Тема 15. Распределение функций нормальных

случайных величин

Рассмотрим распределение некоторых случайных величин, представленные функцией нормально распределённых с.в., часто используемые в математической статистике.

1. Распределение « хи-квадрат или

распределения Пирсона»

Пусть независимые случайные величины, распределённые по нормальному закону, при этом предполагается, что математическое ожидание и дисперсия каждого из них равны:.

Распределением сстепенями свободы называется распределение суммы

Плотность вероятности с.в.зависит только от числа слагаемых. Например, если, тогдеа плотность распределения равна

Плотность вероятности с.в.приопределяется равенствами

(1)

где гамма - функция Эйлера,, в частности,

С возрастанием числа - степени свободы распределениеприближается к нормальному закону распределения (прираспределениепрактически не отличается от нормального распределения), причём выполняются равенства:

(2)

На практике, как правило, используют не плотность вероятности, а квантили (Т.8.) распределения .

Квантилю распределения, соответствующей уровню значимости, называется такое значение,при котором выполняется равенство

(3) .

С геометрической точки зрения нахождение квантили заключается в выборе такого значения, чтобы площадь заштрихованной области на рис.56 фигуры была равна.

x

Рис. 56 стр 159 Письмен…

Значения квантилей приводятся в специальных таблицах- приложениях (Письмен…стр.286, приложение 3.).

Для стандартного нормального распределения квантили уровня обозначаются черезпри этомявляется решением интегрального уравнения

(4)

Следует заметить, что распределениеопределяется одним параметром – числом степеней свободыи с увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному закону. Распределениетак же называют критерием согласияПирсона[с.м.книгу ТВ.и МС. А. А. Белов, Баллод, …]. Оно позволяет проверить статистических гипотез о распределении вероятностей случайной величины.

2. Распределение Стьюдента

Пусть - стандартная нормальная случайная величина, независящая отраспределения, анезависимая отслучайная величина, распределённая по закону

Распределением Стьюдента (или распределением) с степенями свободы называется распределение случайной величины

(5) .

«Стьюдент-псевдоним английского статистика В. Госсета».

Плотность вероятности Стьюдента имеет вид

(6)

При распределение Стьюдента приближается (начиная уже спочти совпадает) к нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией:

(7) .

На практике используют квантили распределения. Это такое значениечто

(8)

С геометрической точки зрения задача нахождение квантилей заключается в выборе такого значения , чтобы площадь заштрихованной фигуры на рис. 57 была равна

Рис.57, сир 160.

Мы ещё вернёмся к этому распределению в разделе Математической статистики …