5.2. Примеры компактных и некомпактных множеств

1. В пространстве всякий отрезок будет компактен. (Так как пространство конечномерно, а данный отрезок является замкнутым и ограниченным множеством).

2. В пространстве шар с центром в и радиусом , то есть множество точек , таких, что , является компактным. (Аналогично по доказанной теореме).

3. В пространстве множество будет компактным, поскольку какую бы мы ни взяли бесконечную последовательность его элементов, из неё всегда можно будет выделить подпоследовательность, состоящую из одного элемента множества, которая, очевидно, будет сходящейся к этому элементу множества (определение).

4. В пространстве рассмотрим множество элементов , , … (у последовательности единица стоит на –м месте, а на остальных местах нули). Оно ограничено и замкнуто, но никакая подпоследовательность последовательности не фундаментальна и, значит, не сходится, поскольку при . Множество некомпактно.

Заключение.

Математическое обоснование экономических процессов в наше время приобретает все большую актуальность. Расмотрение неравенств, множеств, комбинаций точек плоскости и n-мерного пространства помогают более явно иллюстрировать экономические процессы и описывать изменения,происходящие в экономике в современном мире. В математике существуют нестандартные методы решения, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши--Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.

Используемая литература:

• Высшая математика. Основы математического анализа: учебник для вузов, Геворкян П.С.

• Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть II: учебник для вузов, Ильин В.А.,Позняк Э.Г.

• Курс математического анализа. В 3 т. Т. 2: Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных: учебник для вузов, Кудрявцев Л.Д.

• Курс математического анализа. В 3 т. Т. 2: Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных: учебник для вузов, Кудрявцев Л.Д.

• Математика в экономике: учебник: Ч. 1, Солодовников А.С.,Бабайцев В.А.,Браилов А.В.,Шандра И.Г.

• Задачи и упражнения по функциональному анализу, Треногин В.А.,Писаревский Б.М.,Соболева Т.С.

• Матричный анализ и линейная алгебра: учебное пособие, Тыртышников Е.Е.

27