- •§9. Основные законы распределения.
- •1. Биномиальный закон распределения.
- •2. Закон распределения Пуассона.
- •3. Геометрическое распределение.
- •4. Гипергеометрическое распределение.
- •5. Равномерный закон распределения.
- •6. Показательный (экспоненциальный) закон распределения.
- •7. Нормальный закон распределения.
- •8. Логарифмически – нормальное распределение.
- •9. Распределение Хи – квадрат.
- •10. Распределение Стьюдента.
- •§10. Закон больших чисел и предельные теоремы.
- •1. Неравенство Маркова (лемма Чебышева).
- •2. Теорема Чебышева.
- •§11. Система двух случайных величин.
- •1. Понятие о системе нескольких случайных величин.
- •2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.
- •3. Функция распределения двумерной случайной величины.
- •4. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности).
- •5. Условные характеристики системы непрерывных случайных величин.
§9. Основные законы распределения.
В данном параграфе рассмотрим основные законы распределения случайных величин, используемых для построения теоретико-вероятностных моделей реальных социально-экономических явлений.
1. Биномиальный закон распределения.
Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределенияс параметрамиnиp, если она принимает значения 0, 1, 2, …,m, …,nс вероятностями(47)
где 0 < p< 1,q= 1 –p. Биномиальный закон представляет собой закон распределения числа Х =mнаступлений события А вnнезависимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р. Ряд распределения биномиального закона имеет вид:
xi |
0 |
1 |
2 |
… |
m |
… |
n |
pi |
qn |
… |
… |
pn |
Теорема.Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону,M(X) = np, а ее дисперсияD(X) = npq(48)
Следствие.Математическое ожидание частостисобытия вnнезависимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностьюp, равно р, т.е., а ее дисперсия(49)
Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, при моделировании цен активов, в теории стрельбы и в других областях.
2. Закон распределения Пуассона.
Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассонас параметром, если она принимает значения 0, 1, 2, …,m, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями(50)
Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:
xi |
0 |
1 |
2 |
… |
m |
… |
pi |
… |
… |
Теорема.Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру, т.е.M(X) = ,а ее дисперсияD(X) = (51)
При ,закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как вероятность р мала, то закон распределения Пуассона называют еще законом редких явлений.
по закону Пуассона распределены, например, число рождения четверней, число сбоев на автоматной линии, число отказов сложной системы в «нормальном режиме», число «требований на обслуживание», поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания, и др.
3. Геометрическое распределение.
Дискретная случайная величина Х = mимеетгеометрическое распределениес параметром р, если она принимает значения 1, 2, …,m, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностямиР(Х = m) = рqm-1(52), где 0 <p< 1,q= 1 –p.
Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:
xi |
1 |
2 |
3 |
… |
m |
… |
pi |
р |
pq |
pq2 |
… |
pqm – 1 |
… |
Можно видеть, что вероятности piобразуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателемq(отсюда название «геометрическое распределение»).
Случайная величина X=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой числоmиспытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью р наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.
Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение с параметром р, равно:, а ее дисперсия(52)гдеq= 1 – р.