А.Ю.Лоскутов - Проблемы нелинейной динамики. Подавление хаоса и управление динамическими системами

(27) èì ò ñò èëè èðî ííûé ухп рио ич ский цикл, и почти с ф о ы точки и инт р л [0; 1] у ут притя и ться к н му. Н о хо имо отм тить, что этот цикл у сущ ст о л к к н устойчи ый п р он ч льном (н о мущ нном) ото р нии (26). Он ст но ится устойчи ым ïîñð ñò îì í ïð ðû íî î è ì í íèÿ ï ð ì òðî îòî ð íèÿ (27) îò í ÷ íèé (a1; a1) ê í ÷ íèÿì (a1; a2), ò ê ÷òî s2(a1; a2) < 1.

По ро ны н литич ски иссл о ния пок ы ют, что ля ол сло но о упр -л ния с м йст ом (26) н о хо имо прило ить к н му сп цифич ски о мущ ния [97]. Им нно, поср ст ом н л щ о о мущ ния у тся ст или иро ть н устойчи ый цикл прои ольно о н ч тно о п рио .

Р ссмотрим т п рь о о щ ни получ нных р ульт то н опр л нный кл ссóì ðíûõ ото р ний, о л ющих н и ол сильными х отич скими с ойст ми. В к ч ст прим р и учим т.н. ото р ни Б лых. то ото р ни ст ст нным о р ом о ник т при иссл о нии н которых конкр тных р иофи ич ских мо л й [123]. М т м тич ски ото р ни Б лых о ится сл ующим о р ом. Пусть Q = f(x; y) : jxj < 1; jyj < 1g к р т н плоскости (x; y). Р ссмотрим пр о р о ни T

		T : (x; y) 7! f(x; y) ;				(28)
ò êî , ÷òî			1
8		1(x + 1) 1;		(y + 1) 1 ;		(x; y) 2 Q1;
			2
<			1			(29)
f(x; y) = >
>	3(x 1) + 1;			(y 1) + 1 ; (x; y) 2 Q2;
			4

î ë ñòè Q1; Q2 получ:þòñÿ ð ë íè ì èñõî íî î ê ð ò Q н которой функци й h(x) : [ 1; 1] ! [ 1; 1] í ÷ ñòè:

Q1 = f(x; y) 2 Q : y < h(x)g ;

(30)

Q2 = f(x; y) 2 Q : y > h(x)g :

Кром то о, опустим, что постоянны 1; 2; 3; 4 и функция h(x) û ð íû ò ê, ÷òî ïî éñò è ì ïð î ð î íèÿ T ê ð ò Q îòî ð òñÿ ñ ÿ, T Q Q. Получ нн я конструкция (28) (30) н ы тся îòî ð íè ì Á ëûõ.

Для льн йш о р ссмотр ния о р ничимся (30) лин йной функци й и h(x) =

ax и ы р м постоянны i сл ующим о р ом: 1 = 3;				1= 2	= 1= 4 2. Òî
îòî ð íè Á ëûõ ìî íî ïèñ òü è
T : (x; y) 7! f(x; y) = 8	1(x + 1) 1; 2	(y + 1)		1 ;	y < ax;	(31)
>
<	1(x 1) + 1; 2	(y	1) + 1 ;		y > ax;
>
:
jaj < 1. Îòî ð íè (31) ì ÷ ò ëüíî ò ì ô êòîì,			что о л т ттр ктором

ип р олич ско о тип . И стно, что сли мно ст о я ля тся ттр ктором ляифф оморфи м T : Q ! Q êîìï êòíî î ìíî îî ð èÿ Q, то сущ ст у т (открыт я)

21

окр стность, котор я с им тся к с у лич ни м ит р ций. С ойст о ип р оличности ля ото р ний о н ч т, что лю ой точк p òòð êòîð èì òñÿ

ин ри нтных н пр л ния. В оль о но о и них точки комп кт Q экспон нци льно стр мятся к p, оль ру о о точки экспон нци льно ыстро ухо ят от точки p.то с ойст о по оля т построить устойчи о и н устойчи о по мно оо р ия мно - оо р ия Q. В с ою оч р ь, сущ ст о ни устойчи о о и н устойчи о о мно оо р - ий по р ум т н личи у ото р ния чу ст ит льной исимости от н ч льных усло ий. Бол то о, ото р ния с ип р олич ским типом ттр ктор о л ют ин ри нтными м р ми, которы по оляют уст но ить ст тистич ски с ойст типичных тр кторий.

Ото р ни Б лых (31), о н ко, н мо т ыть ип р олич ским стро ом смысл , поскольку оно р ры но. Т м н м н , это ото р ни я ля тся типичным пр ст - ит л м ин мич ских сист м с осо нностями. Т кой тип ото р ний мо т поя - иться о мно их фи ич ских ч х. При усло ии, что мно ст о точ к р ры им -т нул ую м ру и н которых ру их опущ ниях (см. [124]), мо но получить стро и р ульт ты, к с ющи ся р ры ных ин мич ских сист м. В ч стности, ля к ой р улярной точки о мо но сформиро ть устойчи о и н устойчи о мно оо р ия. Кром то о, опир ясь н конкр тный и мно ст точ к р ры , у тся построить эр о ич скую ин ри нтную м ру.

Í òðó íî í éòè óñëî èÿ ñóù ñò î íèÿ èï ð îëè÷ ñêî î òòð êòîð ëÿ îòî ð -

íèÿ Á ëûõ [97]. Äëÿ ýòî î, î-ï ð ûõ, ì òèì, ÷òî ïðè jaj < 1 ýòî îòî ð íè
им т н по и ны точки, X = (1; 1) è Y = ( 1; 1). Воторых, ля с х точ к
ê ð ò , îïð ë íî îòî ð íè (31), ïðîè î í ÿ ð í Df = diagf 1; 2g. Äëÿ
ип р оличности н о хо имо, что ы j 1j < 1; j 2j > 1 (èëè í î îðîò), è T Q	Q.
Л ко про рить, что посл н н р нст о у о л т оря тся, сли только 0 < 1	<

1; 0 < 2 < 2=(1 + jaj); jaj < 1. Н кон ц, ля ыполн ния усло ия сущ ст о нияттр ктор ип р олич ско о тип тр у тся, что ы пр о р о ни T ыло имно о но н чным (т. . ом оморфи мом). то тр о ни том тич ски у о л т оря тся,сли 0 < 1 < 1=2. Сл о т льно, ля ип р оличности ттр ктор ото р нии Б лых (31) получим сл ующую сист му н р нст :

0 < 1 < 1=2; 1 < 2 < 2=(1 + jaj); jaj < 1 : (32)

Для то о, что ы р ссмотр ть о мо ность по л ния х ос ото р нии (31) с усло и м (32), н о хо имо пр о о о щить н случ й jaj > 1. При ыполн нии это о н р нст н по и н я точк X ïîï ò ó î ë ñòü y < ax, òî÷ê Yî ë ñòü y > ax. Поэтому ля сущ ст о ния этих н по и ных точ к при jaj > 1 í î õî èìî ï ð ïèñ òü îòî ð íè Á ëûõ ê ê

T : (x; y) 7!	8	1	(x + 1)	1; 2	(y + 1)	1 ;	y > ax;	(33)
	>
	<	1	(x 1) + 1; 2		(y 1)	+ 1 ;	y < ax:
	>
	:			22

Т ким о р ом, но о ото р ни (33) получ тся и исхо но о ото р ния (31) поср ст ом м ны x $ y è a = 1=a0. Зн чит, ля ыполн ния усло ий ип р оличностиля о о щ нно о ото р ния Б лых (33) н о хо имо ыполн ни сл ующих н р - нст :

0 < 2 < 1=2; 1 < 1 < 2=(1 + 1=jaj);

jaj > 1 :

(34)

Отм тим, что т п рь, отличи от ото р ния (34), j 2j < 1 è j 1j > 1. Иными сло ми, с им ющ и р стя и ющ н пр л ния м няются м ст ми.

Пусть п р м тр a ото р ния Б лых циклич ски о мущ тся с п рио ом 2. Для то о, что ы н йти к ч ст нно и м н ни ин мик т ко о ото р ния, н о хо имо п р ключ ть п р м тр a ëè è í ÷ íèÿ a = 1 ò êèì î ð îì, ÷òî û a1 < 1, a2 > 1. Кром то о, ля ыполн ния усло ий ип р оличности ля о мущ нно о ото р ния к к при a1 < 1 ò ê è ïðè a2 > 1 тр у тся, что ы и м нялись т к и п р м тры 1; 2. Учиты я эти усло ия, мо но п р пис ть о мущ нно ото р ни Б лых сл ующим о р ом:

T =

8 (x; y)

7! f(a2; 12; 22) Æ f(a1; 11; 21)(x; y)

(35)

>

< (x; y)

1

1

)

2

2

7!

f(a1; ;

Æ

f(a2; ; )(x; y)

>

1

2

1

2

:

ëÿ ÷ òíûõ è í ÷ òíûõ èò ð öèé ñîîò òñò ííî.

Д л , поскольку к к ля a1 < 1, ò ê è ëÿ a2 > 1 îòî ð íè Á ëûõ èì ò í ïî -

и ны точки X = (1; 1) è Y = ( 1; 1), то эти точки ост нутся н по и ными т к

è ëÿ îòî ð íèÿ (35). Áîë òî î, èôô ð íöè ë DT î ìóù ííî î îòî ð íèÿ (

ñëó÷ ÷ òíûõ è í ÷ òíûõ èò ð öèé) îïð ëÿ òñÿ ê ê:

12

0

11

0

12 11

0

def

1

0

DT

=

0 22 !

0 21 ! =

0 22 21 ! =

0 2 ! :

Поэтому, сл ст и то о, что ля a1

< 1 ыполняются н р нст 0 < 1

< 1=2; 1 <

1

1 < 2=(1+

j

a1

j

), è 1 < 2 < 1=(1+1=

a2

j

); 0 < 2

< 1=2 ïðè a2 > 1, ñî ñò ííû í ÷ íèÿ

2

1

j

2

< 1=(1 + 1= a2

), 0 < 2 <

1

è 2 м трицы DT у ут и м няться и п он 0 < 1

1=(1+ja1j). Èí ÷ î îðÿ, j 1j < 1; j 2j

< 1 и н по и ны точки X; Y îòîj ðj íèÿ (33)

ñò íî ÿòñÿ устойчи ыми. òî î í ÷ ò, ÷òî èï ð îëè÷ ñêèé òòð êòîð ûðî òñÿ

и см ня тся простым ттр ктором.

Т ким о р ом, циклич ски п р м трич ски

î ìóù íèÿ îòî ð íèé ñ ÿðêî

ыр нными х отич скими с ойст ми при о ят к к ч ст нному и м н нию ин м- ик : и х отич ских они пр о р уются р улярны , о л ющи ст или иро нными н по и ными точк ми или цикл ми.

5.2 Ото р ния с критич скими точк ми

Опиш м т п рь пр ктич ски р ли у мый м то поиск о мущ ний, при о ящих к ст или ции р н ы р нных цикло (ч стично о опис ни но р от [24]). Он

23

(a1; : : : ; a ).

(x1; x2; : : : ; x )

ïî îëÿ ò îñóù ñò èòü полный контроль н ин микой сист м, которы эфф кти но описы ются, н прим р, унимо льными ото р ниями.

Пусть ото р ни Ta : x 7!f(x; a), x 2 M, a 2 A у о л т оря т сл ующим с ойст м:

1) ñóù ñò ó ò ò êî ïî ìíî ñò î M, ÷òî ëÿ ëþ ûõ x1; x2 2 í é òñÿ í ÷ - íè a 2 A, ля которо о f(x1; a ) = x2;

2) сущ ст у т критич ск я точк xc 2 ò ê ÿ, ÷òî @f(x; a)=@x x=xc Dxf(xc; a) = 0 ïðè ëþ îì a 2 A.

Òî ëÿ ëþ ûõ x2; x3; : : : ; x 2 í é óòñÿ ò êè x1 è a1; a2; : : : ; a , что циклу т устойчи ым циклом о мущ нно о ото р ния Ta ïðè a^ =

Д йст ит льно, ы р м прои ольны личины x1; x2; : : : ; x . Â ñèëó óñëî èÿ 1) ñèñò ì óð í íèé f(x1; a1) = x2; f(x2; a2) = x3; : : : ; f(x ; a ) = x1 относит льно п р м трич ских н ч ний a1; a2; : : : ; a èì ò ð ø íè è ^a = (a1; a2; : : : ; a ). то о н ч т, что посл о т льность (x1; x2; : : : ; x ) = p я ля тся циклом п рио ото р -íèÿ Ta ïðè ï ðèî è÷ ñêîì î ìóù íèè ^a = (a1; a2; : : : ; a ). ×òî û ýòîò öèêë p

с л ть устойчи ым, ост точно ы р ть эл м нт x1 ли ким к критич скому н ч н-

èþ xc, поскольку (p) = Q Dxf(xi; ai) è Dxf(xc; a) = 0 ïðè ëþ îì a. то р нтиру т

i=1

ыполн ни усло ия устойчи ости j (p)j < 1.

Оч и но, усло иям 1), 2) у о л т оряют с м йст полимо льных ото р н- ий. Поскольку лю ой цикл и (xc; x2; x3; : : : ; x ) при прои ольных xi 2 я ля тся устойчи ым, то при нно ут р ни по оля т пр ктич ски исполь о ть нный м то упр л ния ин микой сист м, которы эфф кти но описы ются т кими с м-йст ми.

Н тру но н йти усло ия н уро нь н ш о шум , который н р рушил ы ст или иро нны циклы. Пусть устойчи ому циклу (xc; x2; x3; : : : ; x ) ñîîò òñò ó òî ìóù íè (a1; a2; : : : ; a ). Ïð ïîëî èì, ÷òî í ÷ íèÿ ai сл к и м нились:

(a01; a02; : : : ; a0 ) = (a1 + a1; a2 + a2; : : : ; a + a )

, j aij Æa. Н й м м ксим льно опустимо н ч ни Æa, при котором о мущ нный цикл сохр ня т устойчи ость и иссл у м, к к этом случ иск ится цикл, т. . опр -

ëèì xi ëÿ (x10 ; x20 ; : : : ; x0 ) = (xc + x1; x2 + x2; : : : ; x

+ x ). Ð óëüò òû ò êèõ

ычисл ний ются сл ующ й точной оц нкой.

Допустим, что f(x; a)

2

C2[M

A] è

î ìóù ííî îòî ð íè

Ta ïðè ^a =

= (x1; x2

; : : : ; x ). Òî , ñëè

(a1; a2; : : : ; a ) им т устойчи ый цикл п рио , p

j aij Æa =

1

;

tSaLSx 1 Sxi

i=1

i = 1; 2; : : : ; , Sa = max

, L = max

P

,

, òî

Daf(x; a)

j

D2f(x; a)

Sx

= max

Dxf(x; a)

x;a j

j

x;a

x

j

x;a j

j

это ото р ни им т т к устойчи ый цикл p0

= (xc + x1

; x2

+ x2; : : : ; x + x )

24

ï ðèî ïðè ^a0

= (a1 + a1; a2 + a2; : : : ; a + a ) è

j xij Æx =

1

:

LSx 1

Ä éñò èò ëüíî, ïð ïîëî èì, ÷òî ñ í ÷ íèÿ ai я ляются о мущ нными, a0i =

ai + ai. Í é ì è ì í íè x1

= x10

xc. Ïðè ýòîì x10 îë íî ûòü í ïî è íîé

точкой ото р ния T1 (ñì. (8)), ò. .

x10 = F1(x10 ; a10 ; a20 ; : : : ; a0 ). Òî

xc + x1 =

F1(xc; a1; a2 : : : ; a )+DxF1(xc

; a^) x1 +

Dai F1(xc; ^a) ai. Отсю , с уч том соотнош ний

i=1

xc = F1(xc; a^) è DxF1(xc; ^a) =

P

=

Dxf(xl; al)Daf(xi; ai) ai.

(p) = 0 í õî èì, ÷òî x1

i=1 l=i+1

Ñë î ò ëüíî,

P Q

j x1j Æa i=1 l=i+1

Dxf(xl; al)

Daf(xi; ai)

Æa Sa i=1 Sxi

:

(36)

P Q

P0

)

0

Оц ним, к к при этом и м нится мультиплик тор цикл : (p

(p) = (p ) =

i=1

Dxf(x0i; ai0) =

i=1

Dx2f(xi; ai) Dxf(xl; al) xi +

i=1

D2axf(xi; ai) Dxf(xl; al) ai. Â

l=1

l=1

Q

P

l=i

P

l=i

6

6

Q

Q

о их сумм х н нул ыми я ляются только п р ы чл ны, поскольку Dxf(x1; a1) =

Dxf(xc; a1)

= 0. Поэтому

(p0)

=

h

Dx2 f(xc; a1) x1 + Dax2 f(xc; a1) a1

Dxf(xl; al).

l=2

Î í êî

2

Da

Dxf(xc; a)

a=a1

=

Da(0)

i

Q

0. Çí ÷èò

î÷ è íî, ÷òî Daxf(xc; a1)

=

=

0

x1

Dx2 f(xc; a1)

Dxf(xl; al)

j

(p )

j

=

j

j

l=2

. Для устойчи ости

цикл н о хо имо ыполн -

íè í ð íñò j x1j Dx2f

Q

Dxf(xl; al)

j x1jLSx

(xc; a1)

l=2

1 <

1. Îòñþ ñë ó ò, ÷òî

j x1j Æx = 1=(LSx 1).

Q

Ò êèì î ð îì, ñëè î ìóù íè

x1 у т м ньш личины Æx, òî öèêë îñò í òñÿ

устойчи ым. Но м ксим льно о мо но и м н ни x1 при о мущ нии п р м тро н личину Æa тся н р нст ом (36). Поэтому усло и н Æa ìî íî ïèñ òü ê ê

Æa Sa Pi=1 Sxi = 1=(LSx 1) èëè	Æa =	1			:
		tSaLS 1		Si
		x	i=1	x
			P

Получ нны оц нки по оляют к ом конкр тном случ эфф кти но опр -лять пр льно опустимы оши ки нии н о хо имых упр ляющих п р м-

òðî .

Р ссмотрим к ч ст прим р хорошо и уч нно с м йст о (19). Для нно о ото р ния мно ст о это инт р л [xb; xe], xb è xe ð ø íè óð í íèÿ xint = f(x; 4), xint òî÷ê ï ð ñ ÷ íèÿ ó y = 4x(1 x) è y = x, ò. . [xb; xe] = [1=4; 3=4]. Í é ì î ìóù íèÿ a^ = (a1; a2; : : : ; a ), при которых ото р нии (19) сущ ст у т устойчи ый цикл то о или ино о п рио t, êð òíî î ï ðèî ó î ìóù íèÿ .

З пиш м о мущ нно ото р ни сл ующим о р ом:

8	xn+1 = anxn(1 xn) ;
			(37)
>		= an ( mod +1)	:
< an
>
:		25

Åñëè ýòî îòî ð íè èì ò öèêë p ï ðèî t, ð íî î ï ðèî ó î ìóù íèÿ, t = , p = (x1; x2; : : : ; xt), то точки, формирующи этот цикл, у ут по чиняться сл ующ й сист м ур н ний:

x2 = a1x1(1	x1) ;
x3 = a2x2(1	x2) ;	(38)
: : : : : : : : : : : : : ;
x1 = atxt(1	xt) :
Что ы р шить о р тную чу, т. . н йти н ч ния п р м тро , при которых ото р -

íè (37) èì ò ííûé öèêë p, í î õî èìî ûð èòü í ÷ íèÿ ai è ñèñò ìû (38)
ê ê		x2
a1 =					;
		x1(1x3	x1)
a2 =					;	(39)
		x2(1 x2)
: : : : : :x:1: : : ;
at =				:
	xt(1 xt)
ñíî, ÷òî í ëÿ ñ õ î ìî íûõ xi 2		(0; 1) получ нны н ч ния ai 2				[0; 4]. Î í êî
ñëè ýòî ðíî, òî ëÿ ëþ î î öèêë p	= (x1; x2; : : : ; xt) ìî íî í éòè í ÷ íèÿ ï ðì-

òðî (a1; a2; : : : ; at), ля которых о мущ нно ото р ни (37) им т т кой цикл.

t

Если мультиплик тор j (p)j =

i=1 ai(1 2xi) < 1, то нный цикл устойчи . С уч том

Q

óð í íèé (39) ýòî ïðè î èò ê óñëî èþ

j

(p)

j

=

t

xi+1

(1

2xi) =

t

1 2xi

< 1 :

(40)

xi(1 xi)

i=1

i=1

1

xi

Y

Y

2xc)=(1

xc) =

Ко ср и точ к цикл сущ ст у т критич ск я точк xc = 1=2, òî (1

0. В этом случ н р нст о (40) ыполн но, и т кой цикл устойчи .

Ìíî ñò î í ÷ íèé p = (x1; x2; : : : ; xt), ля которых ai 2 [0; 4] è í ð íñò î (40)

ыполн но, о р у т опр л нную о л сть коор ин тном простр нст Rt. К ой точк этой о л сти соот тст у т устойчи ый цикл о мущ нно о ото р ния. Исполь уя сист му ур н ний (39), мо но получить соот тст ующую о л сть ï ð ì-òðè÷ ñêîì простр нст Rt. Р ссмотрим н ч ни = 2. То (см. ыш ) циклыо мущ нно о ото р ния (37) мо ут им ть п рио ы только t = k при н котором ц лом k. Иссл у м о л сти сущ ст о ния т ких устойчи ых цикло коор ин тном

èп р м трич ском простр нст х при k = 1; 2; 3.

I. k = 1. Â ýòîì ñëó÷ ï ðèî î ìóù íèÿ = 2 со п т с п рио ом устойчи о о

öèêë t = = 2. Л ко и ть, что простр нст (x1; x2) о л сть сущ ст о ния устойчи о о цикл опр ля тся сл ующ й сист мой н р нст :

0 <			x2		4 ; 0 <		x1		4 ;	1 2x1 1 2x2	< 1 :
		(1 x1)					(1 x2)
	x1					x2				1 x1 1 x2
Ð ø íè ï ð î î			и торо о н р нст соот тст у т мно ст у с х опустимых
í ÷ íèé ï ðèî			. Òð òü í ð íñò î û ëÿ ò è ýòî î ìíî ñò î ë ñòü

26

ñóù ñò î íèÿ	устойчи ых	цикло . З фиксиру м н ч ни x1 2 (0; 1). Òî , ð ø ÿ
эту сист му относит льно x2, получим:
	0 < x2 <			3x1 2			;	0 < x1 <		1	;
				5x1 3						3
	0 < x2 <			x1			;	1	< x1 <	3	;
			3x1 1					3		5
	3x1 2 < x2			<	x1			;	3 < x1 < 1 :
					3x1 1
	5x1 3								5

Т ким о р ом, мы опр лили о л сть сущ ст о ния с х устойчи ых цикло п р- ио , p = (x1; x2), ля о мущ нно о ото р ния (37). Н тру но построить соот тст ующую о л сть простр нст п р м тро (a1; a2). Для это о ост точно исполь о ть соотнош ни (39).

II. k = 2. В этом случ п рио устойчи о о цикл сост ит 4, т. . p = (x1; x2; x3; x4). Îïð ëèì ò êè í ÷ íèÿ ï ð ì òðî î ìóù íèÿ a1 è a2, при которых этот цикл сущ ст у т и устойчи .

И соотнош ния (38) сл у т, что

x2	= a1x1(1		x1);
x3	= a2x2(1		x2);
x4	=	a1x3(1	x3);
x1	=	a2x4(1	x4):

Поэтому

a1	=	x2	=	x4	;
		x1(1 x1)		x3(1 x3)
		x3		x1	(41)
a2	=		=		:
		x2(1 x2)		x4(1 x4)

Л ко и ть, что н сякому н ору н ч ний (x1; x2; x3; x4) у т соот тст о ть цикло мущ нно о ото р ния. Вы р (41) соотнош ния к ч ст н исимых, н тру но н литич ски ыр ить ост ши ся . Т ким о р ом н хо ятся п р м-тры a1 è a2. Пусть н исимыми н ч ниями у ут x1 è x2. Òî , î ÿ î î í ÷ íèÿ p1 = x1(1 x1), p3 = x3(1 x3), получим сл ующую сист му ур н ний:

	8		x2	p1
			x4 =	p3	;
	>	1 x2 = (1 x4) x3p3 :
	<				x1p1
	>
	:	÷ ð x1 è x3:
Îòñþ ë êî ûð èòü x4 è x2
x4	= x1p1p3 x3p32 ; x2					= x1p12 x3p3p1	:
	x1p12 x3p32					x1p12 x3p32

27

ти соотнош ния по оляют т к н йти a1 è a2 ÷ ð x1 è x3:

a1	=	x1p21 x3p23 ;
		x1p1 x3p3	(42)
a2	=	x1	:
		a1p3(1 a1p3)

Соотнош ни (42) мо но исполь о ть ля постро ния о л сти сущ ст о ния устойчи о о цикл п рио 4 простр нст п р м тро (a1; a2). Им нно, ы р прои ольно x1; x3, í é ì a1; a2 и ычислим x2; x4. Ä ë û ð ì ëèøü ò í ÷ íèÿ x1 è x3, ля которыхрно сл ующ :

			0 < a1		4;
			0 < a2		4;				(43)
(p) =		1	2x1 1 2x2 1 2x3 1			2x4 < 1:
		1 x1 1 x2 1			x3 1 x4
Усло ия (43) с уч том (42) ы ляют простр нст (a							; a		) î ë ñòü ñóù ñò î íèÿ
						1		2

устойчи ых цикло п рио 4 о мущ нно о ( = 2) к р тично о ото р ния.

III. k = 3. При этом н ч нии п рио устойчи о о цикл о мущ нно о ото р н- ия (37) р н 6, p = (x1; x2; x3; x4; x5; x6). Поскольку о мущ ни по-пр н му тсяумя п р м тр ми (a1; a2), то точки цикл p ол ны у о л т орять сл ующим соотнош ниям:

a1 =	x2		=	x4	=	x6
	x1(1 x1)			x3(1 x3)		x5(1 x5)
	x3			x5		x1	(44)

a2 = x2(1 x2) = x4(1 x4) = x6(1 x6)

Л ко понять, что колич ст о соотнош ний, с я ы ющих н ч ния коор ин т цикл p = (x1; x2; x3; x4; x5; x6), ч тыр . Поэтому, ы р к ч ст н исимых, мо но получить ост льны , и ыр ить ч р них п р м тры a1 è a2. В отличи от случ я, ко k = 2, эту проц уру про л ть о конц н литич ски н о мо но.

Ост но имся н том, что мо но н йти и соотнош ний (44). Во-п р ых, к к и случ k = 2, ы р м к ч ст н исимых коор ин т x1 è x3. То , про лы я т пр о р о ния что и пр ы ущ м ри нт , получим:

a1 =	x3p3		x5p1	=	x1p1		x3p5				(45)
	2		2		2			2
	x3p3	x5p1			x1p1	x3p5
, ê ê è ð í , pi = xi(1 xi). Ур н ния (45) н что ино , к к соотнош ния,
ñ ÿ û þùè ì ó ñî îé í ÷ íèÿ x1; x3; x5, ò. .
Ax55 Bx54 + Cx53 Dx52 + Ex5 F = 0 ;
A = p1 ;				D = x3p2				+ x3p3		+ p2	;
							3			1
B = 2p1 + x3p3 ;				E = x3p2				;
C = p1 + p12 + 2x3p3 ;							3
				F = x1p1p3(p3						p1) :

28

Ò ï ðü, îïð ëÿÿ x5 = f(x1; x3) и это о ур н ния, при помощи соотнош ний (44) и (45) л ко н йти с ост ши ся п р м тры a1, a2, x2, x4, x6. Д л , сли и с х получ нных т ким о р ом цикло ы р ть лишь т , которы у о л т оряют усло - иям xi 2 (0; 1), i = 1; 2; : : : ; 6, a1; a2 2 [0; 4], и усло ию устойчи ости j (p)j < 1, то мо но построить о л сть сущ ст о ния устойчи о о цикл п рио 6 о мущ нно о ото р ния (37) простр нст п р м тро (a1; a2).

6Ç êëþ÷ íè

Поскольку х ос стр ч тся по ляющ м ольшинст н лин йных ин мич ских сист м, ря случ о р ити мо т ыть н л т льным. В с я и с этим посл н р мя инт нси но р р ты тся но о н пр л ни т ории т рминиро нно о х ос , с я нно с о мо ностью по л ния х отич ско о по ния. Еслиост точно сл о ( ити но или мультиплик ти но) о мущ ть х отич скую сист му (иными сло ми, прои о ить о м н эн р и й м у сист мой и окру ющ й ср -ой), то х ос ино ыро тся р улярно и ни . Р ити это о н пр л ния при ло к поя л нию но ых м ч т льных прило ний (см. В ни ) и по олило р ссмотр ть мно и про л мы н лин йной ин мики по но ым у лом р ния. Т к, по хо к р ш нию о ной и ст рых про л м опис ни я л ния с моор ни ции, т. . о р о ния и р ития сло ных упоря оч нных структур, р мк х т ориит рминиро нно о х ос получил но о р ити . И стно, что и ы сист мы спосо ны к с моор ни ции. то н проти ор чит кон м т рмо ин мики, посколькус иоло ич ски сист мы н я ляются мкнутыми и о м ни ются эн р и й с окру ющ й ср ой. нтропия, слу щ я м рой споря к , мо т ум ньш ться открытых сист м х с т ч ни м р м ни. Н о хо им я пр посылк эфф кто с моор н- и ции ключ тся н личии поток эн р ии, поступ ющ о сист му от н шн о источник и иссипиру мо о ю. Бл о ря этому потоку сист м прио р т т спос- о ность к тономному о р о нию структур. Оч и но, что эфф кты с моор ни-ции н мо ут ыть исключит льным с ойст ом иоло ич ских о ъ кто , и ол ны н лю ться и ол простых сист м х.

Большой инт р с пр ст ляют р спр л нны ср ы, которы постро ны и иск- р тных эл м нто , лок льно имо йст ующих ру с ру ом и, т ким о р ом, при-ли нно описы ющих ст ст нны простр нст нно протя нны сист мы. Ч р к ый и этих эл м нто мо т прохо ить поток эн р ии, поступ ющий от н шн о источник . Хотя р ноо р и т ких ср чр ыч йно лико, число м т м тич ских мо л й, которы исполь уются ля опис ния проц ссо о р о ния и р ития структур т ких сист м х, н столь н чит льно. По- и имому, ко от льны эл м нты сист мы о л ют сло ной структурой, ся их нутр нняя сло ность н проя ля тся о имо йст иях м у ними и, с точки р ния м кросист мы, они функционируют к к ост точно просты о ъ кты с м лым числом эфф кти ных ст п -

29

í é ñ î î û.

Дру им ным прило ни м т ории т рминиро нно о х ос я ля тся и уч - ни р лично о ро ритмий, о ник ющих тк нях с р ц , и спосо о и л ния от них. И стно, что с р чн я мышц чу ст ит льн к н шним о у ниям. Если норм льный проц сс сокр щ ний н руш тся к к р ульт т ополнит льно о поступл - ния эн р ии, н прим р, сл ст и о никно ния но о о источник о у ния, то

т кой прост йш й ситу ции мо т н лю ться оч нь сло но по ни . Осно н я про л м сь и иться от ритмии при помощи опр л нных сл ыхо мущ ний, н при о ящих к сильным м ш т льст м ср у.

К этому н пр л нию т сно примык т н м н инт р сн я о л сть иссл о н- ий н лин йной ин мики, и уч ющ я кол т льны химич ски р кции. Хотя н стоящ р мя мно о сь у понято, причины, ы ы ющи кол т льны хим- ич ски проц ссы, ост ются о конц н ыясн нными. Дин мич ско опис ни кол -т льных химич ских р кций мо т ок ть этом сущ ст нную помощь, ч стности, кос нным пут м уст но ить н ост ющи конст нты скорост й р кций. Кром то о, о мо ность ст или ции х отич ских химич ских проц ссо р спр л нных ср х по олит по ойти к иссл о нию я л ния р он нсо спир льных олн с точкир ния т ории ин мич ских сист м.

Зн ни осно ных коном рност й по ния х отич ских сист м т о мо ность п р йти к ц л н пр л нному конструиро нию искусст нных сист м, н лин йны проц ссы которых при о или ы к о р о нию ну ных структур. Пок этом н пр -л нии пр приним ются лишь с мы п р ы ш и. Н и ол р итым прило ни м я ля тся со ни устройст о р отки информ ции н осно прим н ния х отич ских сист м. Д йст и т ких устройст иру тся н исполь о нии ст ст нной " нутр - нн й"структуры сист мы и упр л нии притоком эн р ии. то по оля т при относит льно м лых эн р тич ских тр т х со ть устройст принципи льно но о о тип , спосо ны помин ть, шифро ть и о р ты ть нную информ цию.

Ест ст нно, пр ктич ско исполь о ни ч упр л ния х отич скими сист м ми н исч рпы тся только п р числ нными прило ниями. О н ко ольшую их ч сть мо но н йти при нном ни списк лит р туры.

В ключ ни н о хо имо отм тить, что н стоящ р мя про л м упр л н- ия ин мич скими сист м ми и по л ния х ос про ол т ост точно инт нси - но р и ться. Кром то о, пу ликуются но ы р оты, пос ящ нны р р отк м но ых прикл ных ч. Поэтому ли йш м у ущ м мо но о и ть поя л нияольшо о числ у р ли о нных н о и нных и инт р сных прило ний.

А тор ыр т лу окую л о рность н учным сотру ник м С.Д.Ры лко, А.Н.Д рю ину и А.К.Прохоро у, т к спир нт м и сту нт м к ф ры фи ики полим ро и крист лло фи ич ско о ф культ т МГУ мно очисл нны пло от орны

30