2. Функция двух случайных аргументов

При рассмотрении данного раздела в основном будем следовать книге [Письм. гл.4].

Для успешного решения ряда практических задач нужно знать закон распределения (или числовые характеристики) следующих случайных величин:и других.

Приведём общее определение функции для двух случайных величин.

Каждой паре с.в. ;по заданному правилу, ставим в соответствие вполне определённое значение с.в.тоназывается функциейдвух случайных аргументов и, и обозначают в виде:.

Рассмотрим закон распределения с.в. , наиболее часто встречающийся на практике. Пусть система двух непрерывных с.в.имеет совместную плотность распределения. Тогда в соответствии со свойствами плотности двумерной с.в.

(см.11.6. равенство (11)) найдём функцию распределения с.в. .

.

Здесь множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству

(см.47.)

Рис. 47.(Письм)

Следовательно, имеем

.

Дифференцируя полученное равенство по переменной , входящей в верхний предел внутреннего интеграла, получаем выражение для плотности распределения с.в.:

(6).

Если с.в. иявляютсянезависимыми, то согласно равенству, то из (6) получим

(7).

Закон распределения суммы независимых с.в. называется композициейилисвёрткойзаконов распределения слагаемых. Для них принято специальное обозначение: ,

где знак свёртки, а формул (7) называют формулой свёртки или формулой композиции двух распределений. В равенстве (6) записавв виде, можно получить и другое представление для, а именно

,

и для независимых случайных величин иформулу (7) можно переписать в виде

(8) .

Аналогично решаются задачи нахождения законов распределения с.в. и других. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 4. Независимые с.в.ираспределены равномернои. Найти плотность распределения вероятностей с.в.(рис. 50)

Рис.50

Решение.По условию система случайных величин равномерно распределена в прямоугольнике , следовательно,

По условию с.в.иявляются независимыми, то, и

где площадь областичасти прямоугольника, лежащей ниже прямой: т.е.

1. если то

2. если , то(так как);

3. если , то

4. если , то

5. если , то.

Итак,

Проверим контроль:

.

Полученную плотность распределения можно найти другим способом, используя формулу (7), т.е. на основании равенства

.

Имеем

.

Функция под знаком интеграла отлична от нуля лишь в случаях

(9)

Решение системы зависит от значения .

1. Если то система не имеет решений, так как отрезкиине пересекаются. Следовательно,и

2. Если то система (9) эквивалентна неравенству, поэтому

3. Если то система (9) эквивалентна неравенству, поэтому

4. Если то система (9) эквивалентна неравенству, поэтому

5. Если то система (9) не имеет решений, поэтому

Таким образом, на основании 1.-5. получим

Задание. Изобразите на отрезках прямых линий (на разных параллельных линиях) интервалы изменения переменных изаштриховывая их в каждом из пяти случае.

Пример 5. Совместное распределение с.в. изадано плотностью распределения вероятностей

(10)

Найти функцию распределения и с помощью дифференцирования плотность распределения вероятностей с.в. .

Решение. Сначала найдём функцию распределения с.в., а затем вычислим её производную. В соответствии с формулой (11) пункта 11.6 имеем

гдевыражает множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству,

т.е. (эти точки находятся выше прямой), гдепроизвольное число. Ясно, что если, то; так как по условию примера вне единичного квадрата.

Область интегрирования приизображена на рис. 48, прина рис. 49.

Рис. 48 ; рис.49.(Письменный)

При имеем

При имеем

После стандартных подсчётов и упрощений окончательно получим

Остаётся случай , имеем

Таким образом, для функции распределения с.в. получим

Следовательно,

Проверим контроль.

Упражнение. На основании условии (10) примера 5 найти функции и плотности распределения вероятностей случайных величин:

1. ,2. .

Пример 6. Пусть инезависимые случайные величины, при этоми. Найти закон распределения с.в..

Решение. На основании формулы (7) получим

На основании интеграла Пуассона получим

Следовательно, сумма двух независимых нормальных с.в.иc числовыми характеристиками:имеет нормальное распределение с математическим ожиданием