4.3 Типовые примеры

1. По длинному биметаллическому проводу (рис.4.1) протекает постоян­ный токI. Радиус внутреннегопровода r₁, наружного – r₂. Проводимость внутреннего , наруж­ного – . Определить закон изменения векторного потенциалаи магнитной индукции внутри провода (во внутреннейI и наруж­ной II областях и вне провода – область III) [2].

Рисунок 4.1

Решение.

Определим плотности тока в первой и во второй областях. Так как E_1t = E_2t, то . Кроме того

.

Следовательно,

и.

При раскрытии выражения в цилиндрической системе коор­динат учтем, что в данной задачеимеет только одну составляющую, направленную по оси провода (по осиz), и эта составляющая зависит только отr:

Двукратное интегрирование по r дает:

Слагаемое С₁ ln r должно отсутствовать, так как А не может при­нимать бесконечно больших значений при r = 0; отсюда следует, что С₁ = 0.

Вектор-потенциал определяется с точностью до постоянной. Примем эту постоянную равной нулю: С₂ = 0. При этом на оси провода А = 0. Из граничных условий составим уравнения для определения оставшихся четырех постоянных.

1. При r = r₁ A₁ = A₁₁, следовательно,

2. При r = r₂ A₁₁ = A₁₁₁, т.е.

3. При r = r₁ Н_1t = H_2t или , т.е.

2. При r = r₂ должны быть равны тангенциальные составляющие напряженности поля:

Имеем:

На рисунке 4.1 одна кривая характеризует изменение А = f (r), другая – изменение В = f (r) при и.

4.4 Контрольные задания 2

1 Расчет магнитного поля постоянного тока

коаксиального кабеля

1. Цель работы.

Усвоение методики расчета магнитного поля с помощью уравнений Пуассона, Лапласа для векторного потенциала.

2. Условие задачи.

По коаксиальному кабелю протекает постоянный ток I. Размерыa,b,cпроводников кабеля указаны на рисунке4.2. Относительная магнитная проницаемость материала проводников μ.

Рисунок 4.2– Коаксиальный кабель

Требуется:

2.1 Определить зависимость модуля векторного потенциала A= f (x) для всех областей.

2.2 Определить зависимость модуля напряженности H= f (x) для всех областей.

2.3 Определить магнитные потоки замыкающие: по внутреннему проводу; пространстве между проводами; по внешнему проводу.

Примечание: Принять векторный потенциал на поверхности внутреннего проводника равным нулю.

Таблица 4.1 – Исходные данные для расчета

		АБВ ГДЕ	ЖЗИ ЙКЛ	МНО ПРС	ТУФХ ЦЧШ	ЩЬЫ ЭЮЯ	№ букв Ф.И.О.
I	А	50	75,0	100	125	150	1
a	см	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	2
b	см	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	3
c	см	1,7	1,8	1,9	2,0	2,1	4
μ	-	1,0	5,0	10,0	15,0	20,0	5

3 Методические указания

3.1 Расчет поля выполнить с помощью уравнений Пуассона и Лапласа для векторного потенциала. Данный материал можно изучить по учебнику [2, §§21.8 - §§21.15].

3.2 Принять в качестве исходного выражения уравнение Пуассонавывести расчетные формулыA(x) иH(x).

3.3 Определить постоянные интегрирования в выражениях A(x) для всех областей. Для этого необходимо использовать заданные в условии задачи граничные условия (координату точки с нулевым вектором потенциалом), а также свойство поля, состоящее в том, что при переходе поля из одной среды в другую не могут измениться скачком вектор потенциал и тангенциальные составляющие напряженности магнитного поля.

3.4 Используя выражение

определить магнитные потоки замыкающие в соответствующих пространствах.

3.5 Рассчитать и построить A(x) иH(x) , пользуясь формулами, полученными в п.3.2. При этом необходимо задаться четырьмя значениямиxв каждой области.

На границах раздела сред Aи Н вычислять дважды: по формулам одной и другой области.