Математика Шумаев В В

5.12.а)

б)

в)

5.13.а)

б)

в)

5.14.а)

б)

в)

5.15.а)

б)

в)

5.16.а)

б)

в)

5.17.а)

б)

4x

cos 2x2 dx;

x ln xdx;

х2

(х 2)2 (х 4)2 dx;

ecos x sin xdx;

xn ln xdx;

	5х 2
			dx;
	х(х2 х 6)
	4x6
		dx;
	3x7 20

x cos x dx; sin 3 x

8х 4

х(2х2 3х 5) dx;

lnx2 x dx;

arcsin x dx;

6х 1

(2 х)( 4х2 2х 2) dx;

6x4 cos 3x5dx;

e2x sin 2 x dx;

5х 1

(х 9)( 4х2 2х 2) dx;

7 ln x dx; x

earcsin xdx;

80

г)

д)

г)

д)

г)

д)

г)

д)

г)

д)

г)

д)

sin 3 8x cos2 8x dx;

dx

cos 2x - sin 2x 2.

ctg4 x dx;

dx

2 3 cos х2 .

cos2 5x dx;

dx

1 - cos x.

sin 3 2x cos3 2x dx;

dx

1 cos x - sin x .

sin x cos2 x dx;

dx

8cos x 5sin x 2.

sin 2x cos2 2x dx;

dx

2cos x 2.

в)

5.18.а)

б)

в)

5.19.а)

б)

в)

5.20.а)

б)

в)

5.21.а)

б)

в)

5.22.а)

б)

в)

5.23.а)

2х 7

х( 2х2 2) dx;

3x2x2 12dx;

3x arcsin xdx;

х

(х 5)(х2 2х 1) dx;

6x5 sin(18x6			9)dx;
x2 e xdx;
		х 6
				dx;
	(10 х)( х2		2х 15)
	4x
		dx;
	9x2 8

x2 sin xdx;

х7

(2 5х)( 3х2 х 2) dx;

				x					dx;
		cos	2		3x			2
cos (ln x)dx;
		5х 1
										dx;
	х2 6х 3
		2x2					dx;
		sin 8x				3
		ln x		dx;
		2
		2x
		х2 х 1
											dx;
	х(х2 х 6)

4x

cos 2x2 dx;

81

г)

д)

г)

д)

г)

д)

г)

д)

г)

д)

г)

sin 2 8x cos8x dx;

dx

8 5sin x .

sin 2 x cos2 x dx;

dx

8cos x 5sin x 2.

cos4 6x dx;

dx

3sin x 6.

sin 3 2x dx;

dx

3 sin 5x.

sin 2 2x dx;

cos 3x 2 sin 3x.

sin 3 8x cos2 8x dx;dx

б)

в)

				д)		dx
	x ln xdx;
							.
						cos 2x - sin 2x 2
		х2
			dx;
(х 2)2 (х 4)2

5.24.

а)

ecos x sin xdx;

г)

ctg4 x dx;

б)

xn ln xdx;

д)

dx

.

2 3 cos

х

2

в)

5х 2

dx;

х(х2 х 6)

5.25.

а)

4x6

г)

cos2 5x dx;

dx;

3x7 20

б)

x cos x

д)

dx

dx;

.

sin 3 x

1- cos x

в)

8х 4

dx;

х(2х2 3х 5)

6. Вычислить несобственные интеграл или установить его расходимость:

6.1.																			6.14.					dx
	x e 2 xdx ;																													;
																							х2 6х 3
	0
6.2.	1					dx													6.15.	5				х
													;															dx;
6.3.	0 х 1													;					6.16.	2				х2 4
									dx															х				dx;
	0																			2
	1							х 1												0				х2 4
6.4.	е																		6.17.
				ln					x		dx ;									х3е х2 dx;
	0								x											0
6.5.	0								dx										6.18.	3				dx
	3																;			1					;
					х 3 2																х 1 2
6.6.												х							6.19.
																		dx;		хе хdx ;
							х2							36
																				0
	0
																			82

6.7.	е					dx
										;
				х ln x
	0
6.8.						3х				2
														dx ;
						х3 13
	0
6.9.	1					dx
												dx;
					х					2
	0							1
6.10.								х
																dx;
							х2
	0												1
6.11.								х
																dx;
							х2
	0												1
6.12.	1						dx
																		;
			2
									3 х
	0
6.13.											2
	6х4е х												dx ;
	0

6.20.	1
						х
								dx ;
				х 1
	1
6.21.	1				dx
										;
		1
								х
	0
6.22.
	ln 2 x dx ;
	1
6.23.
	х ln xdx .
	0
6.24.	3					х
													dx ;
					х2				9
	2
6.25.	8					х
													dx ;
					х2				4
	2

7. В задачах сделать чертёж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

	7.1.	у	1			(х 1)2 ,	2х у 2 0;
				3
	7.2.	у х3, у
							х ;
	7.3.	у	5			, у 6 х;
				х
	7.4.	у		1		х2 , у 4х;
			2
	7.5.	у х2 4х 1,							у х 1;
	7.6.	у		1		(х 2)2 , 2х у 4 0;
			3
	7.7.	у	1			х2 , у2 4х;
			4
	7.8.	у 2х х2 , у х;
	7.9.	у х2 6х 7,							у х 1;
	7.10.	у х2 6х 5,							у х 5;
									83

7.11.	у х2 4х 4, у х;
7.12.	у			1							(х 3)2 , 2х у 6 0;
	3
7.13.	у х2											6х 7, у х 7;
7.14.	у 3х2											1,	у 3х 7;
7.15.	у х2											1,	у х 1;
7.16.	у		1								(х 4)2 , 2х у 8 0;
	3
7.17.	у х2											6х 5, у х 1;
7.18.	у				6						,	у 7 х;
						х
7.19.	у х2 2,												у 4 х2 ;
7.20.	у					1				(х 5)2 , 2х у 10 0.
	3
7.21.	ó õ2 4õ 3,													ó 2õ;
7.22.	ó	1								(õ 4)2 ,				2õ ó 8 0;
	4
7.23.	у 2х2 6х 6, у х 8;
7.24.	у 4х2											2,	у 4х 8;
7.25.	у 2х2 4, у 2х 4;

8. В задачах сделать чертёж и вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:

8. 1. у2 х, у х2 ;

8.2.ух 4, х 1, х 4, у 0;

8.3.

у sin x (одна полуволна),

у 0;

8.4.у х2 1, у 3х 1;

8.5.у 4х х2 , х 0, х 3, у 0;

8.6.у 3х2 , 2х у 5 0;

8.7.у 2х2 , 2х 2 у 3 0;

8.8.	у	х	2	, 3х 2 у 3 0;
		2
8.9.	у 3х2 , х у 4 0;

84

8.10.у 4х2 , 2х у 2 0;

8.11.у 2х2 , 3х у 14 0;

8.12.у 13 х2 , х у 6 0;

8.13.у 3х2 , 3х у 6 0;

8.14.у х2 , 2х у 5 0;

8.15.у 2х2 , х у 10 0;

8.16.у 12 х2 , х у 3 0;

8.17.у sin x, х 0, х , у 0;

8.18.у 8х , х 2, х 8, у 0;

8.19.х2

у 8 1, х 0, х 3, у 0;

8.20.у 4 х2 , х 2, х 3, у 0;

8.21.у 4х х2 , х 0, х 3, у 1;

8.22.у х2 , х у 10 0;

8.23.у2 х, у 2х2 ;

8.24.у 4х2 , 2х 2 у 3 0;

8.25.у 13 х2 , х у 5 0;

ЛИТЕРАТУРА

1.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление/ Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл – Пресс, 2001, т.1, 2.

2.Шипачёв, В.С. Высшая математика/ В.С. Шипачёв. – М.: Высшая школа, 2002.

3.Привалов, И.И. Аналитическая геометрия/ И.И, Привалов. – Санкт–Петербург, Москва, Краснодар: издательства Лань, 2004

4.Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике/ В.П. Минорский. – М.:ФМ, 2003.

5.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Оникс ХХI век,

2005. – Ч. 1, 2.

85

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие………………………………………………………………… 3

1 Элементы линейной алгебры……………………………………………… 4

1.1Решение ситем линейных уравнений по формулам Крамера………… 4

1.2Решение ситем линейных уравнений матричным методом………….. 6

1.3Решение ситем линейных уравнений методом Гаусса……………….. 10 2 Аналитической геометрии на плоскости……………………………….. 12

2.1Прямая на плоскости……………………………………………………. 12

2.2Кривые второго порядка……………………………………………….. 15 3 Элементы векторной алгебры……………………………………………. 19

3.1Основные сведения……………………………………………………… 19

3.2Скалярное произведение векторов……………………………….......... 20

3.3Векторное произведение векторов…………………………………….. 20

3.4Смешанное произведение векторов…………………………………… 21 4 Аналитическая геометрия в пространстве………………………………. 23 5 Введение в математический анализ……………………………………… 30

5.1Основные сведения……………………………………………………… 30

5.2Раскрытие неопределённостей…………………………………………. 31

	5.2.1 Неопределенность	0	.......….….….….….….……….…………… 31
		0

5.2.2 Неопределенность …………………………………………... 32

5.3 Замечательные пределы………………………………………………… 32

5.3.1Первый замечательный предел…………………………………. 32

5.3.2Второй замечательный предел………………………………….. 33

6. Дифференциальное исчисление функций одного

35

независимого переменного ………………………………………………… 34

6.1Основные сведения………………………………………………........... 34

6.2Методы дифференцирования…………………………………………… 34 6.2.1 Дифференцирование сложной функции…………………………….. 34 6.2.2 Производная функции, заданной параметрически…………………. 36 6.2.3 Логарифмическое дифференцирование……………………………… 36

6.3Производные высших порядков………………………………….......... 37

6.4Правило Лопиталя………………………………………………………. 38

6.5Промежутки монотонности функции и экстремумы функции…......... 39

6.6Направление выпуклости функции. Точки перегиба………………… 40

6.7Асимптоты графика функции…………………………………….......... 41

6.8Схема исследования функций и построение графика ………….......... 42 7 Неопределённый интеграл………………………………………….......... 48

7.1Общие сведения………………………………………………................. 48

7.2Методы интегрирования………………………………….……….......... 48 7.2.1 Непосредственное интегрирование 48 7.2.2 Способ замены переменных 48 7.2.3 Интегрирование по частям 50

86

7.3 Вычисление интегралов в зависимости от класса

подинтегральной функции……………………………….…………............ 51 7. 3.1 Интегрирование рациональных функций…………………………... 51

7.3.1.1Интегрирование элементарных дробей.………….………….......... 51

7.3.1.2Интегрирование рациональных функций………….…………........ 52 7.3.2 Интегрирование тригонометрических функций…………………… 53 7.3.3 Интегрирование некоторых иррациональных функций…………..... 57 8 Определенный интеграл и его приложения………………………........... 59 8.1 Общие сведения……………..………..……..………………...…............ 59 8.2 Свойства определенного интеграла………….………….……………... 59 8.3 Методы вычисления определенных интегралов…..………………….. 59 8.3.1 Формула Ньютона-Лейбница………………………………………… 59 8.3.2 .Замена переменных в определенном интеграле……………………. 60 8.3.3 Интегрирование по частям…………………………………………… 60 8.4 Приложения определенных интегралов………………………….......... 61 9 Несобственные интеграл……………………………………...………….. 64 Задание к расчётной работе №1..…………………………………………… 66 Задание к расчётной работе №2……………………………………………. 70 Литература……………………………………………………………..…… 85

87

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Василий Викторович Шумаев Тамара Геннадиевна Федина

МАТЕМАТИКА

ЧАСТЬ 1

методические указания и задания к самостоятельной работе для студентов, обучающихся по направлению

120700 – Землеустройство и кадастры, профиль «Землеустройство»

Компьютерная верстка

В.В. Шумаева

	Подписано в печать		Формат 60 84 1/16
	Бумага Гознак Print		Усл. печ. л.
	Тираж	экз.	Заказ №
			РИО ПГСХА

440014, г. Пенза, ул. Ботаническая, 30

88