8. Електромагнітні коливання і хвилі

Основні формули

1. Формула Томсона. Період власних коливань у контурі без активного опору (ідеальний контур):

де L – індуктивність контуру; C – його електроємність.

2. Зв'язок довжини електромагнітної хвилі з періодом Т і частотою ν коливань

дес – швидкість електромагнітних хвиль у вакуумі (с = 3·10⁸ м/с), ν – частота коливань.

3. Швидкість електромагнітних хвиль у середовищі

деε – діелектрична проникність;

μ – магнітна проникність середовища.

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Коливальний контур, що складається з повітряного конденсатора з двома пластинами площею S = 100 см² кожна і котушки з індуктивністю L = 1 мкГн, резонує на довжину хвилі довжиною λ = 10 м. Визначити відстань d між пластинами конденсатора.

Розв’язання

Дано: S = 100см² L = 1мкГн λ = 10м d -?

Відстань між пластинами конденсатора можна знайти з формули ємності плоского конденсатора С = εоεS/d, де ε – діелектрична проникність середовища, що заповнює конденсатор, звідси d = εεоS/C. (1) З формули Томсона, що визначає період коливань в

електричному контурі знаходимо електроємність

С = Т²/(4π²L). (2)

Невідомий період коливань Т можна визначити, знаючи довжину хвилі λ, на яку резонує

контур. Із співвідношення λ = сТ, де с = 3·10⁸м/с, маємо Т = λ /с.

Підставимо вираз періоду Т в формулу (2), а потім електроємності С в формулу (1), одержимо

Зробивши обчислення, знайдемо d = 3,14мм.

Задача 2. Коливальний контур складається з котушки з індуктивністю L = 1,2 мГн і конденсатора змінної ємності від С₁ = 12 пф до С₂ = 80 пф. Визначити діапазон довжин електромагнітних хвиль, на який розрахований контур. Активний опір контуру прийняти рівним нулю.

Розв’язання

Дано: L = 1,2мГн С1 = 12пф С2 = 80пф R = 0 С = 3·10^8 м/с λ1 -? λ2 -?

Довжина електромагнітної хвилі, що може викликати резонанс у коливальному контурі, зв'язана з періодом Т коливань контуру співвідношенням λ = сТ. (1) Період коливань, у свою чергу, зв'язаний з індуктивністю L котушки й електроємністю С конденсатора коливального контуру формулою

Звідси (2)

Відповідно до умови задачі, індуктивність контуру незмінна, а електроємність може змінюватися в межах від С₁ до С₂. Цим значенням електроємності відповідають довжини хвиль λ₁ і λ₂, що визначають діапазон довжин хвиль, що можуть викликати резонанс. Після обчислень по формулі (2) одержимо:

λ₁ = 226м; λ₂ = 585м.

Задача 3. Період коливання контуру, що складається з конденсатора С і котушки з індуктивністю L = 4,7 Гн, дорівнює Т_о = 10^-6 _С. Амплітуда напруги на конденсаторі U_о = 300 В. Визначити енергію коливання в контурі й амплітудне значення сили струму в контурі. Омічним опором контуру знехтувати.

Розв’язання

Дано: L = 4,7 Гн То = 10^-6С	Енергії електричного і магнітного полів при вільних власних коливаннях в ідеальному контурі – величини, змінні в часі. Повна ж енергія, дорівнює максимальній
Uо = 300 В W -? Iо -?	енергії електричного поля або максимальній енергії магнітного поля, – величина постійна.

Енергія електричного поля (1)

Для знаходження W потрібно визначити ємність конденсатора.

Знайдемо її з формули Томсона: звідси

С = Т_о²/4π²L. (2)

Підставивши (2) у (1), одержимо

Обчислення:

Перевірка розмірності

Для знаходження амплітудного значення сили струму використовуємо формулу енергії магнітного поля звідси

Обчислення:

Перевірка розмірності: