Коэффициенты ошибок

Рабочие файлы: [c1c2c3.vsm] [c1c2c3_is.vsm]

Пусть известна ПФ по ошибке Φ_x(s), тогда:

X(s)=Φ_x(s)G(s)=1/(1+W(s))G(s)

где: G(s) – изображение функции g(t).

Разложим Φ_x(s) в ряд Тейлора:

(2)

X(s)=[c₀+c₁s/1!+c₂s²/2!+c₃s³/3!+…]G(s);

перейдем к оригиналу:

x(t)=c₀g(t)+c₁g′(t)/1!+c₂g′′(t)/2!+c₃g′′′(t)/3!+…

Величины c₀,c₁,c₂,…,c_m – называют коэффициентами ошибок. Их можно определять двумя способами:

1. c₀=Φ_x(s)|_s→0,c_m=[d^mΦ_x(s)/ds^m]|_s→0

2. Делением числителя Φ_x(s) на знаменатель и сравнением с рядом (2).

Примечания:

1. Коэффициенты ряда (2) непосредственно связанны с коэффициентом усиления САР, добротностями K_v,K_ε,…

   Система \ Ошибки	K & c0	Kv & c1	Kε & c2
   W(s)=1/s^0×…	K & 1/(1+K)	0 & ...	0 & ...
   W(s)=1/s^1×…	∞ & 0	Kv & 1!/Kv	0 & ...
   W(s)=1/s^2×…	∞ & 0	∞ & 0	Kε & 2!/Kε

2. САР астатическая сигналу задания g(t) может быть статической для f(t), поэтому равенство нулю коэффициентов c₀,c₁,c₂,… для сигнала g(t) не обязательно означает равенство нулю коэффициентов c₀,c₁,c₂,… для сигнала f(t).

3. Ограничение количества членов ряда (2) и предположение о постоянстве коэффициентов ошибок c₀,c₁,c₂,… определяет применение метода для плавно меняющихся сигналов g(t) и f(t), когда переходная составляющая в движении системы успевает затухнуть.

Оценка запаса устойчивости и быстродействия по переходной характеристике

 Запас устойчивости САР оценивают по величине перерегулирования:

σ=(y_max−y_∞)/y_∞100, [%]

Варианты σ	0 %	10..30 %	50..70 %
Применяемость	редко	часто	избегают
Запас по фазе	90°	60°..30°	30°..10°
Число колебаний	0	1, 2	3, 4, ...

 Быстродействие САР оценивают по времени окончания переходного процесса t_п, при заданной допустимой ошибке (трубке):

Δ∈5;2,5;1,5;1;0,5;… [%] от y_∞, – установлено ГОСТ-ами.

 Частоту единичного усиления разомкнутой системы ω_ср можно оценить по частоте колебаний переходной функции.

Примечание: При синтезе САР используют область допустимых отклонений регулируемой величины.

Время нарастания ограничено:

• t_нmin – допустимым ускорением координат и предельными колебательными режимами;

• t_нmax – требуемым быстродействием.

На рис. t_з – максимальное допустимое время запаздывания (распространения) сигнала.

Корневые методы оценки качества

Поскольку корни ПФ однозначно определяют вид переходного процесса, их можно использовать для оценки: 1) запаса устойчивости и, 2) быстродействия.

Примечание: Обычно обходятся исследованием только полюсов ПФ Φ(s), т.е. корней характеристического уравнения 1+W(s)=0.

 Система будет склонна к колебаниям, если имеются комплексные корни вида −α±jβ. Оценить эту склонность можно используя показатель запаса устойчивости – колебательность:

μ=β/α,0<μ<∞

где: α – коэффициент затухания; β – круговая частота колебаний.

Колебательность определяет другой показатель – затухание амплитуды колебаний x(t)=Ce^−αtsin(βt+φ) за период:

.

Задание определенной колебательности заставляет ограничить область расположения корней.

Колебательность системы μ можно найти используя подстановку s=ze^j(90−φ), что соответствует повороту осей плоскости корней на угол (90−φ). Далее, используя любой критерий устойчивости, подбирают угол φ, при котором система будет находиться на границе устойчивости. И тогда:μ=tgφ=β/α.

 Для оценки быстродействия может использоваться понятие степени быстродействия η – это абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня. Т.е. если этот корень −α±jβ, то η равна коэффициенту затухания α.

И действительно, составляющая в переходном процессе x_η(t)=C_ηe^−ηtsin(βt+φ), затухает тем медленней, чем меньше η. Если в конце переходного процесса амплитуда колебаний равна ΔC_η, то веремя переходного процесса:

.

Задание определенной степени быстродействия заставляет ограничить область расположения корней.

Степень быстродействия η можно найти используя постановку s=z−η_var, что соответствует смещению корней на величину η_var. Далее, используя любой критерий устойчивости, подбирают значение η_var, при котором система будет на границе устойчивости. И тогда: η=η_var.

Понятие о среднегеометрическом корне Ω₀. Мажоранта и миноранта переходной функции

Пусть имеем характеристическое уравнение:

a₀sⁿ+a₁sⁿ⁻¹+…+a_n−1s+a_n=0.

Приведем его к нормированному виду (разделим на a_n и выполним подстановку):

qⁿ+a₁/a_n(Ω₀q)ⁿ⁻¹+…+a_k/a_n(Ω₀q)^n−k+…+1=0,

где:  – среднегеометрический корень.

Для статических САР a_n=1+K, для астатических a_n=K, a₀=T₁T₂…T_n; следовательно увеличивая K можно увеличитьΩ₀. На основании теоремы подобия увеличение Ω₀ вызовет пропорциональное радиальное смещение корней. Т.е. вид переходного процесса меняться не будет, но будет меняться его временной масштаб. Поэтому среднегеометрический корень Ω₀ является мерой быстродействия.

Для приведенного характеристического уравнения время будет безразмерным τ=Ω₀t, переходная функция h(t) в случае кратных вещественных корней или одной пары комплексных будет ограничена минорантой и мажорантой:

1−υ(η,t)<h(t)<1+υ(η,t),

где: υ(η,t)=e^−ηt[1+(ηt)¹/1!+(ηt)²/2!+…+(ηt)ⁿ⁻¹/(n−1)!] – разложение в ряд Тейлора огибающей той составляющей в переходном процессе, корень которой ближе к оси "+j".

На рис. демонстрируется, что любой переходный процесс в любой системе будет затухать тем медленней, чем больше корней вблизи оси "+j".