Интегральные оценки качества

Рабочие файлы: [ok_absx_s.vsm]

Интегральные оценки дают обобщенную оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой координаты, в виде единого числового значения.

Находят применение первые три ИТ-оценки из перечисленных в списке:

1. I₁ и I₂ – линейные ИТ-оценки (не чувствительны к высшим производным координат САР).

2. I и I′ – квадратичные ИТ-оценки (первая не чувствительна к высшим производным координат САР; вторая – к неподвижному режиму).

3. I+T₁²I′ – улучшенная квадратичная ИТ-оценка (чувствительна к постоянной и к скоростной составляющим в движении координат САР).

4. I+T₁²I′+T₂⁴I″+… – ИТ-оценки более высоких порядков (чувствительны к постоянной составляющей в движении координат САР, к их скорости, к ускорению, ...).

 Пусть имеем переходные функции h(t).

Рассмотрим линейные ИТ-оценки:

.

Очевидно, что чем меньше значение оценки I₁ или I₂, тем лучше переходный процесс, но:

1. Оценка I₁ не может применяться к колебательному переходному процессу.

2. Аналитическое вычисление оценки I₂ по коэффициентам уравнения ошибки затруднено.

3. Одно значение оценки I₂ может соответствовать переходным процессам с разной колебательностью (если совпадают мажоранты и миноранты).

 Ограничения "a" и "b" для оценок I₁ и I₂ преодолеваются квадратичными ИТ-оценками I и I′:

.

Заметим, что оценку I′ можно получить нахождением оценки I, если подать на вход САР не ступенчатую 1(t), а дельта функцию δ(t)=1′(t). Применение оценки I′ ограничено тем, что она не чувствительна к установившемуся значению ошибки x_∞.

 Ограничение "c" и другие ограничения оценок I₁,I₂,I и I′ снимаются улучшенной квадратичной ИТ-оценкой:

,

где: x₀ – начальное значение отклонения в переходном процессе; I+T₁²I′ – не формула, а составной символ обозначения данной ИТ-оценки.

Очевидно, что I+T₁²I′ будет минимальна при T₁x′+x=(T₁p+1)x=0. Решение этого ДУ есть экспонента: x(t)=x₀e^−t/T₁, аy(t)=1−x(t)=y₀(1−e^−t/T₁).

Т.е. улучшенная квадратичная ИТ-оценка I+T₁²I′ будет иметь минимум при приближении переходной функции к экспоненте с заданной постоянной времени T₁.

 Можно использовать улучшенные ИТ-оценки более высоких порядков. Например:

.

Здесь оценка будет иметь минимум, только при перемещениях координат САР с определенными скоростью и ускорением, которые задаются постоянными времени T₁ и T₂ соответственно. Идея другого способа выбора параметров оценки заключена в том, что коэффициенты ДУ второго порядка можно выразить в виде затухания ζ и резонансной частоты q, которыми должна обладать настраиваемая САР.

Аналитический расчет квадратичных ИТ-оценок

Для аналитического расчета можно воспользоваться теоремой Парсеваля:

.

Если ошибка x(t)=y_∞−y(t), то ее изображение:

X(jω)=[Φ(0)−Φ(jω)]·G(jω).

Для нахождения I и I′ мы должны подавать сигналы 1(t) и 1′(t). Их изображения Фурье соответственно равны:

.

Тогда установившиеся значения выходной координаты и, соответственно, значения ПФ для этих режимов:

y_∞=1,Φ(0)=1       и       y_∞=0,Φ(0)=0.

В итоге изображения ошибок:

А квадратичные ИТ-оценки:

.