2.3 Типовые примеры

1. В цилиндрическом конденсаторе с воздушной изо­ляцией вокруг внутреннего электрода радиусом r₀ располагается заряд короны с объемной плотностью К/см³. Наружный радиус короны r₁ (рис. 2.1). Радиус наружного электрода r₂. Потенциал внутреннего электрода , потенциал наружного электрода[2].

Вывести формулу для определения в пространстве, занятом объем­ными зарядами (назовем его областью I), и в пространстве, не занятом свободными зарядами (область II).

Рисунок 2.1

Решение.

В области I:

.

Двукратное интегрирование по r дает

.

В области II:

и.

Составим четыре уравнения для определения четырех постоянных интегрирования (С₁, С₂, C₃, C₄).

При r = r ₀ ; поэтому . (а)

При r = r ₁ ; следовательно,

.(б)

При r = r ₂ ; тогда. (в)

При r = r ₁ равны нормальные составляющие вектора электри­ческого смещения D:

или. (г)

Совместное решение уравнений (а), (б), (в), (г), которое опущено, дает

.

Далее определяем С₃из уравнения (г), С₄из (в) и С₂из (а).

2. Определить частичные емкости на один метр длины двухпроводной линии. Геометрические размеры (в метрах) смотреть на рисунке 2.2. Радиусы проводов 6 мм [2].

Рисунок 2.2

Решение.

В соответствии с формулами:

,.

Отсюда

.

Здесь

.

Таким образом,

Следовательно, для двухпроводной линии:

Аналогичным путем найдем:

Найдем:

м/Ф,

м/Ф,

м/Ф,

м²/Ф²,

Ф/м,

Ф/м,

Ф/м.

2.4 Контрольные задания 1

1Расчет электростатического поля объемного заряда

1. Цель работы.

Усвоение методики расчета распределения напряженности и потенци­ала с помощью теоремы Гаусса.

2.Условие задачи.

Полый шар (цилиндр) выполнен из диэлектрика (рис.2.3), в котором равномерно распределен положительный заряд с объемной плотностью ρ. Абсолютная диэлектрическая проницаемость диэлектрика εε₀, внутренней полости и внешней среды - ε₀. Найти и построить графики зависимости напряженности Е и потенциалаφот расстоянияxдо центра шара или до оси цилиндра.

Примечания: 1. Цилиндр считать бесконечно длинным.

2. Принять φ= 0 приx=x₀=mR₁.

3. R₂ =nR₁.

Рисунок 2.3

Исходные данные выбирайте из таблицы 2.1 по буквам своей фами­лии. Для этого необходимо пронумеровать буквы фамилии. По 1-й букве определяется тип заряженного тела - шар или цилиндр. По следующим бук­вам - значения исходных величин. Если фамилия состоит менее, чем из шести букв, то недостающие берутся из имени.

Таблица 2.1 – Исходные данные для расчета поля

		АБВ ГДЕ	ЖЗИ ЙКЛ	МНО ПРС	ТУФ ХЦШ	ЩЬЫ ЭЮЯ	№ букв Ф.И.О.
Шар (Ш) или цилиндр (Ц)		Ш	Ц	Ш	Ц	Ш	1
R1	см	8	10	12	14	16	2
m	-	1,25	1,5	1,75	2	2,5	3
n	-	2,2	2,4	1,6	1,8	2,0	4
ε	-	1,5	2	2,5	3	4	5
ρ		0,75	1,0	1,25	1,5	2,0	6

3. Методические указания.

1. Изучить материал [2, §§19.1 - 19.14 и 19.26] или же [3, §§15.1 - 15.14 и 15.26].

2. Приняв в качестве исходного выражения теорему Гаусса в интегра­льной форме , вывести расчетные формулыE(x) и φ(x), представленные в таблице 2.2.

3. Определить поcтоянные интегрирования C_I, C_II и C_III в выражениях φ(x). Для этого необходимо использовать заданное в условии задачи граничное условие (координату точки с нулевым потенциалом), а также свойство поля, состоящее в том, что при переходе поля из одной сре­ды в другую потенциал скачком не меняется. Напряженность E на границе двух сред может применяться скачком. См: [2, §§19.20 - 19.23] или [3, §§15.20 - 15.23].

4. Рассчитать и построить графики E(x) и φ(x), пользуясь формулами из таблицы 2.2. При этом необходимо задаться четырьмя значениями x во второй области и четырьмя - в третьей. На границах разде­ла сред Е и φ вычислить дважды: по формулам одной и другой области.

4. Оформление работы.

4.1. Работу оформить c соблюдением требований оформления расчетно-графических работ.

2. В работе должны быть представлены:

4.2.1.Чертеж заряженного тела, выполненный в масштабе по данным своего варианта.

4.2.2. Вывод формул помещенных в таблице 2.2.

4.2.3. Таблица значений Е и φ при различных x.

4.2.4. Графики E(x) и φ(x), совмещенные с чертежом заряженного тела.

Таблица 2.2 – Расчет напряженности и потенциала производите

по указанным формулам

Область	Границы области	Расчетные формулы
		Сфера	Цилиндр
I		EI = 0 ; φ I = CI	EI = 0 ; φ I = CI
II
III