4. Периодические колебания в рядах динамики

Во многих случаях моделирование рядов динамик с помощью полиномов или экспоненциальной функции не дает удовлетворительных результатов, т.к. в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции или наблюдается автокорреляция не в самих уровнях, а в их отклонениях от теоретических значений, полученных по определенным аналитическим формулам. В таких случаях следует использовать гармонический анализ – нахождение конечной суммы уровней с использованием функций косинусов и синусов. Другими словами, гармонический анализ представляет собой операцию по выражению заданной периодической функции в виде ряда Фурье по гармоникам разных порядков.

В простейшем случае динамика явлений, обладающих периодичностью, может быть аппроксимирована синусоидой .

Аппроксимация динамики экономических явлений рядом Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложение которых друг на друга (сумма) отразит периодические колебания фактических уровней динамического ряда. С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некоторой функции времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов:

.

В этом уравнении величина k определяет гармонику ряда Фурье и может быть взята целым числом (чаще всего от 1 до 4). Параметры уравнения рассчитываются методом наименьших квадратов.

Целью данного анализа является выявление и измерение периодических колебаний в рядах динамики и автокорреляции в остатках ряда.

5. Сезонные колебания в рядах динамики. Индексы сезонности

При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не меняются за длительный период времени. Они являются результатом (1) влияния природно-климатических условий, (2) общих экономических факторов, а также (3) ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми.

В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название сезонных колебаний, или сезонных волн, а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным, или просто сезонным рядом динамики.

Сезонные колебания характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности (). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.

Индексы сезонности это процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Данные за несколько лет (не менее трех) используют для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, которая бы не отражала случайные условия одного года.

Для вычисления индексов сезонности применяются различные методы.

1). Ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии.

В этом случае индексы сезонности вычисляют непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания следующим образом:

Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за три года (), затем из них вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда () и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, т.е.

.

Таблица 2

Таблица браков, расторгнутых населением города

Месяц	Число расторгнутых браков				Индекс сезонности
	1999	2000	2001	В среднем за три года
А	1	2	3	4	5
Январь	195	158	144	165,7	122,4
Февраль	164	141	136	147,0	108,6
Март	153	153	146	150,7	111,3
Апрель	136	140	132	136,0	100,4
Май	136	136	136	136,0	100,4
Июнь	123	129	125	125,7	92,8
Июль	126	128	124	126,0	93,1
Август	121	122	119	120,7	89,1
Сентябрь	118	118	118	118,0	87,2
Октябрь	126	130	128	128,0	94,5
Ноябрь	129	131	135	131,7	97,3
Декабрь	138	141	139	139,3	102,9
Средний уровень ряда	138,7	135,6	131,8	= 1624,8 =135,4	=100

По данным табл. 2 Вычислим усредненные значения уровней по одноименным периодам способом средней арифметической простой:

январь – ;

февраль – и т.д.

Затем по вычисленным помесячным средним уровням () определяем общий средний уровень ():

или

.

Далее рассчитываются по месяцам года индексы сезонности:

январь – ;

февраль – и т.д. (графа 5).

Совокупность исчисленных индексов сезонности характеризует сезонную волну браков, расторгнутых населением города, во внутренней динамике. Для наглядного получения представления о сезонной волне желательно изобразить полученные данные в виде линейной диаграммы.

2). Ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии.

В данном случае, прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные нужно обработать так, чтобы выявить общую тенденцию. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики.