- •Часть 3. Динамика Введение в динамику
- •Глава 1. Динамика мт
- •1.1. Законы (аксиомы) динамики мт Закон инерции
- •Основной закон динамики
- •Закон равенства действия и противодействия
- •Закон независимости действия сил
- •Системы основных единиц
- •1.2. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной мт
- •1.3. Две основные задачи динамики мт
- •1.3.1. Первая (прямая) задача динамики мт
- •1.3.2. Вторая (обратная) задача динамики мт
- •1.4. Алгоритм решения первой и второй задач динамики мт – схема алгоритма д14 озд с комментариями и примерами
- •Комментарии
- •Пример 1
- •1.5. Колебательное движение мт
- •1.5.1. Уравнение колебательного движения мт
- •1.5.2. Колебательное движение мт в среде без сопротивления при отсутствии возмущающей силы
- •1.5.3. Колебательное движение мт в среде с сопротивлением при отсутствии возмущающей силы
- •1.5.4. Колебательное движение мт в среде без
- •1.5.6. Колебательное движение мт в поле силы тяжести, в среде с сопротивлением под действием возмущающей силы
- •1.6. Общие теоремы динамики мт
- •1.6.1. Теорема об изменении количества движения мт
- •1.6.2. Теорема об изменении момента количества движения мт
- •1.6.3. Теорема об изменении кинетической энергии мт, работа силы
- •1.7. Принцип Даламбера для мт
1.5.2. Колебательное движение мт в среде без сопротивления при отсутствии возмущающей силы
В этом случае n=0, h=0 и общее решение (1.23) примет вид:
, (1.24)
где а и – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.
МТ перемещается по закону синуса (или косинуса). Такое движение носит название простого гармонического колебания, график его представлен на рис. 6.
Рис. 6
Скорость этого гармонического колебания МТ будет:
. (1.25)
Так как , то постоянная а определяет наибольшее отклонение МТ от центра колебаний О и называется амплитудой колебаний МТ. Параметр определяет положение МТ и ее скорость в каждый момент времени и называется фазой колебаний, а постоянная α – начальной фазой.
На основании уравнения (1.24) можно сделать вывод, что движение МТ является периодическим. Периодом колебаний называется промежуток времени Тп, в течение которого МТ совершает одно полное колебание, т.е. МТ в момент времени t + Tп должна прийти в то же положение х и иметь ту же скорость , что и в момент времениt:
, .
Наименьшее значение t, при котором выполняются эти условия, определяются равенством , откуда
.
Величина обратная периоду, определяет число колебаний, совершаемых МТ за одну секунду, и ее называют частотой колебаний:
.
Соответственно параметр ω называется круговой частотой колебаний. Необходимо отметить, что частота и период колебаний МТ от начальных условий не зависят.
1.5.3. Колебательное движение мт в среде с сопротивлением при отсутствии возмущающей силы
В этом случае h = 0 и решение может быть представлено формулами (1.18) – (1.20),так как х=х
При малом сопротивлении среды (n < ) в соответствии с формулой (1.18) ;
, (1.26)
где а и – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.
Из уравнения (1.26) следует, что движение МТ будет колебательным. Эти колебания называют затухающими, так как за счет множителя размахи колебаний будут убывать, стремясь с течением времени к нулю. Период затухающих колебаний
.
Графически затухающие колебания можно иллюстрировать затухающей синусоидой (рис. 7).
Чтобы установить закон затухания размахов колебания, отметим, что промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями МТ иравен периоду Тп, т.е. . С учетом этого найдем:
.
Отсюда следует, что наибольшие отклонения МТ убывают с течением времени по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой называется декрементом колебаний. Соответственно величинаназывается логарифмическим декрементом затухания.
Рис. 7
В случае большого сопротивления среды (n > ) движение МТ будет неколебательным (апериодическим) затухающим – формула (1.19):
,
где – действительные отрицательные числа, а С1 и С2 - постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.
График этого движения МТ в зависимости от величины и знака начального отклонения х0 и направления начальной скорости имеет форму одной из кривых, изображенных на рис. 8 (или им симметричных относительно оси абсцисс).
Рис. 8
В предельном случае (n = ) движение МТ также будет неколебательным (апериодическим) затухающим – формула (1.21):
,
где С1 и С2 – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.
Картина движения МТ будет качественно такой же, как показанная на рис. 8.