Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы),

сохраняется во времени:

.

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство

Теорема об изменении импульса системы записывается в виде:

dQ

Fie d Mvc

dt

i

dt

или в декартовых координатах

d (Mv )

Fixe ;

d (Mvcy )

Fiye ;

d (Mv )

Fize .

cx

cx

dt

dt

dt

i

i

i

2,12 Работа силы (А) – мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения.

Вычисление работы при перемещении тела из точки (1) в точку (2).

Если

.

Если

перемещение достаточно малое, чтобы силу на нём считать постоянной.

Кинетическая энергия (Т) – часть механической энергии системы, зависящая от скорости движения материальных точек, образующих систему.

Связь энергии с работой

Получим выражение для кинетической энергии материальной точки.

В начальном положении тело с массой m имело скорость

Под действием силы тело переместилось в положение (2), где его скорость стала

Свяжем изменение скорости тела с работой, которую совершила сила .

Запишем II закон Ньютона

Умножим обе части (1) скалярно на элементарное перемещение:

Учтём:

Проинтегрируем (3) от начального до конечного состояний:

Т.к. работа силы является мерой приращения механической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии

Формулировка:

Приращение кинетической энергии системы тел равно работе всех сил, действовавших на тела системы.

Доказательство:

Для каждого тела системы справедливо:

Просуммируем по всем телам системы:

Теорема доказана.

2,13 Поле сил

Силовое поле – часть пространства, в каждой точке которого на помещённую туда материальную частицу действует сила, зависящая либо от только от координат этой точки, либо от координат и от времени.

Потенциальное поле. Существуют такие поля, каждой точке которых может

быть сопоставлена однозначная функция координат, частные производные которой по координатам равны проекциям силы на соответствующие оси координат (взятые со знаком «–»)

,		,		.

Функция U называется потенциальной энергией, а само силовое поле – потенциальным.

Суть (определение) потенциальной энергии – часть полной механической энергии системы, зависящая от взаимного расположения материальных точек, составляющих эту систему, и от их положения во внешнем силовом поле.

консервативные силы —работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил)

Неконсервативные силы

Существуют силы, работа которых зависит от формы пути, т. е. работа по замкнутой

траектории не равна нулю (например силы трения). Такие силы называют неконсервативными.

Це тра ь ые с ы а консервативых сил

Во всех рассмотренных выше примерах работа сил не зависела от формы траектории и определялась только начальным и конечным положением силы, т.е. эти силы являются силами консервативными.

Покажем, что консервативными являются также т.н. центральные силы любой природы.

Понятие центральной силы.

Направление: линии действия сил пересекаются (сходятся) в одной точке О – центре сил.

Численное значение: зависит только от расстояния до центра сил – f(r).

Работа центральной силы:

	( )			( )
∫	( )		∫	( )	( ) ( )
(	)		(	)

Конкретный вид функции , называемой потенциалом поля, зависит от

природы поля.

потенциальной энергии

(определение)– часть полной механической энергии системы, зависящая от взаимного расположения материальных точек, составляющих эту систему, и от их положения во внешнем силовом поле.

Связь потециальной энергии и силы

Функция U называется потенциальной энергией, а само силовое поле – потенциальным.

Рассмотренную связь между силой, действующей на частицу в потенциальном поле, и потенциальной энергией в этой же точке поля, можно записать кратко, используя математическое понятие градиента скалярной функции.

Градиент скалярной функции U – вектор, который определяется выражением (в декартовой системе координат):

Вектор силы, выраженный через проекции силы на оси координат

Сопоставляя эти два выражения и учитывая данное выше определение

потенциального поля, делаем вывод:

Теорема об изменении полной механической энергии (Е).

Формулировка.

Приращение полной механической энергии системы взаимодействующих тел во внешнем потенциальном поле сил равно работе неконсервативных сил

Т– кинетическая энергия системы;

–потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием тел (частиц) системы между собой;

–потенциальная энергия частиц системы, обусловленная их нахождением

во внешнем потенциальном поле, т.е. поле, создаваемое телами, не входящими в тела системы.

Доказательство.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы и конкретизируем её правую часть.

Выделим работу сил

внутренних ( ) и внешних

( ).

Среди внутренних сил могут быть силы консервативные и неконсервативные.

Выделим работу тех и других.

Такое же разбиение проделаем для внешних сил.

Работу консервативных сил выразим через убыль потенциальной энергии:

∑	( )	(	)	( )	Взаимодействия между телами системы
∑	( )	(	)	( )	Положения системы во внешнем
					потенциальной поле

Подставим выражения (2) и (3) в исходное (1) и скомпонуем все члены так, чтобы слева оказалось приращение полной механической энергии, а справа осталась работа неконсервативных сил:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Теорема доказана.