Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Ростовский государственный строительный университет
Кафедра экономики природопользования и кадастра
Методические указания
и задания по разделу «Способ наименьших квадратов»
для студентов 2-го курса специальности «Городской кадастр»
Ростов-на-Дону
2014
1. Вычисление коэффициентов нормальных уравнений.
Таблица 1
|
Номера ур-ний |
a] |
b] |
... |
g] |
l] |
s] |
p |
|
v |
pv |
pvv |
plv |
|
1 |
a1 |
b1 |
... |
g1 |
l1 |
s1 |
p1 |
|
v1 |
p1v1 |
p1v1v1 |
p1l1v1 |
|
2 |
a2 |
b2 |
... |
g2 |
l2 |
s2 |
p2 |
|
v2 |
p2v2 |
p2v2v2 |
p2l2v2 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
... |
... |
... |
... |
|
n |
an |
bn |
... |
gn |
ln |
sn |
pn |
|
vn |
pnvn |
pnvnvn |
pnlnvn |
|
Суммы |
[a] |
[b] |
... |
[g] |
[l] |
[s] |
|
|
|
[pv] |
[pvv] |
[plv] |
|
Неизв. |
σx1 |
σx2 |
... |
σxk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[a |
[paa] |
[pab] |
... |
[pag] |
[pal] |
[pas] |
|
|
|
|
|
|
|
[b |
|
[pbb] |
... |
[pbg] |
[pbl] |
[pbs] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
|
[g |
|
|
|
[pgg] |
[pgl] |
[pgs] |
|
|
|
|
|
|
|
[l |
|
|
|
|
[pll] |
[pls] |
|
|
|
|
|
|
|
[s |
|
|
|
|
|
[pss] |
|
|
|
|
|
|
По результатам вычислений табл. 1 составляют систему нормальных уравнений
[paa]σx1+[pab]σx2+ ... +[pag]σxn+[pal] = 0 ,
[pab]σx1+[pbb]σx2+ ... +[pbg]σxn+[pbl] = 0 ,
.......................................................................
[pag]σx1+[pbg]σx2+ ... +[pgg]σxk+[pgl] = 0 .
При составлении табл. 1 выполняются следующие контроли сумм
ai+bi+ ... +gi+li = si ,
а в нижней части данной таблицы
[paa]+[pab]+ ... +[pag]+[pal] = [pas] ,
[pab]+[pbl]+ ... +[pbg]+[pbl] = [pbs] ,
..............................................................
[pag]+[pbg]+ ... +[pgg]+[pgl] = [pgs] ,
[pal]+[pbb]+ ... +[pgl]+[pll] = [pls] ,
[pas]+[pbs]+ ... +[pgs]+[pls] = [pss] .
2. Решение нормальных уравнений.
Для решения нормальных уравнений используют способ последовательного исключения неизвестных, называемый способом Гаусса.
Схема решения для трёх нормальных уравнений приведена в табл. 2.
На промежуточных этапах решения также используются контроли сумм. В конце решения согласно схеме образуется контрольное равенство
[pll·k] = [pls·k] = [pss·k] = [pvv] ,
где
[pll·k]=
[pll]-
-
-...-
,
=
-
-
-...-
,
=
-
-
-...+
.
Сумма квадратов поправок определяется согласно равенству
=
σx1+
σx2+...+
σxk+
.
Схема решения системы нормальных уравнений
Таблица 2
-
№№ стр
Обозн строк
11
12
13
L
S
конт
роль
1
2
3
4
5
6
7
8
1
N
2
E
-1
-
-
-
-
3
N
4
-
-
-
-
5
N
6
E
-1
-
-
-
7
N
8
-
-
-
9
-
-
-
10
N
11
E
-1
-
-
12
-
-
-
13
-
-
-
-
14
-
-
-
15
-
-
16
Величина [pvv], как видно из таблиц 1 и 2 определяется на различных этапах уравнительного процесса по разным формулам и может служить для сквозного контроля вычислений.
Заключительный контроль уравнительных вычислений в параметрическом способе состоит в подстановке уравненных значений измеренных величин и найденных неизвестных в равенстве .
3. Оценка точности при параметрическом уравнивании.
3.1. Оценка точности измеренных величин.
Ошибка единицы веса определяется по формуле
,
где n-k - число избыточных измерений;
k - число определяемых величин.
3.2. Оценка точности уравненных величин.
Средняя квадратическая ошибка уравненных параметров вычисляется по формуле
,
где Qjj - весовые коэффициенты, которые определяются из следующих систем нормальных уравнений в схеме решения Гаусса (табл. 3).
Группа 1.
,
,
.
Группа 2.
,
,
.
Группа 3.
,
,
.