- •Глава 1. Понятие линейной, неотрицательной и выпуклой комбинации точек плоскости и n-мерного пространства
- •Глава 1. Понятие линейной, неотрицательной и выпуклой комбинации точек плоскости и n-мерного пространства
- •1.1 Выпуклая комбинация точек
- •1.2. Линейная комбинация
- •Глава 2. Неравенство Коши- Буняковского
- •2.1 Неравенство Коши-Буняковского
- •2.2 Неравенство треугольника.
- •Глава 3. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные.
- •3.1. Множества связные несвязные
- •3.2. Множества ограниченные, неограниченные.
- •Глава 4. Замкнутость
- •Глава 5. Компактные множества.
- •5.2. Примеры компактных и некомпактных множеств
2.2 Неравенство треугольника.
Если x и y –произвольные векторы, то по
аналогии с элементарной геометрии вектор x+y естественно называть
третьей стороной треугольника, построенного на векторах x и y.
Используя неравенство Коши–Буняковского, мы получаем
или
(7)
(8)
Неравенства (7)–(8) называются неравенствами треугольника. Геометрически они означают, что длина любой стороны всякого треугольника не больше, чем сумма длин двух других сторон, и не меньше, чем абсолютная величина разности длин этих сторон.
Глава 3. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные.
3.1. Множества связные несвязные
Понятия относящиеся к множествам точек в .
Пусть -- отрезокна вещественной оси, переменная на которой обозначается буквой. Рассмотримфункций
, заданных на отрезке . Каждомусоответствует тогда точкапространства. Получаем отображение
сопоставляющее каждому соответствующую точку. Это отображениеназывается вектор-функцией, заданной на отрезке.
Пусть теперь все функции , задающие вектор-функцию, непрерывны на отрезке. Тогда и вектор-функциюбудем называть непрерывной. Для такой непрерывной вектор-функции, при изменениина отрезкеточканепрерывно перемещается из положенияв положение.
Определение. В описанной выше ситуации будем называть отображение
заданное формулой , непрерывным путём, или просто путём, соединяющим точкус точкойпространства.
Рис.
Множество всех точек будем называтьнепрерывной линией в , соединяющей точки и, а ту вектор-функцию, которая порождает линию-- параметризацией этой линии. Заметим, что одна и та же линияможет иметь разные параметризации. Например, на плоскостис координатамиотрезокосиможно параметризовать, положив либо, либо(разумеется, формулы, при любомзадают ещё бесконечное множество различных параметризации той же линии).
Определение : Множество называется связным, если любые две точки иэтого множестваможно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в множестве, то есть если существует путь, начинающийся ви заканчивающийся в, такой чтопри всех.
Примеры связных областей на плоскости.
Связными областями являются:
1) всё пространство ;
2) замкнутые и открытые шары;
3) гиперплоскости;
4) замкнутые и открытые полупространства;
5) замкнутые и открытые параллелепипеды;
6) положительный и неотрицательный октанты.
3.2. Множества ограниченные, неограниченные.
Ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольногометрического пространства, а также на случай произвольногочастично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общихтопологических пространствах, безметрики.
Ограниченное числовое множество
Множество вещественных чисел называетсяограниченным сверху, если существует число
Множество вещественных чиселназываетсяограниченным снизу, если существует число
Множество , ограниченное сверху и снизу, называетсяограниченным.
Множество , не являющееся ограниченным, называетсянеограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.
Примеры:
Примером ограниченного множества является отрезок ,
неограниченного — множество всех целых чисел ,
ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч
ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч