- •Незатухающие гармонические колебания.
- •Затухающие гармонические колебания.
- •Энергия колебательного движения.
- •5. Вынужденные колебания.
- •6. Сложение гармонических колебаний одинакового направления.
- •7. Сложное колебание и его гармонический спектр.
- •Лекция №6 механические волны. Акустика.
- •1. Механические волны. Уравнение волны. Волновое уравнение.
- •2. Энергия волны. Вектор Умова.
- •3. Эффект Доплера.
- •4. Природа звука. Физические характеристики звуковых волн.
- •5. Распространение звуковых волн в среде. Волновое сопротивление.
Энергия колебательного движения.
В общем виде кинетическая энергия выражается формулой: . Для колебательного движения её можно вычислить, используя формулу:,
.
Потенциальную энергию колебательного движения найдём, исходя из общей формулы для потенциальной энергии при упругой деформации . Тогда.
Складывая кинетическую и потенциальную энергии, получим полную механическую энергию колеблющейся материальной точки:
,
т.е. в отсутствии сил трения полная механическая энергия системы не изменяется (величиныm, ω0, A – являются постоянными).
Графическая зависимость кинетической, потенциальной и полной энергии колеблющейся системы от времени показана на рис.5.
5. Вынужденные колебания.
Свободное колебательное движение механической системы всегда является затухающим в силу наличия трения. Для того ,чтобы система совершала незатухающие колебания, необходимо восполнить извне потери энергии на трение. Для этого необходимо воздействовать на систему внешней периодически изменяющейся силой: . Внешняя сила, обеспечивающая незатухающие колебания, называется вынуждающей силой, а вынужденными колебаниями называются такие колебания, которые возникают в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону. Дифференциальное уравнение колебания будет иметь следующий вид:
, или ,
где ;x – смещение материальной точки в установившихся вынужденных колебаниях: , где
.
Из формулы смещения видно:
установившиеся вынужденные колебания, происходящие под воздействием гармонически изменяющейся вынуждающей силы, также являются гармоническими;
частота вынужденного колебания совпадает с частотой вынуждающей силы;
вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно вынуждающей силы.
Из выражения для амплитуды следует, что она прямопропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от β, ω0, ωВ. Если ω0 и β вполне определённые величины, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определённой частоте вынуждающей силы. Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колеблющегося тела называется резонансом. Происходящие при этом колебания – резонансными, а их частота ωрез – резонансной частотой колебаний.
Резонансную круговую частоту можно найти, если найти максимум знаменателя в выражении для амплитуды: . Тогда, подставив это выражение в формулу для амплитуды вместо ωВ, получим: .
Графически зависимость амплитудыA вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис.6 (β1>β2>β3). Степень нарастания амплитуды, или острота кривой резонанса, зависит от коэффициента β, чем он меньше тем острее резонанс. При β=0, ωрез= ω0, т.е. резонанс в системе без затухания наступает, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний.
Резонанс в одних случаях бывает полезным, т.к. при этом действием незначительной возбуждающей силы можно вызвать колебания с относительно большой амплитудой. Вредное действие резонанса связано с разрушениями, которые он может вызвать.
Отдельные органы человека имеют также собственную частоту. Если бы коэффициент затухания внутренних органов был невелик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешней вибрации или звуковых колебаний, могли бы привести к нежелательным явлениям, обусловленным повреждением этих органов. Однако, такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, т.к. β биологических систем является большим по величине. И тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний имеют место в биологических системах. В этом, очевидно, заключается одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибрации на организм человека. Например, резонансные колебания головы человека при частотах 8-27 Гц могут стать причиной уменьшения остроты зрения.