Пособие_ПШ_САПР

S1 X			2
			10		(6.10)
S2
		2
			2X

Побудуємо графіки цих рівнянь. Для чого складемо таблицю 6.2.

Таблиця 6.2 – Вихідні дані для побудови графіків

S1	S2	X
0	5,0	0
0,25	3,3	0,5
1,0	2,5	1,0
2,25	2,0	1,5
4,0	1,7	2,0
6,25	1,4	2,5
9,0	1,25	3,0
12,25	1,11	3,5
16,0	1,0	4,0
20,25	0,9	4,5

Побудовані за цими даними графіки показані на рисунку 6.1.

181

S

21
20								S1
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2									S2
1
0									4,5 Х
0,0	0,5	1,0	Х01,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
Рисунок 6.1 – Графіки залежності S1 і S2 від X

182

Точка перетину графіків S1=f(X) і S2=f(X) відповідає оптималь-

ному значенню Х0, яке дорівнює 1,4. Для перевірки правильності ви-

значення Х0 розрахуємо значення S для Х=1,4 і сусідніх значень Х=1,3

та 1,5 за моделлю (6.7) при заданих значеннях С1, С2, С3 і С4

S0 1 1,42 10 2 1,4 1 12,90 , 1,4

S 1 1,32 10 2 1,3 1 12,98, 1,3

S 1 1,52 10 2 1,5 1 12,92. 1,5

Таким чином, знайдене значення Х0 дійсно є оптимальним.

У тих випадках, коли цільова функція містить у собі дві змінні й після взяття часткових похідних та прирівнювання їх до нуля отриму-

ються два складних рівняння, аналітичне розв’язування яких викликає труднощі, також застосовують графічний метод.

Розглянемо умовний приклад. Нехай маємо цільову функцію

S C X			C2	C	X			C4		С5	С		.	(6.11)
			X1					Х2		Х1 Х2
1	1			3		2						6

Візьмемо частинну похідну за Х1

dS	C	C2		C5	0,
dX1		X12
	1			X12 X2

183

dS	C	3		C4		C5	0 .
				X22		X1 X22
dX2

Звідси

X11				C2			C5			,	(6.12)
				C1
							X2C1
X	2				C5				.		(6.13)
	1
			C X 2			C		4
			1		2

За отриманими рівняннями будують два графіки зміни Х2, на перетині яких знаходять оптимальне значення Х1 і Х2 (рис. 6.2).

Беремо С1=1, С2=2, С3=3, С4=2 і С5=25. Результати розрахунків

X11 і X12 при різних значеннях Х2 наведені в таблиці 6.3.

Таблиця 6.3 – Результати розрахунків X11 і X12

X11	X12	X2
5,2	25	1
3,8	2,5	2
3,2	1	3
2,9	0,54	4
2,6	0,34	5
2,5	0,24	6
	184

Х1
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12	X 12
11
10
9
8
7
6
5
Х01 4							X11
3
2
1
0	Х02							Х2
1		2	3	4		5	6
Рисунок 6.1 – Графіки залежності				X11	і X12	від X2
			185

За допомогою розглянутих методів оптимізації визначають оп-

тимальні значення проектної потужності шахти, розміри шахтного поля, панелі по простяганню й падінню. В останньому випадку за ці-

льовою функцією (6.11) визначають оптимальну кількість ярусів у па-

нелі (Х2). При цьому отримане дрібне число округлюється до цілого.

6.2.2 Метод лінійного програмування

Цей метод застосовується перш за все для розв’язування розпо-

дільних задач, коли, наприклад, треба розподілити перевезення вугілля до споживачів таким чином, щоб витрати на транспорт були мінімаль-

ними. Дуже розповсюдженою є також задача оптимального розподілен-

ня навантаження на очисні вибої в конкретних умовах роботи шахти.

У загальному вигляді задача лінійного програмування запису-

ється таким чином.

Треба визначити оптимальне значення цільової функції:

n
Ci Xi → (min/max)	(6.14)
i 1

за виконання обмежень, які відбивають умови функціонування підпри-

ємства

m n
aji Xi	( )aj	(6.15)
j 1i 1
Xi 0

Стосовно, наприклад, задачі розподілу видобутку між шахтами параметри цільової функції й обмежень мають такі позначки:

п – кількість шахт;

186

Хі – видобуток з і-ї шахти, т;

Сі – собівартість видобутку однієї тони вугілля на і-й шахті,

грн./т;

аji – можливі витрати або межа j-го виду ресурсу на 1 т видобут-

ку i-ї шахти;

аj – ліміт j-го ресурсу в цілому по групі шахт.

Під ресурсом може розумітися будь-яке обмеження, наприклад,

норматив зольності й т.п.

Існують два способи розв’язання задач лінійного програмування

– графічний і симплексний. Перший найбільш простий і застосовуєть-

ся під час розв’язування задач з двома змінними. Другий не має таких обмежень, але потребує складних обчислювальних процедур. Тому,

застосовуючи його, використовують стандартні програми на ЕОМ.

Розглянемо умовний приклад розв’язування задачі з двома змінними графічним методом. Припустимо, що на шахті передбачена розробка двох пластів. При цьому під час розробки першого з них річ-

ний видобуток за технічними умовами не може перевищувати 600

тис.т, а під час розробки другого – 400 тис.т.

Прибуток на 1 т вугілля видобутого з першого пласта становить

50 грн/т, а з другого 30 грн/т. Експлуатаційна зольність вугілля першо-

го пласта 20%, а другого 30%. Середньозважена зольність вугілля, ви-

добутого з двох пластів, не повинна перевищувати 22%. За технічними умовами видобуток з першого пласта повинен перевищувати видобу-

ток з другого.

Видобуток вугілля треба розподілити по пластах таким чином,

щоб середній прибуток був максимальним за одночасного виконання вищевказаних умов.

187

Запишемо цільову функцію:

50X1 30X2 → max,

(6.16)

де Х1 і Х2 – обсяг видобутку вугілля з 1-го і 2-го пласта одночасно.

Умови обмеження.

X1 600
X2		400
0,2X1 0,3X2			0,22(X1	X
					2 ) 220	(6.17)
X2		X1
X1 0
X	2	0

Згідно із загальними правилами графічної побудови аналітич-

них залежностей зобразимо в прямокутній системі координат Х1 і Х2

записані вище обмеження (рис. 6.3). З рисунка видно, що зона можли-

вих пошуків найкращих значень Х1 і Х2, які максимізують цільову фу-

нкцію (6.16), обмежується багатокутником 12345. У межах цього бага-

токутника є безмежна кількість сполучень Х1 і Х2, що задовольняють систему обмежень, але далеко не всі вони такі, що 50Х1+30Х2→max.

Шукаючи оптимальні значення Х1 і Х2, достатньо розрахувати цільову функцію тільки в точках, що відповідають вістрям багатокутника.

Для першого вістря

50∙400+30∙400=32000 тис.грн.

Для другого

50∙480+30∙400=36000 тис.грн.

188

Х2

900						Х1=600
800
	Х1=0							Х1=Х2
700
600
500				1	2				Х2=400
400
							3
300
								0,2Х1+0,3Х2=220
200
100	5					4			Х2=0
0											Х1
0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100

Рисунок 6.3 – Розв'язаннязадачі лінійногопрограмування графічним методом

Для третього

50∙600+30∙320=39600 тис.грн.

Для четвертого

50∙600+30∙0=30000 тис.грн.

Для п’ятого

50∙0+30∙0=0.

Для довільно обраної точки в межах багатокутника Х1=500,

Х2=300 прибуток становитиме

50∙500+30∙300=34000 тис.грн.

Таким чином, максимальному прибутку відповідає такий розпо-

діл видобутку: по першому пласту 600 тис.т, по другому 320 тис.т.

Перевіримо виконання обмежувальних умов

189

X1 600

X2 400

0,2 600 0,3 320 216 220

X2 X1

X1 0

X2 0.

Таким чином, знайдений оптимальний варіант розподілу видо-

бутку по пластах відповідає всім сформованим у задачі умовам обме-

ження.

6.2.3 Методи математичної статистики й прогнозування

Методи математичної статистики використовують для аналізу показників роботи шахт і прогнозування на його підставі можливих їх значень під проектування. До цих показників відносять навантаження на очисний вибій, експлуатаційні витрати на видобуток вугілля, його якість, трудомісткість ведення гірничих робіт, характеристики стану масиву гірських порід та ін.

З усіх відомих методів статистичного аналізу найчастіше вико-

ристовують регресійний для встановлення параметрів статистичних залежностей між досліджуваними показниками й чинниками, які на них впливають. Можливість встановлення таких залежностей поясню-

ється тим, що більшість показників, які прогнозуються під час проек-

тування шахт, належать за ступенем детермінованості до змішаних – таких, що формуються під впливом як детермінованих, так і стохасти-

чних чинників [13].

Процес встановлення емпіричних формул на підставі обробки експериментальних даних методом регресійного аналізу передбачає

190