3. Производная функции в точке. Правила, дифференцирования.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

4.Производная сложной и обратной функции.

Пусть теперь задана сложная функция , т.е. переменная  есть функция переменной , а переменная  есть, в свою очередь, функция от независимой переменной .

Теорема. Если  и   дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция  является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной:

.

Утверждение легко получается из очевидного равенства  (справедливого при  и ) предельным переходом при  (что в силу непрерывности дифференцируемой функции влечет ).

Перейдем к рассмотрению производной обратной функции.

Пусть на множестве  дифференцируемая функция   имеет множество значений  и на множестве  существует обратная функция .

Теорема. Если в точке  производная , то производная обратной функции  в точке  существует и равна обратной величине производной данной функции: , или

.

Эта формула легко получается из геометрических соображений.

Так как  есть тангенс угла наклона касательной линии  к оси , то  есть тангенс угла наклона той же касательной (той же линии ) в той же точке  к оси . 

Если  и  острые, то , а если тупые, то .

В обоих случаях . Этому равенству и равносильно равенство

.

 

5.Геометрический и физический смысл производной.

1) Физический смысл производной. 

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная– скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке.  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная– скорость в момент времени.  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то– скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени.

2) Геометрический смысл производной.

Пусть – некоторая кривая,– точка на кривой.

Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой в точкеназывается предельное положение секущей,  если точкастремится к,  двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная

Рассмотрим кривую y = f(x)  (т.е. график функции  y = f(x)).  Пусть в точке он имеет невертикальную касательную.  Ее уравнение:(уравнение прямой, проходящей через точкуи имеющую угловой коэффициент  k).

По определению углового коэффициента , где– угол наклона прямойк оси.

Пусть– угол наклона секущейк оси,  где. Так как– касательная, то при

⇒⇒.

Следовательно,

.

Таким образом, получили, что– угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке(геометрический смысл производной функции в точке).  Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точкеможно записать в виде