14. Методические указания 2

Индивидуальное задание и его решение

8)	lim	1 −sin 5x
	x→π				p 2
	2 x -
					2
			1	-	1
9)	lim
	x →0 x				sin x

10) lim (xe−x ) x→∞

11) lim(1 + x)2

x

x→0

Решение задачи №1

Для решения примеров на вычисление производной необходимо выучить наизусть правила дифференцирования, таблицу производных, а также нужно хорошо разбираться в порядке следования операций в математическом выражении. Весь этот материал изложен в лекции 1, где также вычислено большое число производных и приведены замечания, полезные при дифференцировании.

1)

2

¢

3

′

3

1

y¢ = 3x + 7x3 + x x -

=

3x

+ 7x3 + x 2 - 2x−6

= 3 + 21x2 +

x 2 +12x−7

x

6

2

.

4

3

′

−

1

−

5

3

′

x

2) y¢ = 5 +

+

+ 5

x3

=

5 +

4x 2 +

3x 6 + x5

=

3

x

x

x

1

−

3

5

−

11

3

−

2

−

3

5

−

11

3

−

2

= 4 × -

× x

2 + 3 ×

-

× x

6 +

x 5 = -2 × x 2 -

× x

6 +

x

5 .

2

6

5

2

5

5x - 6

2x

4

−x

′

5 × (7x + 8)- 7 ×

(5x - 6)

3) y¢ =

+

- 5x sin 7x +

x ×e

=

+

7

2

+ 8 x

7x

(7x + 8)

2x ln 2 × x7 - 2x × 7x6

1

−

3

−x

1

−x

82

+

- (5sin 7x +

5x × cos 7x × 7)+

x 4 × e

- x 4 ×e

=

+

(x7 )2

4

(7x + 8)2

2x ×(ln 2 × x - 7)

1

4

+

-5sin 7x - 35x cos 7x +

-

x

.

x8

44 x3 ×ex

ex

4)
		+
y¢ = sin x - cos x
sin x + cos x

23x

¢

sin x - cos x

1

8

x

′

x arcsin x +

=

+ x 2

arcsin x +

=

3

2 x

9

sin x + cos x

78

Индивидуальное задание и его решение

(cos x + sin x)× (sin x + cos x)- (sin x - cos x)×(cos x - sin x)

1

−

1

=

+

x

2 arcsin x +

(sin x + cos x)2

2

1

1

8 x

8

(sin x + cos x)2 + (sin x - cos x)2

arcsin x

x

+ x 2

+

ln

=

(sin x + cos x)2

+

+

+

2

1 - x2

x

- x2

9

9

1

8

x

8

2

arcsin x

8 x

8

x

+

ln

=

+

+

+

ln

.

(sin x + cos x)2

2

x

1 - x2

9

9

9

9

5)

y¢ = (ctg(ln x)+ arcsin(5x))¢

1

1

5

1

5

= -

×

+

= -

+

sin2 (ln x)

x

x sin2 (ln x)

1 - (5x)2

1 - 25x2

.

y¢ = ((10x3 + 8)2 + sin(5x - 7))′

6)

= 2(10x3 + 8)×30x2 + cos(5x - 7)×5 =

= 60x2 × (10x3 + 8)+ 5 cos(5x - 7).

7)

′

8

8

5

1

y¢ =

tg 3 (4x3

+ 3)+ cos2 8x5

+ 5−sin x

=

tg 3

(4x3 + 3)×

×12x2 +

2

(4x

3

+ 3)

3

cos

5

(4x3 + 3)

+ 2 cos8x5 × (- sin 8x5 )× 40x4

+ 5−sin x ln 5 × (- cos x)=

32x2 ×tg

3

-

cos2 (4x3 + 3)

- 40x4 sin16x5 -

cos x ln 5

.

5sin x

′

y¢

=

(4 x+3) + cos3 (2x2 +

4x + 3)+ ln ctg

x

= etg (4 x+3) ×

1

× 4 +

8)

etg

cos2 (4x + 3)

2

2

(2x

2

+ 4x + 3)× (- sin(2x

2

+ 3))×(4x + 4)+

1

1

1

+ 3cos

+ 4x

× -

×

=

x

2 x

2

ctg

sin

2

4etg (4 x+3)

2

=

-12 × (x +1)× cos2 (2x2 + 4x + 3)×sin(2x2 + 4x + 3)

-

1

.

cos2 (4x + 3)

sin x

5

¢

5

1

9)

y¢

= (32arccos

(2 x )) =

32arccos (2 x ) × ln 3 ×10 arccos4 (2x)×

-

× 2

=.

2

1 - (2x)

= -

20 × ln 3 ×32arccos5 (2 x ) arccos4 (2x)

.

1 - (2x)2

10) y¢ = (arcctg8 ln(2x3 + 2x2 + x))′ =

79

Индивидуальное задание и его решение

1

1

= 8arcctg7 ln(2x3 +

2x2 + x)×

-

×

× (6x2 + 4x +1)=

2 (2x3

+ 2x

1 + ln

2 + x) 2x3 + 2x2 + x

= -

8arcctg

7 ln(2x3 + 2x2 + x)× (6x2 + 4x +1)

(1 + ln2

(2x3 + 2x2 + x))× (2x3 + 2x2 + x)

.

tg

x +1

′

2

11)

y¢

= (x5 + 9)11

+

= 11(x5 + 9)10

×5x4 +

x6 - 4x2 +

5

1

×

1

× (x6 - 4x2 + 5)- tg

x +1

× (6x5 - 8x)

2 x +1

cos

2

2

= 55x4 (x5 + 9)10 +

+

2

(x6 - 4x2 +

5)2

tg

x +1

× (6x5 - 8x)

+

1

-

2

.

2 x

+1

6

2

2

(x

6

2

+ 5)

2 cos

× (x

- 4x

+ 5)

- 4x

2

y¢

3x

′

3x

12)

= e−5 x ×tg

+ cos2 2x4 + 3−tg 2 x

= -5e−5 x ×tg

+

1 - x2

1 - x2

+ e−5 x ×

1

×

3 × (1 - x2 )- 3x × (- 2x)

+ 2 cos 2x4 × (- sin 2x4 )×8x3 +

cos

2

3x

(1 - x2 )2

- x2

1

−tg 2 x

1

−5 x

3x

3 + 3x2

+ 3

ln 3

× -

× 2 = -5e

tg

+

-

cos2

1 - x2

2

3x

2x

5 x

2

2

e

cos

× (1

- x

)

- x2

1

- 8x3 sin 4x4 -

2 ln 3

.

3tg 2 x × cos2

13)

2x

′

ctg(3x +

3

1

y¢ = ln cos(5x - 6)3 +

2)

=

× (- sin(5x - 6)3 )×3(5x - 6)2 ×5 +

3

x

4

+ 5x + 6

cos(5x -

6)

1

2

4

3

3

-

2

3

×3(3x + 2)

×3 × (x

+ 5x + 6)- ctg(3x + 2)

× (4x

+ 5)

sin

+

(3x + 2)

=

(x4 + 5x + 6)2

2

3

9(3x + 2)2

(4x3 + 5)ctg(3x + 2)3

= -15(5x -

6)

tg(5x -

6)

-

(x4 + 5x + 6)sin2 (3x + 2)3

-

(x4 + 5x + 6)2

.

80

Индивидуальное задание и его решение

14)

′

¢

1

1

2x +1

tg (4 x+3)

2x +1

2

tg (4 x+3)

y¢ = x +

2x × ln

+ e

=

x +

2 × x 2

× ln

+ e

=

3x - 7

3x -

7

1

1

1

−

1

−

1

2x +1

2

=

× x +

2 × x 2

× 1 + 2 ×

x

2

× ln

+

2

2

3x - 7

1

1

2 ×(3x - 7)- 3 ×(2x +1)

2

3x - 7

+ etg (4 x+3) ×

1

+

x + 2x

2

×

×

× 4 =

2x

+1

(

)

2

cos

2

(3x - 7)

4x + 3

2x +1

2

1 +

× ln

tg (4 x+3)

2 x

3x - 7

17 x +

2x

4e

=

-

+

.

(2x +1)(3x - 7)

cos2 (4x + 3)

2 x +

2x

15)

y = (3x - 4)tgx ln y = tgx × ln(3x - 4) (ln y)′ = (tgx × ln(3x - 4))′

y′

= (tgx)¢ ln(3x - 4)+ tgx ×(ln(3x - 4))¢ =

1

× ln(3x - 4)+ tgx ×

1

×3

cos2

x

3x -

4

y

tgx

1

3tgx

1

3tgx

y¢ = y

×ln(3x - 4)+

= (3x - 4)

×ln(3x - 4)

+

.

x

3x

- 4

3x -

cos2

cos2 x

4

16)

y = (sin x)cos x ln y = ln(sin x)cos x ln y = cos x ln(sin x)

(ln y)′ = (cos x ln(sin x))′

y′

= (cos x)¢ ln(sin x)+ cos x(ln(sin x))¢ =

y

= (- sin x)ln(sin x)+ cos x

1

× cos x y¢ =

- sin x

× ln sin x +

cos2

x

y

sin x

sin x

cos x

cos2

x

y¢ = (sin x)

×

- sin x

× ln sin x +

.

sin x

Решение задачи №2

Примеры 1) и 2) связаны с вычислением производной функции, заданной неявно. Именно, если независимая переменная x и функция y = y(x) связаны

уравнением вида f (x, y)= 0 , которое не разрешимо в явном виде относительно y , то y называется неявной функцией переменной x . Несмотря на то, что уравнение f (x, y)= 0 не разрешено относительно y , оказывается возможным найти производную y по x . Для этого обе части данного уравнения

81

Индивидуальное задание и его решение

дифференцируем по x с учетом того, что y есть функция от x , и из полученного уравнения определяем y′.

1) Дифференцируем обе части уравнения x2 + y2 - 3x2 y = 3 по переменной x . Получаем:

2x + 2 yy¢ - 6xy - 3x2 y¢ = 0 y¢(2 y - 3x2 )= 6xy - 2x

y¢ =

6xy − 2x

.

2 y - 3x2

2) xy +

x2

- 23x = 5 y y + xy¢ +

2xy - x2 y¢

- 23x ln 2 ×3 = 5 y¢

y

y2

y + xy¢ +

2x

-

x2

× y¢ - 3ln 2 × 23x - 5 y¢ = 0

y

y2

x

2

3x

2x

y¢ x -

- 5

=

3ln 2 × 2

-

- y

y

2

y

	3ln 2 × 23x -			2x	- y
							3ln 2 × 23x × y2 - 2xy - y3
y¢ =				y		=		.
	x -	x2	- 5				xy2 - x2 - 5 y2
		y2

Примеры 3) и 4) связаны с вычислением производной функции, заданной

x = x(t )

параметрически. Если система уравнений ( ), где x(t ) и y(t ) –

y = y t

дифференцируемые функции и	′	как функцию от x , то
	x (t )¹ 0 , определяет y
	x = x(t )
			y¢(t )
производная y′x существует и вычисляется по формуле:
	y¢ =				.
			x¢(t )

5t

12) Рассмотрим

систему

x = e

, которую будем мыслить как функцию

−6t

y = e

y = y(x).

Находим x′ и y′:

x¢

= 5e5t

,

y¢ = -6e−6t .

t

t

t

t

Получаем: y¢

=

y¢

=

- 6e−6t

= -

6

−11t .

t

e

x¢

x

5e5t

5

t

5t

x = e

Ответ:

6

y¢ = -

e−11t .

5

82

Индивидуальное задание и его решение

		3
	x = 3cos
	13) Пусть	3
	y = 4 sin

	y¢ = 12 sin2 t × cos t .
	t
	Получаем: y¢ =				yt¢		=
					xt¢
		x
	x = 3cos3 t
	Ответ:		4
	y′ = −				tgt.
			3

t . Находим xt′ и yt′: xt¢ = 9 cos2 t ×(- sin t ), t

	12 sin	2 t × cos t	= -	4	tgt .
	- 9 cos2 t ×sin t			3

Решение задачи №3

				x < 0,
	x −3,
1) Область определения функции	y = x +1,		0 ≤ x ≤ 4, – вся числовая ось. На
	3 + x, x > 4

интервалах (−∞; 0), (0; 4), (4; + ∞) функция непрерывна. Разрывы возможны лишь в точках x = 0 и x = 4 . Найдем односторонние пределы функции в точке x = 0 :

f (− 0)= lim f (x)= lim (x −3)= −3 ,
x→−0	x→−0
f (+ 0)= lim	f (x)= lim (x +1)=1.
x→+0	x→+0
Итак, у функции существуют	и левосторонний предел f (− 0)= −3, и

правосторонний предел f (+ 0)=1, но между собой они не равны. Поэтому точка

x = 0 является для заданной функции точкой разрыва первого рода (эти точки разрыва характеризуются тем, что левый и правый пределы конечны).

Рассмотрим точку x = 4 :

		f (4 −0)= lim (x +1)= 5 ,
			x→4		−0
		f (4 + 0)=	lim		(3 +			)= 5 .
							x
			x→4	+0
Значение	функции в	точке x = 4		равняется f (4)= 4 +1 = 5 . Так					как
f (4 − 0)= f (4 + 0)= f (4), то в точке x = 4 функция непрерывна.
Итак, функция непрерывна на множестве (− ∞; 0) (0; + ∞).
2) Область определения		функции	y =		x − 2		есть множество R \ {−1}.		На
				(x +1)2
интервалах	(− ∞; −1),	(−1; + ∞)	функция непрерывна. Поэтому разрыв
возможен только в точке x = −1.			Найдем односторонние пределы функции в
точке x = −1:

83

Индивидуальное задание и его решение

	f (−1 − 0)=	lim		x − 2	= −∞,
				(x +1)2
		x→−1−0
	f (−1 + 0)=	lim		x − 2	= −∞.
				(x +1)2
		x→−1+0

Поэтому точка x = −1 является для заданной функции точкой разрыва второго рода (эти точки разрыва характеризуются тем, что хотя бы один из односторонних пределов бесконечен).

Итак, функция непрерывна на множестве (−∞; −1) (−1; + ∞).

3) Область определения функции

y =

x3 + 4

–

вся числовая ось кроме

(x −1)(x + 2)

точек 1 и –2. Поэтому разрывы возможны только в этих точках.

Найдем односторонние пределы функции в точке x =1:

f (1 −0)=

lim

x3 + 4

= −∞,

(x −1)(x + 2)

x→1−0

f (1 + 0)=

lim

x3 + 4

= +∞.

(x −1)(x + 2)

x→1+0

Итак, точка x =1 – точка разрыва второго рода.

Рассмотрим точку x = −2 :

f (− 2 − 0)=

lim

x3 + 4

= −∞,

(x −1)(x +

2)

x

→−2−0

f (− 2 + 0)=

lim

x3 + 4

= +∞ .

(x −1)(x +

2)

x

→−2+0

Итак, точка x = −2 –

также точка разрыва второго рода.

Таким

образом,

функция

непрерывна

на

множестве

(− ∞; − 2) (− 2;1) (−1; + ∞).

3x

4) Область определения функции

y = 2 x +3 – вся числовая ось, кроме точки –3.

На интервалах (−∞; −3), (−3; + ∞)

функция непрерывна. Поэтому разрыв

возможен только в точке

x = −3 . Найдем односторонние пределы функции в

точке x = −3 :

f (−3 −0)=

3x

2

= 2+∞ = +∞,

lim

x+3

x→−3−0

f (−3 + 0)=

3x

2

= 2−∞ = 0 .

lim

x +3

x→−3+0

Итак, точка x = −3 – точка разрыва второго рода. Функция непрерывна на множестве (− ∞; −3) (−3; + ∞).

Решение задачи №4

Перед решением примеров данного раздела следует изучить лекции 4 и 5.

84

Индивидуальное задание и его решение

1)Здесь имеет место неопределенность 0 . Разложим на множители числитель и

0

знаменатель дроби:

lim	x2	+ 3x + 2
		x3 +1
x→−1

0

(x + 2)× (x +1)

x + 2

1

=

=

lim

=

lim

=

.

(x +1)× (x2 - x +1)

2

- x +1

0

x→−1

x→−1 x

3

2) Вычислим отдельно предел числителя и знаменателя. Имеем:

2

lim(x2 - 2x)= 0 , lim e x2 = e+∞ = +¥ .
x→0	x→0

Поэтому, из соотношения (12) на стр.20 получаем:

lim	x2	- 2x			=	0	= 0 .
		2				¥
x→0
	e x2

3) По теореме 6 на стр. 18 при x → ∞ многочлен эквивалентен своему одночлену с наивысшей степенью. По теореме 7 на стр. 18 числитель и знаменатель можно заменить на эквивалентные им функции. Имеем:

lim

x3 + 2x + 5

= lim

x3

= lim

1

= 0 .

x→∞ 2x8 - 4x + 7

x→∞ 2x8

x→∞ 2x5

x→0

x→0

4) Из цепочки эквивалентностей (8) на стр. 17 получаем sin x ~

x и tgx ~ x .

Заменяя

sin 4x

эквивалентной ей

функцией

4x

и

tg3x –

функцией 3x ,

получаем:

lim

sin 4x

= lim

4x

=

4

.

x→0 tg3x

x→0 3x 3

5) Решение этого примера аналогично решению примера 4.

При x → 0

arctg3x ~ 3x ,

ln(1 −3x)~ −3x .

Заменяя

числитель

и

знаменатель

эквивалентными им функциями, получаем:

lim

arctg3x

= lim

3x

= -1.

- 3x

x→0 ln(1- 3x)

x→0

6) При x → 0 имеем: e2 x -1 ~ 2x ,

arctg (x2 + 2x)~ x2 + 2x . Получаем:

lim

e2 x -1

= lim

2x

= lim

2

= 1.

2x)

+ 2x

x→0 arctg(x2 +

x→0 x2

x→0 x + 2

e3 x - ex

0

ex × (e2 x -1)

ex

× 2x

7) Имеем: lim

=

= lim

= lim

= 2 .

x→0

x

0

x→0

x

x→0

x

В процессе решения мы применили эквивалентность e2 x

x→0

-1 ~ 2x .

8) Здесь

имеет

место неопределенность

0

.

Перенесем

иррациональность в

0

+1.

знаменатель, для чего умножим числитель

и

знаменатель

на

x +1

Получаем:

(

-1)× (

+1)

-1

x +1 -1

x +1

0

x +1

x +1

lim

=

= lim

= lim

=

x

x × ( x +1 +1)

× (

x +1 +1)

x→0

0

x→0

x→0 x

85

Индивидуальное задание и его решение

= lim

1

=

1

.

x→0

x +1 +1

2

9) Разделив и умножив дробь на сопряженные выражения для

числителя и знаменателя, получаем:

(

- 2)×

(

+ 2)× (

+

)

x2 + 4 - 2

x2 + 4

x2 + 4

x2 + 2

0

2

lim

=

= lim

=

x2 + 4 + 2)× (

)× (

)

x→0 x2 + 2 -

2

0

x→0 (

x2 + 2 -

2

x2 + 2 +

2

= lim

x2 × (

+

)

x2 + 2

x2 + 2 +

2

= lim

2

=

2

2

=

2

.

x→0 x2 × (

x2 + 4 + 2)

x→0

x2 + 4 + 2

4

2

10) Решение этого примера совершенно аналогично решению примера

3. А именно, используя эквивалентность (9), получаем:

lim

x4 + 7x2 + 4x + 9

= lim

x4

=

1

.

x→∞

2x4 - 7x +112

x→∞ 2x4

2

11) Сперва применяем формулу преобразования суммы синусов в

произведение, а затем

используем

4– е свойство предела

функции

(стр.13):

sin 8x + sin 5x

2 sin

13x

cos

3x

sin

13x

0

= lim

2

3x

13x

lim

=

2

= 2 lim

2

lim cos

= 2 lim

x→0

sin 3x

0

x→0

sin 3x

x→0 sin 3x

x→0

2

x→0 2 ×3x

12) Решение аналогично решению примеров 3 и 10:

lim

x3

- x4 + 7x -19

= lim

- x4

= lim

-1

= 0 .

x→∞ 19x5

+ 66x2 - 99x +1

x→∞ 19x5

x→∞ 19x

2 + x

x

ln(2 + x)- ln 2

0

ln

ln 1 +

x

1

2

2

13) lim

=

= lim

= lim

= lim

=

.

x

x

x

x→0

0

x→0

x→0

x→0 2x 2

+

x

x→0

x

В процессе решения мы применили эквивалентность ln 1

~

.

2

2

14) Перед решением этого примера следует просмотреть пример 19 на стр. 22. Обозначим

5x + 2

−2 x

f (x)=

и прологарифмируем данное равенство. Получаем:

5x

2 −2 x

2

ln f (x)= ln 1 +

ln f (x)= -2x × ln 1 +

5x

5x

lim ln f (x)= - lim 2x ×ln 1+

2

= - lim 2x ×

2

= -

4

(мы

применили

5x

x→∞

x→∞

5x

x→∞

5

+

2 x→∞

2

эквивалентность

ln 1

~

).

Перейдем теперь от логарифма к самой

5x

5x

функции:

86

Индивидуальное задание и его решение

	lim ln f (x)	−	4
lim f (x)= lim eln f (x) = ex→∞		= e 5 .
x→∞	x→∞

Решение задачи №5

Для решения примеров этого раздела необходимо изучить теорему Лопиталя (см. теорему 9 на стр. 20-21). Правило Лопиталя применяют повторно, пока не устранится неопределенность или обнаружится, что нужные пределы не существуют.

3x2 + 3x + 7

¥

6x + 3

1)

lim

=

= lim

= ¥ .

2x + 9

¥

2

x→∞

x→∞

2)

4x4

- 3x2 + 8

¥

16x3 - 6x

¥

48x2 - 6

¥

96x

lim

=

= lim

=

= lim

=

= lim

= 2

2x4

- 5x + 9

8x3 -

5

24x2

48x

x→∞

¥

x→∞

¥

x→∞

¥

x→∞

.

lim

sin 4x

=

0

= lim

4 cos 4x

= ¥ .

3)

x2

2x

x→0

0

x→0

ex -1

0

ex × (1 +16x

2 )

1

4)

lim

=

= lim

=

.

4

4

x→0 arctg4x

0

x→0

ln(1 + 4x)

0

4

5)

lim

=

= lim

= 4 .

sin x

+ 4x)cos x

x→0

0

x→0 (1

- 5

0

22 + x

1

1

6)

lim

=

= lim

=

.

x→3 sin(x - 3)

0

x→3

2 ×

22 + x × cos(x - 3)

10

3 x - 6 + 2

0

1 (x - 6)−3

1

2

7)

lim

=

= lim

3

= lim

=

x→−2

x3 + 8

0

x→−2

3x2

x→−2 9x2 × 3

(x - 6)2

=

1

=

1

.

9 ×(- 2)2 ×3 (- 8)2

144

1 - sin 5x

0

- 5 cos 5x

0

- 5 ×(- sin 5x)×5

25

8)

lim

=

= lim

=

= lim

=

.

p

2

p

2

2

x→π

0

x→π

-

0

x→π

2 x -

2

2 2 ×

x

2

2

1

1

sin x - x

sin x - x

0

cos x -1

9)

lim

-

= lim

= lim

=

= lim

=

sin x

x ×sin x

x2

2x

x→0 x

x→0

x→0

0

x→0

0

- sin x

=

= lim

2

= 0 .

0

x→0

10) lim(xe

−x

)= lim

x

¥

1

=

¥

= lim

= 0 .

x→∞

x→∞ ex

x→∞ ex

87