А.Ю.Лоскутов - Проблемы нелинейной динамики. Подавление хаоса и управление динамическими системами

ñì. [36, 37, 43, 45, 50, 51, 63, 64]), îñíî û òñÿ í ïð ïîëî íèè, ÷òî ï ð ì òðû ai сист мы мо ут ыть пр о р о ны н я ны ( исящи от x) функции р м ни. Если и о р ющ я точк н хо ится м лой окр стности н устойчи о о поло ния р но сия или н устойчи о о пр льно о цикл , то м лыми и м н ниями п р м тро мо но о иться, что ы он эту окр стность н поки л . В случ х отич ско о ттр к- тор т м спосо ом мо но ст ить сист му "р от ть"пр ктич ски н лю ом пр -льном цикл , ло нном т кой ттр ктор.

Допустим, что окр стности н устойчи о о пр льно о цикл , который ну но ст -или иро ть, сист м тся ото р ни м Пу нк р xn+1 = f(xn; a). Для это о ото р ния пр льный цикл у т пр ст ляться н устойчи ой н по и ной точк- ой x . (Для сло но о цикл , им ющ о н сколько о орото , р ссм три тся соот тст ующ я ит р ция ото р ния). В окр стности x ëÿ í ÷ íèé ï ð ì òð a,ли ких к ы р нному a0 ïî íè îòî ð íèÿ òñÿ ëèí éíûì ïð î ð î íè ì

xn+1

x

^

x

^

(12)

= A (xn

) + B(a a0) ;

^

k-ì ðí ÿ ì òðèö êî è,

^

^

^

A

B k-ì ðíûé êòîð-ñòîë ö, A

= @f=@xjx=x , B =

@f=@a x

x , ÿòû òî÷ê a = a0. Åñëè îò èò ð öèè ê èò ð öèè ï ð ì òð a è ì íÿ òñÿ,

j

=

òî, îïð ëÿÿ xn ÷ ð ëèí éíî îòî ð íè (12), ìî íî òü ïî õî ÿù ì ëî

отклон ни н ч нии a от номин льно о a0. Â ëèí éíîì ïðè ëè íèè ýòî è ì í íè ï ð ì òð ìî íî ïèñ òü è

^T

an

a0 =

L (xn

) ;

x

^

о н ч т оп р цию тр нспониро ния. Сл -

L k-ì ðíûé êòîð-ñòîë ö è T

î ò ëüíî, è (12) í õî èì, ÷òî

^

^ ^T

Æxn ;

Æxn+1 = A BL

Æxn = xn

x . Ò êèì î ð îì, í ïî è í ÿ òî÷ê x ó ò ñò èëè èðî í , ñëè

^

^ ^T

^

èì ë ñî ñò ííû í ÷ íèÿ ïî ìî óëþ

îïð ëèòü L ò ê, ÷òî û ì òðèö

A

BL

м ньш иницы.

Î÷ è íî, î ìóù íè ï ð ì òð a ли и о номин льно о н ч ния н ол ноыть слишком ольшим. М ксим льно опустимо отклон ни Æamax òñÿ ûð í-

	^T	(xn		x	) .
è ì Æamax > L

Р ссмотрим по ни исхо но о ото р ния при м лом отклон нии упр ляющ о

ï ð ì òð , a0 < a < a0. Пусть j sj < 1 è j uj > 1 со ст нны н ч ния, соот тст ующи устойчи ому и н устойчи ому н пр л ниям н по рхности с ч нияточк x , es è eu со ст нны кторы, от ч ющи этим н пр л ниям. Если отклонить п р м тр a от о номин льно о н ч ния a0 н н которую личину, a = a,a 2 ( a0; a0), то поло ни н по и ной точки ок тся см щ нным н которую

11

h i

ру ую точку x (a). Для м лых отклон ний (a a) íî î ïîëî íè îïð ëÿ òñÿ ñî-
отнош ни м			@x (a)		1
							(a) :
		g	@a	a=a0	' a	x
 ëè è x мо но исполь о ть лин йно при ли ни :
				^
	xn+1 x (a)			' A xn x (a) :
То , учиты я, что x (a) ' ag,
xn+1	'	ang	+ ( ueuqu + sesqs)(xn						ang) ;

кторы qu è qs опр ляются и соотнош ний qses = queu = 1, qseu = ques = 0. Ñë î ò ëüíî, an = an(xn). Äëÿ xn ! x í î õî èìî, ÷òî û xn почти поп л н устойчи о мно оо р и точки x . Поэтому ы ир тся an ò ê, ÷òî quxn+1 = 0. Ò ï ðü,ñëè xn+1 поп ло н устойчи о мно оо р и , то о мущ ни устр мля тся к 0, и поэтому тр ктория т п рь у т притя и ться к н по и ной точк x со скоростью, опр ля мой личиной s. Ò êèì î ð îì,

an

=

u

(xnqu)

:

(13)

u 1

(gqu)

Êî a > a0, то, опуск я gqu

= 0, í õî èì, ÷òî an

= 0, только сли xn ïîï -

ò î ë ñòü

6

6

1)gqu

. Ò êèì î ð îì,

j

xnqu

j

< x0

. Ñë î ò ëüíî, x0 = a0 (1

j

u

j

ëÿ ì ëûõ a0 типично н ч льно усло и исхо но о ото р ния ро т х отич ск-

ую тр кторию, к ч ст нно н отлич ющуюся от н контролиру мо о случ я о т х пор, пок xn н поп т эту о л сть. О н ко, сл ст и н учт нных соотнош н- ии (13) н лин йност й, этом случ тр ктория н с мо т ыть у л ч но мущ ни м и ост точно ли ко по ойти к точк x , что ы упр л ни ыло ости-имо. Ср н р мя т ко о п р хо но о проц сс тся соотнош ни м (a0) ,

= 1 + ln j uj=(2 ln j sj 1).

Проц ур ст или ции н устойчи ых цикло я ля тся эфф кти ной, ко тр к- тория ли к к ну ному циклу. Но сли он прохо ит ли от тр у мо о поло - ния, то мо т пройти ост точно ол о р мя, пр ч м контролиро ни ок -тся о мо ным. Если ттр ктор эр о ич ский, то пр ктич ски лю я окр стность ок ы тся ости имой. О н ко ко ттр ктор сист мы н эр о ич ский и, н прим р, ключ т устойчи ы пр льны циклы (т. . я ля тся к и ттр ктором), то этот м то мо т ыть прим н н только ля ст или ции н которых тр кторий. Для пр о ол ния этих тру ност й ыло пр ло но исполь о ть р личны проц -уры [75, 76, 77, 78, 101], по оли ши по-но ому по ойти к про л м ст или ции н устойчи ых цикло , т к р р от ть ру и ли ки по р ли ции спосо ы контроля х отич ских ин мич ских сист м [44, 45, 48, 58, 63, 92, 89, 102].

Хотя эти м то ы мо ут ыть исполь о ны ост точно широко (от ст или ции по ния сист м химич ской кин тики о упр л ния сокр щ ниями с р чной мышцы

12

[22, 30, 35, 43, 62, 79, 93, 103, 104, 105, 106], о оры по эксп рим нт льным р ульт т м см. ст тьях [63, 64]), осно ной их н ост ток с о ится к тому, что, прим няя их н пр ктик , н о хо имо н только к ый р ть ïîëî íè и о р ющ й точки (что н с о мо но), но и учиты ть óðî íü øóì , поскольку они ок ы ютсясьм по тли ы к лиянию шумо ых ф кторо [79]. Кром то о, опис нны м то ы я ляются ñèëî ûì, è ñë î ò ëüíî ë êî í ñ ïðèì íèìû. ×òî û è òü ýòèõ òðó íîñò é, íó íî исключить о р тную с я ь, т. . р ссмотр ть чисто мультиплик-ти но î éñò è .

4Ïî ë íè õ îñ

Д нный по хо к про л м упр л нию х отич скими ин мич скими сист м мип р ы ыл опис н р от х [86, 88, 87], ля ст или ции х отич ско о по нияыло пр ло но исполь о ть просто п рио ич ско о мущ ни î ë ñòè í ÷ íèé

ï ð ì òðî Ac, îò ÷ þùèõ ñóù ñò î íèþ õ îñ . тот по хо получил н литич ск-

о о осно ни ря посл ующих пу лик ций [25, 28, 67, 68, 69, 96, 70, 107, 108, 109]. С йч с этот м то у лось о о щить [24, 71, 72, 73], т к что о исполь о ни то мо ность н только по лять х ос, но и ст или иро ть р н нны циклы,

ò. . óïð ëÿòü ñèñò ìîé (ñì. ë ó 5).

4.1 Ï ð ì òðè÷ ñêî î ó íè

Иссл у м сн ч л ин мич ски сист мы, которы н о л ют х отич ским по - ни м, но то р мя í èì þò н три и льных устойчи ых цикло . В конт кст по л ния х ос про л м со ния устойчи ой ин мики ля т ких сист м мо тыть р ссмотр н к к пр рит льный ш к постро нию посл о т льной т ории ст или ции х отич ско о по ния ля потоко .

Р ссмотрим ифф р нци льных ур н ния торо о поря к :

x• + x = "x x4	1	(1 a)	(14)
	(1 + 2a) 8
è
x• + x = "x(x2 + ax + 1)			(15)

î ë ñòè D0, D0 им т тот смысл, что и сист м (2), " è a п р м тры. Бу м пол ть, что личин " я ля тся ост точно м лой, 0 " 1. Сист мы (14) и (15) эк и л нтны ур н ниям н рпол ско о тип , которы ч сто исполь уются к к м т м тич ски мо ли р личных р иофи ич ских н р торо [85, 110, 111, 112].

Ост но имся сн ч л н сист м (14). Структур ф о о о простр нст , которую мо но уст но ить, поль уясь м то ом уср н ния, я ля тся н сло ной. Им нно,

) Ïðè a < 1=2 сист м (14) им т о ин устойчи ый фокус.

13

) Ïðè a 2 ( 1=2; 1) сист м (14) о л т устойчи ым фокусом и н устойчи ым пр -льным циклом. З м тим, что нул ом по " при ли нии пр льный цикл им т р иус R = [(1 a)=(1 + 2a)]1=4, и поэтому при a ëè êèõ ê í ÷ íèþ 1=2, öèêë ìî ò í ë òü î ð íè÷ ííîé î ë ñòè D0.

) Ïðè a > 1 сист м (14) им т только о ин н устойчи ый фокус.

Ò êèì î ð îì, íè ïðè ê êèõ î ð íè÷ ííûõ í ÷ íèÿõ a ñèñò ì (14) í о л т устойчи ыми пр льными цикл ми. О н ко ни у т пок но, что при опр л - нных и м н ниях п р м тр a ííîé ñèñò ì î íèê þò устойчи ы ï ðèî è÷ ñêè

кол ния, мплиту которых н стр мится к нулю при " ! 0.
 ì ï ðèî è÷ ñêî î ìóù íè ï ðèî T = 2 =! сл ующим о р ом:
x = y ;
1
y = "y x4(1 + 2h cos 2! ) 8(1 h cos 2! ) x ;	(16)

= 1 ;

h мплиту о мущ ний, ! = 1=(1 + ")1=2 è > 0 я ля тся постоянной

личиной. Ур н ния (16) опр л ны о р нич нной о л сти D = D0 R=TZ, ñî ð ù é í ÷ ëî êîîð èí ò è D0 Rn. Ò ï ðü, ïîñð ñò îì ì íû ï ð ì ííûõ

= ! , x = b cos('+ ) ïðè óñëî èè (db=d ) cos('+ ) (d'=d )b sin('+ ) = 0, прихо им к сист м ур н ний ля b è ', уср няя которую р мя T и ост ляя только чл ны п р о о поря к по " (иными сло ми, п р хо я к присо ин нной сист м ), получим

db		b					h
	= "B(b; ') = "		(b4		1)(1 + 2 cos 2') ;
d		16
					(17)
d'						h
	= " (b; ') = " "2			+			(5b4 + 1) sin 2'# :
d						32
Хорошо и стно, что ст цион рны р ш ния b0; '0 ò êîé ñèñò ìû, ò. .
	B(b0; '0) = (b0; '0) = 0 ;
	@(B; )				(18)
					= 0 ;
	@(b; ')	b=b0; '='0 6
от ч ют пр льным цикл м сист мы (16) нул ом поря к т ории о мущ н-
ий, устойчи ость которых со п т		ñ		устойчи остью р ш ний (18). Кром то о,

ифурк ционны н ч ния п р м тр h (17) с точностью о O(") со п ют с соот тст ующими н ч ниями ля сист мы (16).

Л ко и ть, что сист м (18), кром р ш ния от ч ющ о три и льному циклу LT0 , èì ò ù òðè ï ðû ð ø íèé:

) b = 1; sin 2' = 8 =3h; cos 2' > 0;) b = 1; sin 2' = 8 =3h; cos 2' < 0;

14

) b4 = 16 (h4 4) 1=2 1 =5; cos 2' = 2=h; sin 2' < 0.

Т ким о р ом, н литич ски мо но уст но ить к ч ст нны и м н ния ин м- ик сист мы при у лич нии мплиту ы о мущ ний h. При этом э олюцию структуры р и ния ф о о о простр нст сист мы (16) н тр ктории при и м н ниимплиту ы h л ко понять, поль уясь ото р ни м Пу нк р = 0. Ò êîé í ëè ïðè î èò ê ñë óþù ìó.

1)Ïðè h = 0 сист м (16) им тся три и льный устойчи ый пр льный цикл L0T

èн устойчи ый ин ри нтный тор Tor2. Ïðè è ì í íèè ï ð ì òð h р м ры это о тор м няются только н личины п р о о поря к по ".

2)Ïðè h 2 (0; min(2; 8 =3)) í òîð Tor2 мо ут о ник ть с ло ы и н устойчи ы пр льны циклы п рио о , ольших T.

3)Åñëè h = h1 = 2+Æ(D) ( личин Æ(D) > 0 н с я и с кон чностью о л сти D0), òî, êðîì L0T è Tor2, î ë ñòè D им тся щ устойчи ых пр льных цикл

L1T è LT2 ï ðèî î T . С ростом п р м тр h циклы LT1 è LT2 монотонно стя и ются к циклу L0T .

4) Ïðè h = h2 = 8 =3 í òîð Tor2 ро ются п ры цикло п рио T :

ñ ëî ûõ, LT3 è LT4 , и н устойчи ых, LT5 è L6T . Ç ì òèì, ÷òî ñëè > 3=4, òî ñëó÷ è 3) è 4) í î õî èìî ïîì íÿòü ì ñò ìè.

5) Êî h = h3 = 2 [1 + (4 =3)2]1=2, то происхо ит лип ни устойчи ых цикло L1T

è L2T ñ ëî û LT3 è LT4 соот тст нно, с п р ч й им с о й устойчи ости. С ми циклы LT1 è L2T ñò íî ÿòñÿ ñ ëî ûìè.

6)Ïðè h = h4 = 2 [1 + (8 )2]1=2 циклы LT1 è L2T лип ют три и льный цикл LT0 ,ë ÿ î ñ ëî ûì.

7)Â ñëó÷ h > h4 ñèñò ì (16) ñóù ñò ó ò ñ ëî îé öèêë LT0 , устойчи ы циклы

LT3 è LT4 , и н устойчи ы циклы LT5 è LT6 .

Т ким о р ом, исполь уя м то п р м трич ских о мущ ний, мо но получить устойчи ы пр льны циклы сист м (14). Но и - присутст ия н устойчи ых пр -

льных цикло о л стью притя ния LT3 è LT4 ÿ ëÿ òñÿ í ñÿ î ë ñòü D. Р ссмотрим т п рь сист му (15). Т ми м то ми л ко уст но ить, что ля

ëþ î î î ð íè÷ ííî î í ÷ íèÿ ï ð ì òð a он им т только инст нный устойчи ый фокус. В о я п р м трич ско о мущ ни , мо но уст но ить, что этой сист м три -

и льный цикл LT0 с устойчи , и при н ч ниях h2 < h21 = 8 h1 + (1 + 2)1=2i ру их тр кторий он н им т. При h2 = h21 сист м (15) происхо ит ифурк ция ро ния

тр х п р пр льных цикло : тр х устойчи ых и тр х с ло ых. В с ч нии Пу нк р плоскостью = 0 это ы ля ит к к поя л ни тр х с ло-у ло , к ый и которыхт м р сп тся н с ло и устойчи ый у л. Р сстояни от них о н ч л коор - ин т ычисля тся к к

2: = h2 8 ph4 2 16h2 64 2 + O(");

15

2: = h2 8 + ph4 2 16h2 64 2 + O("):

Ñë î ò ëüíî, ïðè h > h1 сист м (15) м ст с три и льным LT0 сущ ст у т ч тыр устойчи ых пр льных цикл .

Ç ì ÷ íè 1. В силу присутст ия м ло о п р м тр ", и получ нных р ульт то сл у т, что ч м ли мо уль мультиплик тор н устойчи о о пр льно о цикл к 1, т м мо т ыть м ньш по мплиту п р м трич ско о йст и , которо н о хо - имо прило ить к сист м ля ро ния устойчи ых пр льных цикло .

Ç ì ÷ íè 2. Ан ло ичный и ло нным ыш р ульт т л ко получить ля опр -л нных сист м ëþ îé р м рности. Н прим р, ля сист м, пр ст имых к к прямо прои ни (14) или (15) и ур н ний тип z = Wz, W м триц , им ющ я со ст нны н ч ния с отриц т льными йст ит льными ч стями, сущ ст у т п р м-трич ско о мущ ни , при о ящ к поя л нию устойчи ых ï ðèî è÷ ñêèõ è í- èé.

Ç ì ÷ íè 3. Åñëè " ! 0, то р сстояни н стр мится к 0. то о н ч т, что ляост точно м лых " устойчи ы п рио ич ски р ш ния им ют êîí ÷íóþ мплиту у.

Т ким о р ом, ля опр л нно о кл сс ин мич ских сист м, которы тономном случ í о л ют устойчи ой ин микой, о мо но н йти п р м трич скио мущ ния, ы о ящ их н р им устойчи ых п рио ич ских кол ний.

Для о осно ния о мо ности ïî ë íèÿ õ îñ р ссмотрим с м йст о ном-рных унимо льных ото р ний: с м йст о к р тичных ото р ний, Ta : [0; 1] ! [0; 1], ч стным случ м которо о я ля тся хорошо и стно ло истич ско ото р н- и ,

Ta : x 7! '(x; a) = ax(1 x) ;	(19)
a 2 (0; 4] = A, и с м йст о экспон нци льных ото р ний, Ta : I ! I,
Ta : x 7! (x; a) = a exp[a(1 x)] ;	(20)

a = 0. ти с м йст широко исполь уются к к мо ли мно их фи ич ских, хим-

6

ич ских и ру их сист м и поэтому при л к ют ольшо ним ни иссл о т л й

(см., н прим р, [7, 85, 113, 114, 115, 116, 117]). Т к, ото р ни (20) ст ст нным о р ом о ник т при иссл о нии ря кол т льных химич ских р кций. Бол то о, лю о унимо льно ото р ни я ля тся полусопря нным к р тичному, и поэтому с м йст о (19) и р т ную роль т ории унимо льных ото р ний.

Для то о, что ы ок ть, что х отич ско по ни , проя ля мо ото р ниями (19) и (20) о мо но ст или иро ть п р м трич ским о йст и м, к ому п р-

ио ич скому о мущ нию п рио п р м тр a, ai+1 = g(ai); i = 1; 2; : : : ;

1; a1 =

g(a );

ai

= aj

ëÿ i = j (ai

A;

i = 1; 2; : : : ; ), ïîñò èì ñîîò òñò è êòîð

6

6

2

R

. То мо но р ссмотр ть мно ст о

A

= fa^ 2

^a = (a1; : : : ; a )

и простр нст

A

A

A : a^ = (a1; : : : ; a ); ai = aj; 1

i; j

; i = j; a1; :::; a

A

, A

R ,

|

}

6

6

2

g

{z

16

îò ÷ þù ñ î ìî íûì п рио ич ским о мущ ниям п рио , оп рирующих A. Д л , сл уя л 2, о мущ нны к р тично и экспон нци льно с м йст п р пиш м к к

Ta =

8

x 7! '(a; x) ;

(21)

>

è

< a 7! g(a) ;

>

:

~a =

8 x

7! (a; x) ;

(22)

T

>

g(a) ;

< a

7!

>

ai+1

= g(ai); i = 1; 2; : : : ;

1; a1 =: g(a );

ai = aj ;

i = j, ñîîò òñò ííî. Äëÿ ïî ì-

6

6

íî ñò Ac ï ð ì òðè÷ ñêèõ í ÷ íèé a, соот тст ующих х отич скому по нию

îòî ð íèé, ìíî ñò î Ac =

a^

Ac

Ac

Ac

: ^a = (a1; : : : ; a ); ai = aj; 1

f

2

6

i; j

;

i = j; a1; : : : ; a

2

Ac

, ó ò ñîîò òñò î òü ëþ ûì î ìóù íèÿì ï ðèî

6

g

|

{z

}

, оп рирующим Ac. Ò ï ðü ìî íî ïîê òü [67, 68, 69, 97], ÷òî ñóù ñò ó ò ïî ì- íî ñò î Ad Ac ò êî , ÷òî ñëè a^ 2 Ad, то о мущ нны ото р ния (21), (22) у ут о л ть устойчи ыми цикл ми кон чных п рио о . Док т льст о нно о ут р - ния про о ится пут м постро ния по мно ст Ad и н хо ния устойчи ых циклоото р ниях (21), (22).

Ò êèì î ð îì, ï ðèî è÷ ñêè ï ð ì òðè÷ ñêè î ìóù íèÿ í õ îòè÷ ñêîì ìíî ñò ïðè î ÿò ê ïî ë íèþ õ îñ . Ïðè ýòîì, î÷ è íî, ìíî ñò î ï ð ì òðè÷ ñêèõ í ÷ - íèé a^ 2 A, ля которых п рио ич ски о мущ мых с м йст х (21), (22) сущ ст уют устойчи ы циклы, открыто A.

И я по л ния х ос простым п р м трич ским о йст и м р ссм три л сь мно ими тор ми [39, 41, 43, 49, 52, 53, 60, 74] (см. т к о оры [36, 37]. В ч стности,ыли р иты о ольно эфф кти ны м то ы р он нсной ст или ции [39, 41, 49] и м то ы ысокоч стотной (н р он нсной) ст или ции [53] х отич ско о по ния.

4.2 М то ы р он нсной и ысокоч стотной ст или ции

Для т ор тич ско о о осно ния м то о р он нсной и ысокоч стотной ст или-ции исполь у тся о о щ нн я т ория М льнико [118] (см. т к [7, 113, 119]), к- люч ющ яся оц нк р сстояния м у устойчи ой и н устойчи ой с п р трис ми. В ифурк ционном случ устойчи я и н устойчи я с п р трисы о р уют омоклинич скую п тлю. При р руш нии т кой омоклинич ской структуры о мо ны три случ я: ыхо ящ я с п р трис окру т хо ящую; хо ящ я с п р трис окру -т ыхо ящую; с п р трисы п р с к ются. В п р ых ух случ ях р сстояни м у с п р трис ми соот тст нно < 0 è > 0 ля лю о о мом нт р м ни. И сли только н й тся мом нт t0, êî ì íÿ ò í ê, î íèê ò õ îòè÷ ñêî ïî íè .

Р ссмотрим ур н ни Дюффин -Холмс [120] (соот тст ующи ссылки см. [85,

17

113, 110, 119]) ñ ï ð ì òðè÷ ñêèì î ìóù íè ì:

x = y ;

(23)

y= x h1 + cos( t)ix3 Æy + cos !t ;

мплиту и ч стот п р м трич ско о о мущ ния. Со л сно [113], р с-

стояни м у устойчи ым и н устойчи ым мно оо р иями мом нт р м ни t0 ëÿ í î ìóù ííî î óð í íèÿ (23) òñÿ ûð íè ì

	2	1=2	!	sin(!t0) +	4Æ
(t0) = 2	!		!sch 2		3	:

Н тру но р ссчит ть это р сстояни ля ур н ния (23):

2p

2

!

4Æ

(t0) = p

! sch 2

sin(!t0) +

3

+

6

( 4

6 2

+ 1)csch 2

sin( t0) ;

èëè, î ÿ ñîîò òñò óþùè î î í ÷ íèÿ, (t0) = A(!) sin(!t0)+B( ) sin( t0)+C. Для то о, что ы личин ост л сь поло ит льной ля с х t0, н о хо имо ыполн ни н р нст

6 (A(!) C)

> ( 4 6 2 + 1)csch( =2) :

О н ко это усло и н я ля тся ост точным. Оно у т т ко ым, сли ч стоты и ! я ляются сои м римыми. Бол то о, сли отнош ни =! èðð öèîí ëüíî, òî ñóù ñò ó ò í ÷ íè t0, êî (t0) м ня т н к. При этом п рио р м ни , т ч - ни которо о происхо ит ойн я см н н к , мо но опр лить и соотнош ния A(!) B( ) C ' 0, которо р нтиру т ыполн ни усло ия к с ния с п р трис. В личин , исимости от , пр т рп т ск чки точк х, ч стоты и ! я ляются сои м римыми. Исполь уя числ нно мо лиро ни , мо но у иться, что х ос по ля тся н ч стот х (Rk) k (1)R , (Rk) рмоники ч стоты о у - ния ! óð í íèÿ (23).

Т ким о р ом, ст или ция х отич ской ин мики ур н нии Дюффин - Холмс н лю тся при р он нсном соотнош нии ч стоты н шн о п р м трич ск- о о о мущ ния и ч стоты сило ой сост ляющ й.

Если п р м трич ско о мущ ни ур н ния Дюффин -Холмс сти ин ч ,

x = y ;

(24)

y= a(t)x x3 Æy + cos !t ;

a(t) = a(1 + cos t), òî ëÿ í ëþ íèÿ ñò èëè öèè õ îòè÷ ñêîé èí ìèêè

мо но исполь о ть ысокоч стотно о у ни [53], ко ч стот ост точнолик по ср н нию с ч стотой !. Ан ло ичн я и я, по оли ш я н йти усло ия ст или ции п р рнуто о м ятник поср ст ом ыстрых кол ний по с , ыл

18

опис н щ 1951 о у [121, 122]. Осно н я и я (к к ля м ятник , т к и ур н - ния Дюффин -Холмс ) состоит том, что ы р лить ыстры и м л нны X п р м нны . В этом случ , пол я, что функция x(t) пр ст ля тся компо ици й x = X + , hxi = X, у тся получить ур н ни ля X. П р й м от ур н н- ия (24) с п р м трич ским о мущ ни м к ур н нию ля Фурь -компон нт, пол я

= (A cos t+ B sin t) + (C cos 2 t + D sin 2 t) + : : : . То получим н о р нич нно число сц пл нных н лин йных ур н ний:

•		3	3	2		2		2	1	2			_
X aX + X			+ 2		X(A		+ B		+ ) 2 a		A = ÆX				+ cos !t ;
2	_		•				_		2		3	2		3	+ ) = aX ;
(	A + B + A) aX + Æ(A + B) (3X									A + 4			A
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :																:

В с ою оч р ь, эти ур н ния опуск ют иссл о ни м то ом симптотич ско о р -ло ния функций A; B; : : : . Исполь уя этот ф кт и опуск я пром уточны ыкл -ки, п р ом при ли нии получим т к н ы мо р норм ли о нно ур н ни Дюффин -Холмс :

•

3

_

X ~aX +

X

= ÆX + cos !t ;

a~ = a(1

a 2=2 2). Для это о ур н ния р сстояни м у с п р трис ми тся

ûð íè ì

2 1=2

!

4Æ~a3=2

(t0) = !

!

sch

! sin !t0 +

;

2p

3

a~

óñëî è ñîõð í íèÿ î í ê îïð ëÿ òñÿ è í ð íñò

3 p

!

!

Æ > (2~a)3=2

sch

! :

(25)

2p

a~

Ñë î ò ëüíî, ñëè ~a я ля тся ост точно м лым, то ыр ни (25) л ко ыполня тся, и по л ни х ос ол но н лю ться.

Н оспоримым пр имущ ст ом опис нных нной л м то о я ля тся то, что они по оляют р ить н литич ский по хо . О н ко ни о ин и них н то мо ность óïð ëÿòü сист м ми с н устойчи ым или х отич ским по ни м. Т м н м н , сли усо рш нст о ть н шни о мущ ния, то н тру но о иться полно о контроля н ин микой сист мы.

5По л ни х ос и ст или ция нных цикло

В этой л у т пок но, что ля упр л ния опр л нными сист м ми с н устойчи ым или х отич ским по ни м и ы о их н тр у мый р им э олюции н о хо имо исполь о ть сп ци льно по о р нны п р м трич ски о мущ ния. Т ки о мущ - ния р ульт т р ш ния о р тной чи, ко н и стными я ляются п р м тры, которы мо но н йти к к р ш ния ур н ний н нный цикл.

19

5.1Кусочно-лин йно ото р ни и ото р ни с ип р оли- ч ским ттр ктором

Иссл у м сн ч л чу упр л ния и по л ния х ос ля ост точно о щих с м-йст х ото р ний [69, 70, 97]. Н прим р этих с м йст у т ясно и но, что при помощи просто о п рио ич ско о п р м трич ско о о мущ ния о р тной с я ии (5) у тся н просто по ить х ос, но и ст или иро ть циклы, которы ó ñóù ñò î ëè к к н устойчи ы п р он ч льном (н о мущ нном) ото р нии.

Р ссмотрим с м йст о ото р ний инт р л [0; 1] ñ ÿ:

		Ta : x		f(x; a) = 8 q(a)x + r(a) ; 0 x a;						(26)
			7 !	>
				< p(a)(1		x) ;	a < x		1;
				>
	a 2			:	q(a) =		(1 a). a(2 a) ,			r(a) =
		(0; 1) упр ляющий п р м тр и
1=(2	a), p(a) = 1=(1 a). Осно н я осо нность с м йст (26) состоит									òîì, ÷òî
ïðè	a = 1=2 оно сопря но с с м йст ом к р тичных ото р ний н инт р л
['2(1=2); '(1=2)]. Í òðó íî ïîê òü, ÷òî ëÿ ëþ î î a 2 (0; 1) îòî ð íè Ta (26) èì-

ò ï ð ì øè þùèé òòð êòîð = [0; 1]. Сущ ст о ни п р м ши ющ о ттр к- тор я ля тся ост точно сильным с ойст ом: ото р ния с т ким с ойст ом н о л -ют устойчи ыми цикл ми и им ют чу ст ит льную исимость от н ч льных усло - ий. Бол то о, ля ото р ний с п р м ши ющим типом ттр ктор о мо но построить солютно н пр ры ную ин ри нтную м ру.

Р ссмотрим о мущ нно с м йст о (26). Для простоты о р ничимся случ мухп рио ич ско о пр о р о ния п р м тр a. Â ýòîì ñëó÷

	8	T1	: x	7 ! F1		(x) Ta2			Æ Ta1		;
	>
											(27)
	< T2 : x
				7 !	F2	(x)		Ta1	Æ	Ta2	:
	>

:

Б пот ри о щности у м пол ть, что 0 < a1 < a2 < 1. Â ì ñë óþùè î î í ÷ -

ния: a1 = a; a2 = a+ ; > 0. Л ко понять, что ото р ни T1 им т три н по и ны точки, которы сущ ст уют ля лю ых н ч ний п р м тро a1; a2 2 (0; 1). ти н п- о и ны точки соот тст уют тр м р личным цикл м п рио о мущ нно о ото р ния (27). Цикл, соот тст ующий ср н й и этих точ к, о ник т и н по -и ной точки н о мущ нно о ото р ния (26), ру их цикл (п рио ), от ч ющих ост льным ум н по и ным точк м, ро ются от цикл п рио .

Н тру но пок ть, что мо но н йти т ки п р м трич ски н ч ния, что эти посл ни точки ст но ятся устойчи ыми. Д йст ит льно, jq1p2j = (1 a). a(2 a)(1 a

) , jq2p1j = (1 a ). (a+ )(2 a )(1 ) . Ò ï ðü, î ÿ î î í ÷ íè jq1p2j s1( ), è jq2p1j s2( ), р ссмотрим функции s1( ); s2( ) о л сти 0 < < 1 a. И их н ли сл -

ó ò, ÷òî ëÿ ëþ î î a 2 (0; 1) ñóù ñò ó ò è ï îí í ÷ íèé ï ð ì òð 2 ( ; 1 a),

s2( ) < 1. Äðó èìè ñëî ìè, èíò ð ë ( ; 1 a) î ìóù ííî îòî ð íè

20