14. Методические указания 2

Индивидуальное задание и его решение

∞

5

1

При

x =

получаем 1-гармонический ряд

∑

,

который

3

n=1 n

расходится (см. примеры 5 и 7).

∞

(−1)n

5

При

x = -

исходный ряд принимает вид: ∑

.

Этот ряд

3

n

n=1

условно сходится (см. пример 20).

Мы получили полное описание области сходимости исходного ряда:

усл.сходится		расходится
расходится	абс.сходится		расходится
−	5		5
	3		3

3) Для нахождения радиуса сходимости воспользуемся формулой (9). Так как

cn

=

n!

, то

cn+1

=

(n +1)!

=

n!(n +1)

. Вычислим предел:

4n

4n+1

4n × 4

lim

cn+1

= lim

n!(n + 1) × 4n

= lim

(n + 1)

= ¥ .

n→∞

cn

n→∞ 4n × 4 × n!

n→∞

4

То есть R =

1

=

1

= 0 и исходный ряд сходится в одной точке

cn+1

lim

¥

cn

n→∞

x = 0 .

4) Сначала сделаем

замену

переменных y = x + 3 . Исходный

ряд

∞

y

n

1

примет

вид:

∑

.

Здесь

cn

=

,

n3

+

n=1 n3 +

2n

1

2n

= lim n

1

=

1

=1.

R =

=1

(см.

lim n

cn

Тогда

n3 +

n→∞

n→∞

2n

lim n

n3

lim n

cn

n→∞

n→∞

теорему 10).

148

Индивидуальное задание и его решение

∞

1

При

y =1

получим ряд

∑

, который сходится (т.к.

n=1 n3 +

2n

1

1

∞

1

~

при n → ∞, ряд ∑

сходится как 3-гармонический ряд

n3 + 2n n3

n=1 n3

(см. пример 7, пункт 1 задачи 1)).

∞

(−1)n

При

y = −1 получим ряд ∑

, который сходится абсолютно

n=1 n3

+ 2n

(так как ряд составленный из модулей членов знакочередующегося ряда сходится (см.теорему 8)).

		∞		y	n
Область сходимости ряда ∑							определяется неравенствами
		n=1 n3		+ 2n
−1 ≤ y ≤1. Возвращаясь		к переменной					x	получим:		− 4 ≤ x ≤ −2 .
Исходный ряд абсолютно сходится, если								x [− 4;−2],		и расходится,
если x [− 4;−2].
	абс.сходится				абс.сходится
расходится		абс.сходится						расходится
	-4						-2

Решение задачи 4

1) Подставив в формулу (21) 0,05 вместо x , получаем разложение в степенной ряд функции

	0,052		0,053		(−1)n
ln(1,05) = ln(1 + 0,05) = 0,05 −		+		+ ... +		0,05n+1 + ...
	2		3
					n +1

Этот ряд является знакочередующимся. Следовательно, по теореме 9 остаток ряда мы можем отбросить, начиная с члена, модуль которого будет меньше требуемой точности вычисления ε . Имеем:

	0,05>0,0001;	0,052	= 0,00125 >0,0001;	0,053	≈ 0,0000417 <0,0001.
		2		3

Поэтому остаток данного ряда можно отбросить, начиная с третьего

149

Индивидуальное задание и его решение

члена.

Получаем

приближенное

значение

ln(1,05) ≈ 0,05 − 0,00125 = 0,04875 ≈ 0,0488.

2) Напомним,

что

cos100 = cos

π

.

Воспользуемся

формулой (24).

18

Подставляя

π

вместо x , получаем следующее разложение:

18

π

2

π 4

π 2n

π

cos

=1 -

18

+

18

+

... + (-1)

n

18

+ ...

2!

4!

(2n)!

18

π

4

Ясно,

что этот ряд знакочередующийся. Так как 18

< 0,001 = ε , то

4!

по теореме 9 для достижения нужной точности можно отбросить все члены полученного ряда, начиная с третьего. То есть

cos π ≈1 − 0,01522 = 0,98478 ≈ 0,985 с точностью ε = 0,001. 18

3) Используя формулу (23), получим разложение подынтегральной

функции в степенной ряд: sin x2 = x2 − x6 + x10 + ...

3! 5!

Очевидно, что полученный ряд (так же как и ряд (23)) сходится на всей числовой прямой. Применяя теорему 13 о почленном интегрировании степенных рядов, получаем:

0,5		2	0,5						2		x6		x10		x3			x7		x11				0,5
∫sin x			dx = ∫							-	+					-			+					=
							x						5!	+ ... dx =								+ ...
0					0						3!					3		3!×7 5!×11						0
=	0,53	-		0,57		+		0,511			+ ...
3			3!×7				5!×11

Полученный ряд удовлетворяет всем условиями признака Лейбница.

Так как	0,511		< 0,0001, то по теореме 9 для достижения нужной
5!×11

150

Индивидуальное задание и его решение

точности можно отбросить все члены полученного ряда,			начиная с
	0,5
третьего. То есть	∫sin x2 dx ≈ 0,0417	− 0,0002 = 0,0415 .
	0
4) Применим	формулу (26).	Получим разложение	функции

41 + x3 = (1 + x3 )0,25 в степенной ряд для x (−1;1) :

(1 + x3 )0,25 =1 + 0,25x3 + 0,25(0,25 −1) x6 + ... + 0,25(0,25 −1)...(0,25 − n +1) x3n + ...

2! n!

По теореме 13 этот ряд можно почленно интегрировать по отрезку

[0;0,6]:

0,6	3		0,25	0,6			3		0,25(0,25 −1)		6
∫(1 + x		)		dx = ∫	1	+ 0,25x		+		x		+... dx =
									2!
0				0

	x	4		0,25(0,25 −1)		x	7			0,6
= x + 0,25			+					+ ...		= 0,6 + 0,0081 − 0,00019 + ... .
	4		2!		7
										0

Так как третий член меньше 0,001, то его и все последующие члены

0,6

можно отбросить. Поэтому ∫(1 + x3 )0,25 dx ≈ 0,608.

0

Решение задачи 5

1) Построим график функции f (x), периодически продолженной на всю числовую ось:

y

π

							x
− 3π	− 2π	−π	0	π	2π	3π

Поскольку функция f (x)

четная,

то все коэффициенты

bn = 0 . По

формулам (45) найдем коэффициенты:

1

π

1

0

1

π

2

π

x2

π

=π ;

a0 =

∫ f (x)dx = −

∫xdx +

∫xdx =

∫xdx =

π

π

π

π

π

−π

−π

0

0

0

151

Индивидуальное задание и его решение

1

π

2

π

dv = cos nx

u = x

an =

∫ f (x) cos nxdx =

∫x cos nxdx =

v =

1

sin nx

du = dx

=

π

π

−π

0

n

2

x sin nx

π

1

π

2 1

π

2

2

=

−

∫sin nxdx

=

cos nx

=

(cosπn −1) =

((−1)n −1)

π

n

n

π n

2

πn

2

πn

2

0

0

0

.

Итак, разложение функции f (x)= x в ряд Фурье имеет вид:

∞

f (x)=π + ∑ 2 ((−1)n −1) cos nx .

n=1 πn2

2) Период функции		f (x), продолженной на всю числовую ось, равен
2.
					y
				1
-2		-1		0	1		2	x

-1

По формулам (45*), учитывая нечетность функции, найдем коэффициенты Фурье функции f (x):

a0 = 0 ; an = 0 ;

2

1 sin

nπx

2

1

2

2

(1 + (−1)n+1 ).

b =

dx = −

cos nπx

=

(1 − cosπn) =

1

1

n

∫

nπ

nπ

nπ

0

0

f (x)= −1 при

−1 < x < 0, имеет

Таким образом, ряд Фурье функции

1 при

0 < x <1;

вид:

f (x)= ∑∞

2

(1 + (−1)n+1 )sin nπx .

n=1 nπ

152

Индивидуальное задание и его решение

1. Студент ищет формулу в трех справочниках. Пусть Ai , i =1, 2, 3 – событие, означающее, что нужная формула содержится в i-м справочнике. Выразить через Ai следующие события:

A – формула содержится только в одном справочнике, B – формулы нет ни в одном справочнике,

C – формула содержится хотя бы в одном справочнике.

A = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3

B= A1 A2 A3

C= A1 + A2 + A3

2.Брошены 2 игральные кости. Описать пространство элементарных событий и найти вероятности следующих событий:

а) сумма выпавших очков равна 7, б) сумма очков равна 8, а произведение 12, в) сумма очков не превышает 3, г) разность очков меньше 2,

д) сумма очков расположена в промежутке[2, 4].

Исходы равновозможны. Благоприятствующими событию A являются следующие исходы: (1, 6), (2,5), (3, 4), (4,3), (5, 2), (6,1). Всего этих исходов A = 6 . Таким образом,

P(A)= A = 6 = 1 . n 36 6

153