14. Методические указания 2

Индивидуальное задание и его решение

Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой k = -	4	.
1	3

Воспользуемся формулой (47) из лекции 12, то есть уравнением

прямой в R2 , проходящей через точку											A с угловым коэффициентом
k1 :
L		: x			= -			4		(x -1)+ 4 Û 4x + 3x							-16 = 0 .
	1			2												2
							3			1	1
б) Пусть k2 —
			угловой коэффициент прямой L 2 . Воспользуемся
условием перпендикулярности двух прямых в R2 (см. формулу (52) из
лекции 12):
						k2 × k = -1 k2 = -						1	=	3		.
												k 4
Опять применяем формулу (47):
L			: x			=	3		(x -1)+ 4 Û 3x - 4x							+13 = 0 .
		2			2										2
							4			1	1

Решение задачи 19

x2

C

D

H

B

O

A

x1

а) Для нахождения уравнения стороны BC применим формулу (50) из

лекции 12 (уравнение прямой в R2 , проходящей через две точки):

BC :

x1 +1 1 +1

= 0

x1 +1 2

= 0 3(x +1)− 2(x

2

−1)= 0 3x − 2x

2

+ 5 = 0

x2 −1 4 −1

x2 −1 3

1

1

.

Из полученного уравнения находим угловой коэффициент прямой BC:

kBC

=

3

. б) Пользуясь условием ортогональности (52) из лекции 12,

2

1

2

найдем угловой

коэффициент k

высоты

AH :

k

= −

= −

.

AH

AH

kBC

3

Используя формулу (47) из лекции 12, запишем уравнение высоты

68

Индивидуальное задание и его решение

AH , проходящей через известную точку A(2,0) и имеющей

известный угловой коэффициент k AH = − 2 : 3

AH : x2 = − 2 (x1 − 2)+ 0 2x1 + 3x2 − 4 = 0 . 3

в) Так как AD — медиана треугольника ABC , то точка D делит сторону BC пополам, следовательно, координаты точки D равны полусумме соответствующих координат точек B и C , то есть D(0, 52) . В очередной раз воспользуемся формулой (50):

AD :		x1 − 2	0 − 2			= 0		x1 − 2 − 2			= 0	5	(x − 2)+ 2x		= 0 5x + 4x		−10 = 0
		x2 −0	5	− 0
														2		2
								x2	5 2			2	1		1
			2
									.

Решение задачи 20

Напомним, что точка C симметрична точке A относительно прямой L , если она лежит на прямой L1 , перпендикулярной к L и

проходящей через точку от A до L (см. рисунок). B — проекцию A проектирующей прямой

прямой L , а через k1 —

A, и расстояние от C до L равно расстоянию Прежде чем находить точку C, найдём точку на L . Для этого составим уравнение L1 . Обозначим через k угловой коэффициент

прямой L1 . Так как k = −3 и L1 ^ L , то

k = −		1	=	1		, а так как A(1,2) ÎL											, то по формуле (47) имеем:
																1
1		k	3
							L			: x		=	1	(x −1)+ 2 x −3x						+ 5 = 0 .
								1			2								2
												3			1			1
	Далее, из того,											что B = L1 Ç L ,						вытекает, что координаты точки
B находятся из системы:
				3x + x						+ 2 = 0					x1	= −1,1;		x2 =1,3	B(−1,1;1,3) .
						x	1		2	+ 5 = 0
							−3x		2
						1

69

Индивидуальное задание и его решение

Теперь мы можем определить координаты точки C(c1, c2 ) .

Действительно, так как точка B делит отрезок AC пополам, то координаты точки B равны полусумме координат точек A и C, то есть:

	1 + c1		= −1,1
	2			c1 = −3,2; c2 = 0,6 C(−3,3; 0,6) .
		2 + c
			2	=1,3
	2

70

Индивидуальное задание и его решение

ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

ПО КРИВЫМ И ПОВЕРХНОСТЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Задача 1

Найти координаты какой-либо точки, принадлежащей данной кривой: x 2 + 3xy + y + 4 y 2 −9 = 0 .

Задача 2

Определить тип кривой и построить ее:

4x 2 + 9 y 2 +8x −18 y − 23 = 0 .

Задача 3

Найти область, ограниченную линиями:

y 2 = x и x + y =2.

Задача 4

Найти полярное уравнение и построить кривую

(x 2 + y 2 )2 =18xy .

Задача 5

Лежит ли точка А(-1,1,2) на поверхности, полученной вращением параболы y 2 = 2x + 2 вокруг оси Ох? Если нет, найдите, по крайней мере одну точку на этой поверхности.

						Задача 6
Опишите			область, которая получается в сечении фигуры
	(x −1)2	+ ( y −5)2		+	(z +1)2	=1 плоскостью хОу.
32
				22
						Задача 7
Найдите			точки	пересечения прямой				{x = 2 + t, y = −1 + 3t, z = −4t} с
гиперболическим параболоидом z =							x 2	−	y 2	.
				2				3

71

Индивидуальное задание и его решение

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Решение задачи 1

Пусть,

например

y = 0 , тогда x 2 −9 = 0

x = ±3 . Получили

две точки А(3,0) и В(-3,0), принадлежащие данной кривой.

Решение задачи 2

Выделим полные квадраты при х и при у:

4x 2 +8x + 4 + 9 y 2 −18 y + 9 − 4 −9 − 23 = 0 4(x +1)2 + 9( y −1)2 = 36

(x +1)

2

( y −1)2

=1.

9

+

4

Y

у

Введем

новую

систему

координат

′

2

XO Y ,

полученную

параллельным

переносом старой системы на

3

Х

вектор

−1

. При этом

OO′ =

O′

1

1

-1

O

х

связь

между

координатами

точек плоскости в старой и

X = x +1

новой

системах выражается

формулами:

.

Подставляя

это

в

полученное

уравнение,

Y = y −1

получаем каноническое уравнение X 2

+ Y 2

=1.

32

22

Решение задачи 3

Найдем точки пересечения этих линий, первая из которых является

параболой, а вторая – прямой:

y 2 = x

y

2 = x

y 2

= 2 − y y 2 + y − 2 = 0 y1 = −2 ,

+ y

= 2 − y

x

= 2

x

y2

=1.

Следовательно,

x1 = 4 ,

x2

=1.

Получили точки пересечения

(−2,4) и (1,1) .

у

При

построении

области

сначала

изображаются

точки

1

пересечения, прямая

проводится

4

через полученные

точки,

а для

построения параболы нужно найти

О

1

х

-2

72

Индивидуальное задание и его решение

ещё её вершину, которая в данном случае совпадает с началом координат.

Решение задачи 4

ϕ = π

ϕ = π

Для

получения

полярного

уравнения

4

2

используем формулы (63):

r 4 =18r 2 cos ϕsin ϕ

0

r 2 = 9 sin 2ϕ

ϕ = π

ϕ =

r = 3

sin 2ϕ. Так как синус

5π

ϕ =

3π

— периодическая функция,

ϕ =

то

можно

построить

4

2

таблицу

значений

на

периоде,

который

для

функции sin 2ϕ составляет интервал от 0 доπ.

ϕ

0

π

π

3π

π

4

2

4

π

r

0

3

0

-

0

На

промежутке

между

и

π

функция

sin 2ϕ < 0 ,

то есть функция

2

r = 3

не определена на π; π

sin 2ϕ

. Аналогичным образом функция ведёт

2

себя

на

промежутках π,

3π

и

3π

,2π . Полученные

точки

соединим

2

2

плавной кривой, которая носит название лемнискаты Бернулли.

	Решение задачи 5
z			Сначала изобразим получившееся
		тело. Построим график параболы в
		плоскости хОу. Затем, вращая
	-1	параболу вокруг оси Ох, получим
О	у	пространственную			фигуру	—
		параболоид вращения (частный случай
		эллиптического параболоида). Ясно,
х		что	сечения	этого	параболоида
		плоскостями, перпендикулярными оси
		Ox и проходящими через точку (x,0,0)
		при	x > −1	будут	окружностями

73

Индивидуальное задание и его решение

y2 + z2 = 2x + 2 . Это и есть уравнение построенного параболоида вращения. Точка A(−1;1;2) не удовлетворяет данному уравнению и, таким образом,

не принадлежит данной поверхности. Примером точки, лежащей на заданной поверхности, может служить вершина параболлоида с координатами (−1;0;0). Другая точка поверхности — B(0;1;1).

Решение задачи 6

Заданное уравнение определяет эллипсоид, сечение которого любой плоскостью является эллипсом. Пересекая данный эллипсоид плоскостью

хОу, которая имеет уравнение z = 0 , получаем:

(x −1)2

+ (y −5)2 +

1

=1 (x −1)2 + (y − 5)2

=

3

(x −1)2 + (y −5)2

=1.

32

22

32

4

27 4

3 4

Итак, искомое сечение

представляет собой эллипс в плоскости хОу с

центром в точке

(1;5), с большой

полуосью a =

3

3

и

малой

полуосью

2

b =

3

.

2

Решение задачи 7

Чтобы

найти

нужные

точки

пересечения,

надо

решить

систему

x = 2 + t

x = 2 + t

+ 3t

y = −1 + 3t

y = −1

уравнений:

= −

z = −4t

z

4t

x 2

y 2

(2 + t )2

(−1 + 3t )2

=

−

z

− 4t =

−

2

3

2

3

Имеем:

						(2 + t )2				(−1 + 3t )2									4 + 4t + t 2					1 − 6t + 9t 2
	− 4t =							−															−									+ 4t = 0
						2						3								2					3
15t 2 − 48t −10 = 0 t =													24 ±												=				24 −11										=	24 +11
																	576 +150					t										6		, t										6	.
																																						2
										1,2								15				1			15														15
																				54 −11								19 −11								44						−96
																										6							6								6
	Система					имеет				два				решения:														;								;									и
																						15			5														15
	54 +11		19 +11												+ 96
		6					6			−	44			6
				;					;									.
	15					5						15

74

Индивидуальное задание и его решение

ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

ПО ТЕХНИКЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ

Задача №1

Вычислить производные следующих функций.

1) y = 3x + 7x3 + x x - 2 x6

4

3

x

+ 5

2)

y = 5 +

+

x3

x

x3 x

3) y =

5x - 6

+

2x

- 5x sin 7x + 4

× e−x

x

7x + 8

x7

sin x − cos x

23 x

4)

y =

+ x arcsin x +

sin x + cos x

32 x

5)y = ctg(ln x)+ arcsin(5x)

6)y = (10x3 + 8)2 + sin(5x - 7)

	8		(4x3 + 3)+ cos2 8x5 + 5−sin x
7)	y = tg	3
8)	y = etg (4 x+3) + cos3 (2x2 + 4x + 3)+ ln ctg			x
			2

9)y = 32arccos5 (2 x )

10)y = arcctg8 ln(2x3 + 2x2 + x)

tg

x +1

5

11

2

11)

y = (x +

9)

+

x6 - 4x2 + 5

12)

y = e−5 x ×tg

3x

+ cos2 2x4 + 3−tg 2 x

- x2

1

ctg(3x + 2)3

3

13)

y = ln cos(5x - 6)

+

x4 + 5x + 6

× ln

2x +1

+ etg (4 x+3)

y = x +

14)

2x

3x - 7

15)y = (3x - 4)tgx

16)y = (sin x)cos x

Задача №2

Вычислить производные y′ = y′(x) функций, заданных неявно, и функций, заданных параметрически.

75

Индивидуальное задание и его решение

1)x2 + y2 −3x2 y = 3

2)xy + x2 − 23x = 5 y y

		5t
	x = e
	3)		−6t
	y = e
				3	t
	x = 3cos
	4)			3
	y = 4 sin				t

Задача №3

Исследовать функции на непрерывность. Указать точки разрыва и характер разрыва.

						< 0,
		x −3, x
1)	y =	x +1, 0 ≤ x ≤ 4,
						x > 4
		3 + x,
2)	y =	x − 2
		(x +1)2
3)	y =	x3 + 4
		(x −1)(x + 2)

3x

4)y = 2 x +3

Задача №4

Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя.

1) lim	x2	+ 3x + 2
		x3 +1
x → −1

2)	lim		x2		− 2x
					2
	x→0
				e x 2
3)	lim			x3		+ 2x + 5
						− 4x + 7
	x →∞ 2x8
4)	lim		sin 4x
	x→0 tg3x
5)	lim		arctg3x
	x →0 ln(1 − 3x)

76

Индивидуальное задание и его решение

6)

lim

e2 x −1

x →0 arctg(x2 + 2x)

7)

lim

e3x − e x

x

x →0

−1

8)

lim

x +1

x

x →0

9)

lim

x2 + 4 − 2

x2 + 2 −

x→0

2

10)

lim

x4 + 7x2 + 4x + 9

2x4 − 7x +112

x →∞

11)

lim

sin 8x + sin 5x

x →0

sin 3x

12)

lim

x3 − x4 + 7x −19

x →∞19x5 + 66x2 − 99x +1

13)

lim

ln(2 + x)− ln 2

x →0

x

lim

5x + 2

−2 x

14)

5x

x→∞

Задача №5

Найти следующие пределы, используя правило Лопиталя.

1)

lim

3x2 + 3x + 7

2x + 9

x →∞

2)

lim

4x4 − 3x2 + 8

x →∞ 2x4 − 5x + 9

3)

lim

sin 4x

x2

x →0

4)

lim

e x −1

x →0 arctg4x

5)

lim

ln(1 + 4x)

x →0

sin x

− 5

6)

lim

22 + x

sin(x − 3)

x →3

3

+ 2

x − 6

7)

lim

x3 + 8

x →−

2

77