Математика Шумаев В В

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА»

В.В. Шумаев, Т.Г. Федина

МАТЕМАТИКА

ЧАСТЬ 1

Пенза 2012

0

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА» Кафедра «Физика и математика»

В.В. Шумаев, Т.Г. Федина

МАТЕМАТИКА

ЧАСТЬ 1

методические указания и задания к самостоятельной работе для студентов, обучающихся по направлению

120700 – Землеустройство и кадастры, профиль «Землеустройство»

Пенза 2012 1

УДК 51(075) ББК 22.11(я7)

Ш 96

Рецензент – старший преподаватель кафедры физики и математики А.И. Бобылев.

Печатается по решению методической комиссии агрономического факультета от 29 октября 2012 г., протокол № 5.

Шумаев, В.В.

Ш96 Математика: методические указания и задания к самостоятельной работе. Часть 1 / В.В. Шумаев, Т.Г.Федина. – Пенза: РИО ПГСХА, 2012. – 87 с.

Методические указания к самостоятельной работе предназначены для студентов первого курса агрономического факультета обучающихся по направлению подготовки 120700 - Землеустройство и кадастры, профиль «Землеустройство». Пособие состоит из девяти разделов по несколько тем, содержит задание к расчётнографическим работам №1 и № 2. По каждой теме подобраны стандартные задачи с учетом профиля сельскохозяйственного вуза.

Методические указания и задания к самостоятельной работе для студентов, обучающихся по направлению 120700 – Землеустройство и кадастры, профиль «Землеустройство» необходимы для оказания помощи студентам очной формы обучения при подготовке к контрольным работам, тестам, зачетам и экзаменам в качестве дополнительного пособия. Содержат краткие теоретические сведения с примерами, задачи с подробными решениями, по соответствующим разделам даны задания к расчётным работам в двадцати пяти вариантах.

© ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА», 2012

© В.В. Шумаев, Т.Г. Федина, 2012

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математика является одним из важнейших элементов в образовании современного инженера. В высших учебных заведениях студентам постоянно приходится пользоваться высшей математикой, так как такие предметы, как физика, землеустройство, механика, информатика и другие, широко применяют методы математики.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: общекультурные ОК-10 (студент использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования; профессиональные ПК-10 (студент способен использовать знание современных автоматизированных технологий сбора, систематизации, обработки и учета информации о земельных участках и объектах недвижимости).

Студент должен:

-знать основные понятия и методы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики. Обладать базовыми знаниями в области фундаментальных разделов математики в объеме, необходимом для владения математическим аппаратом землеустроительных наук, для обработки информации и анализа данных

вобластях землеустройства и кадастра недвижимости.

-уметь использовать в профессиональной деятельности базовые знания в области математики - моделировать процессы в области землеустройста и кадастра недвижимости, рассчитывать параметры моделей; анализировать массивы нормативных, статистических и других данных, проводить их статистическую обработку.

-владеть принципами математических рассуждений и математических доказательств, методами математического моделирования и анализа.

Настоящие методические указания и задания к самостоятельной работе для студентов, обучающихся по направлению 120700 – Землеустройство и кадастры, профиль «Землеустройство» написаны в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению 120700 – Землеустройство и кадастры.

3

1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Система имеет вид:

Числа и т.д называются элементами определителя. Решить систему уравнений, значит найти совокупность чисел х,

у, z которые после подстановки в систему обращают её в тождество.

Диагональ, образованная	элементами	называется
главной, элементами	- побочной.

Для вычисления определителей третьего порядка используется правило треугольников:

Определитель третьего порядка будет находится из равенства:

a11 a12 a13= a21 a22 a23 a31 a32 a33

Дополнительные определители третьего порядка будут получаться путем замены j- го столбца в определителе столбцом свободных членов:

,

Для нахождения неизвестных х, у и z можно воспользоваться формулами Крамера (швейцарский математик (1704-1752))

При решении системы трёх уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера возможны три случая:

а) определитель системы не равен , система имеет единственное решение;

4

б) определитель системы равен				, при этом один из опреде-
лителей	, ,	не равен нулю, а система не имеет решений;
в)	,	,	,	- система сводится к одному

уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Минором какого либо элемента называется определитель, получаемый из данного определителя вычёркиванием той строки и того столбца, на пересечение которых стоит элемент.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)р, где р - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения.

Пример 1.1. Решить систему уравнений по формулам Крамера.

3x 4 y 2z 55x 6 y 4z 34x 5 y 3z 1

Решение. Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных и вычислим по правилу треугольников:

	3	4	2
=	5	6	4	= –6·3·3+4·(–4)·(–4)+5·5·2–2·(–6)·(–4)–5·4·3–
	4	5	3

–3·(–4)·5= –54+64+50–48–60+60=12

Поскольку ≠0, система имеет единственное решение. Для нахождения неизвестных воспользуемся формулами Крамера.

x = х/; у = у/ ; z= z/ .

Составим дополнительные определители системы;

	5	4	2
х =	3	6	4	5 ( 6) 3 4 ( 4) 1 ( 3) 5 2 1 ( 6) 2
	1	5	3

( 3) 4 3 5 ( 4) 5 90 16 30 12 36 100 12

5

			3	5	2
у =			5	3	4		3 ( 3) 3 5 ( 4) ( 4) 5 1 2 ( 4) ( 3) 2
			4	1	3
1 ( 4) 3 5 3 5 27 80 10 24 12 75 24
		3		4	5
z =		5		6	3	3 ( 6) 1 4 ( 4) ( 3) 5 5 5 ( 4) ( 6) 5
	4			5	1

5 ( 3) 3 5 4 1 18 48 125 120 45 20 60

Подставим полученные значения в формулы Крамера:

	х	12		1;	у	24	2;	z	60		5;
		12				12			12

Ответ: х=1, у=–2, z=5

1.2 Решение систем линейных уравнений матричным методом

Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы и обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

	a11		a12	...	a1n
	a21		a22	...	a2n
	А =	...	... ... ...
			am3	...
	am1				am n

Основные действия над матрицами.

Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Матрица вида:

	1	0	...	0
	0	1	...	0
						= E - называется единичной матрицей.
	... ... ... ...
	0	0	...	1

6

		a11		0 ...	0
			0	a22 ...	0
	Квадратная матрица вида						называется диаго-
		...		... ...	0
			0	0 ...
					ann

нальной матрицей.

Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц:

cij = aij bij.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

a11	a12	...	a1n
a21	a22	...	a2n
A			...
...	...	...
	am2	...
am1			am n

Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A B = C;

n

сij aik bkj . k 1

Операция умножения матриц определена только для матриц,

число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Матрицу В называют транспонированной к матрице А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

а11

a12

...

a1n

a11

a21

...

am1

a21

a22

...

a2n

Т

a12

a22

...

am2

А =

...

... ... ...

;

В = А

=

... ... ... ...

.

am2

...

a2n

...

am1

am n

a1n

am n

Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа,

так и слева получается единичная матрица, т.е.

А-1·А = А·А-1 = Е

7

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Пусть дана система уравнений:

a11x1 a12 x2 ...						a1n xn b1
						a2n xn b2
a21x1 a22 x2
...............................................
a	x a	n2	x	2	...	a	nn	x	n	b
	n1 1									n

a11

Составим матрицы: A = a21

...

an1

b1 B = b2 ;

...bn

a12 a22

...

an2

... a1n

... a2n ;

... ...

... a

nn

x1 X = x2 .

...xn

Систему уравнений можно записать:

A X = B.

Сделаем следующее преобразование: A-1A X = A-1B, т.к. А-1 А = Е, то Е Х = А-1 В

Х = А-1 В Пример 1.2. Решить систему уравнений матричным методом:

х1 2х2 х3 1,2х1 3х2 х3 8,

х1 х2 2х3 1.

Решение. Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных х1, х2 , х3 ; Н – матрицу-

столбец свободных членов:

1		2	1		х1				1
А	2	3	1 ,		Х	х2	,	Н	8	.
	1	1	2			х			1
						3

С учетом этих обозначений данная система уравнений принима-

ет матричную форму:

А Х Н . 8

Для нахождения решения системы уравнений необходимо вы-

числить обратную матрицу А 1.

Пусть имеем невырожденную матрицу

А11

А12

А13

а11

а12

а13

. Тогда А 1

А21

А22

А23

А

а21

а22

а23

,

а31

а32

А А

А

а33

31

32

33

где Аij (i 1,2,3; j 1,2,3) – алгебраическое дополнение элемента aij . Вычислим определитель и алгебраические дополнения Аij

элементов матрицы А.
		2	1
	1
	2	3	1	10 0 – следовательно матрица А имеет обратную
	1	1	2

матрицу А 1.
А				1 1													1							5,							А					1 2							2 1							5,
											3
	( 1)																																	( 1)
11											1						2															12											1					2
А				1 3													3					5,									А				( 1)		2 1								2 1							3,
												2
	( 1)
13												1					1															21													1			2
																	1																						1						2
А	( 1)2 2														1					1, А												( 1)2 3																1,
22															1		2													23									1						1
А	( 1)3 1												2				1								1,								А			( 1)3 2											1			1				3,
31													3						1													32															2	1
																	2
А	( 1)3 3													1										7.
33														2			3
						5										3											1
																																			5										1
				10												10											10											3
Тогда А	1					5										1											3					1				5		1					3
																																																.
						10										10								10								10
																																				5		1					7
							5										1										7
						10																		10
																10
																																9