1.2. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной мт

Используя основной закон динамики и формулы для ускорения МТ при различных способах задания движения, можно получить дифференциальные уравнения движения как свободной, так и несвободной МТ с той лишь разницей, что для несвободной МТ ко всем приложенным к МТ активным (заданным) силам надо добавить на основании аксиомы связей – принципа освобождаемости (Ч. 2 Статика) силы пассивные (реакции связи), а в некоторых случаях и уравнения наложенных на МТ связей.

Так как система сил, приложенных к МТ, является сходящейся, то она всегда может быть приведена к равнодействующей.

Пусть – равнодействующая системы сходящихся сил, действующих на МТ.

Для свободной МТ равнодействующая равна геометрической сумме сходящихся активных сил, действующих на нее:

,

где –-я активная (заданная) сила, действующая на МТ, n – количество активных сил.

Для несвободной МТ равнодействующая равна геометрической сумме сходящихся активных (заданных) сил и пассивных сил (сил реакций связей):

,

где –-я пассивная сила (сила реакции связи), действующая на МТ,  - количество пассивных сил.

На основании второго (основного) закона динамики (1.2) с учетом соотношения (1.3) (Ч. 1 Кинематика), определяющим формулу для ускорения МТ при векторном способе задания движения:

,

получим дифференциальное уравнение движения МТ постоянной массы в векторной форме (рис. 1):

. (1.6)

Спроектировав соотношение (1.6) на оси декартовой системы координат Oxyz и использовав соотношения (1.12) (Ч. 1 Кинематика), определяющее проекцию ускорения МТ на оси декартовой системы координат:

,,,

получим дифференциальные уравнения движения МТ в проекциях на эти оси (рис. 1):

(1.7)

Рис.1

Спроектировав соотношение (1.2) на оси естественного трехгранника () и использовав соотношения (1.25) и (1.27) (Ч. 1 Кинематика), определяющие формулы для ускорения МТ при естественном способе задания движения:

, ,,

получим дифференциальные уравнения движения МТ в проекциях на оси естественного трехгранника (рис. 1):

(1.8)

Рассмотрены наиболее используемые случаи уравнений движения МТ. Аналогично можно получить дифференциальные уравнения движения МТ в других системах координат (полярной, цилиндрической, сферической и т. д.).

1.3. Две основные задачи динамики мт

1.3.1. Первая (прямая) задача динамики мт

Первая задача динамики МТ заключается в том, что, зная массу МТ и заданные тем или иным способом уравнения или кинематические параметры ее движения, необходимо найти действующие на МТ силы.

Первая задача динамики решается, используя соотношения (1.6) – (1.8) в зависимости от способа задания движения (в основном используется операция дифференцирования).

Например, если заданы уравнения движения МТ в декартовой системе координат:

то проекции на оси координат силы , действующей на МТ, определятся после использования соотношений (1.7):

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и направляющие косинусы углов, которые составляет сила с осями декартовой системы координат.

Первая задача динамики для несвободной МТ достаточно часто сводится к тому, чтобы, зная массу МТ, уравнения или кинематические параметры ее движения и действующие на нее активные силы (заданные силы), определить пассивные силы (реакции связи).