Ошибка при движении по гармоническому закону g(t)=G_msin(ω_кt)

Рассмотрим только первую составляющую ошибки:

x'_уст=g(t)/[1+W(s)]=X_msin(ω_кt+φ)

где: g(t) – синусоида; [1+W(s)] – комплексное число.

Следовательно:

(1)

X_m=G_m/|1+W(jω_к)|≈G_m/A(ω_к).

Резюме:

1. Формула (1) позволяет идентифицировать положение неизвестной ЛАЧХ на данной частоте по амплитуде ошибки или сформулировать требования к ЛАЧХ при синтезе системы.

2. Особые точки ЛАЧХ определены комплексными сопряженными корнями. Поведение системы при данных частотах (ω_к=|jβ_к|) требует дополнительного исследования.

3. Особенность движения системы при гармоническом сигнале задания – это смена знака координат, которое во многих системах может сопровождаться нелинейными искажениями типа "ступенька" или сменой направления сил сухого трения.