1.5.4. Колебательное движение мт в среде без

сопротивления под действием возмущающей силы в случае, когда частота вынужденных колебаний не совпадает

с частотой собственных колебаний (р  )

В этом случае n = 0 и, следовательно,  = 0, а общее решение имеет вид:

, (1.27)

где ,а и  – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

В случае, когда частота возмущающей силы близка к частоте собственных колебаний, амплитуда вынужденных возрастает (рис. 5 при  = 0).

1.5.5. Колебательное движение МТ в среде без

сопротивления под действием возмущающей силы в случае, когда частота вынужденных колебаний совпадает с частотой собственных колебаний – явление резонанса (р = )

В этом случае из формулы (1.21) следует, что амплитуда вынужденных колебаний b стремится к бесконечности и частное решение х₂ необходимо искать в другом виде, так как полученная ранее система двух уравнений для определения b и  при n = 0 и p =  не имеет смысла. Найдем частное решение в виде:

.

Подставив это частное решение в уравнение

,

получим систему двух уравнений, решение которой имеет вид:

.

Следовательно, общее решение при р =  будет:

. (1.28)

В случае, когда движение МТ происходит в среде без сопротивления и частота возмущающей силы становится равной частоте собственных колебаний (p = ), амплитуда вынужденных колебаний с течением времени неограниченно возрастает (рис. 9).

Такое явление носит название резонанса (рис. 5 при  = 0).

Рис. 9

При наличии сопротивления среды максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний достигается при значениях (рис. 5 при  0) и также называется явлением резонанса. В случае малого сопротивления среды () явление резонанса наступает при значениях вынужденной частоты р, близких к собственной частоте.

Явление резонанса играет большую роль в акустике, радиотехнике и при динамическом расчете сооружений.

1.5.6. Колебательное движение мт в поле силы тяжести, в среде с сопротивлением под действием возмущающей силы

МТ массы m (рис. 10), подвешенная к пружине с коэффициентом жесткости с, находится в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости, и на нее действует вертикальная гармоническая возмущающая сила. Найти уравнение движения МТ, если известны ее начальное положение – координата х₀ и ее начальная скорость – V₀, направленная по вертикали.

ст

Рис. 10

Пусть F_у = –с –сила упругости пружины (восстанавливающая сила), где  – удлинение пружины;

–сила сопротивления среды, где – постоянный коэффициент сопротивления среды;

Н_в = H sin pt – возмущающая сила, где Н – амплитуда (наибольшее значение), а р – угловая частота возмущающей силы.

Ось х направлена вертикально вниз, а начало координат (точка О) выбрано в положении статического равновесия, для которого .

Силовая схема изображена на рис. 10.

Составим уравнение движения:

.

Учтя, что , P=c_ст, дифференциальное уравнения колебательного движения МТ примет вид:

Приведя это уравнение к каноническому виду, получим:

.

Используем уже введенные обозначения

.

Тогда дифференциальное уравнение движения примет вид:

.

Это линейное, неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, решения которого в общем и различных частных случаях представлены в пунктах 1.5.1 – 1.5.5.

Примечания.

Если колебательное движение МТ происходит на наклонной плоскости, то ось х направляется вдоль этой плоскости и все силы, действующие на МТ, проектируются на эту ось.

Если плоскость горизонтальна, то задача упрощается, так как _ст и проекция силы тяжести Р на ось х будут равны нулю.

Если МТ подвешена к нескольким пружинам разной жесткости, соединенных последовательно или параллельно, то эти пружины заменяются одной им эквивалентной пружиной.