Лекція 5.

МЕТОД ЗАМІНИ ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ

Спосіб заміни площин проекцій є протилежним до способів обертання та плоско-паралельного переміщення. Там змінювалось положення геометричного образу у просторі, а площини проекцій залишалися на місці. Зараз розглянемо спосіб, коли геометричний образ залишається на місці.

Геометричний образ свого положення у просторі не змінює. При виборі положення нової площини проекцій керуються тим, що по відношенню до нової площини образ, що проекціюється, має зайняти окреме положення, яке забезпечує здобуття проекцій найбільш зручних для розв’язання задачі.

Нові площини проекцій будемо позначати, як П₄, П₅, П₆ і так далі. Можна сказати, що "старі" площини проекцій П₁ і П₂ замінюються новими площинами П₄, П₅ тощо. Звідси випливає назва способу перетворення – заміна площин проекцій.

В деяких випадках достатньо замінити тільки одну площину проекцій П₁ на П₄ або П₂ на П₄. Якщо така заміна не забезпечує бажаного вигляду нової проекції геометричного образу, то виконують заміну двох площин.

При заміні площин проекцій необхідно дотримуватись таких умов:

1. площини проекцій замінюються не одночасно, а послідовно;

2. кожна нова площина проекцій має бути перпендикулярною до тієї площини, яка залишається та утворює з нею нову систему площин проекцій.

Розглянемо суть способу заміни площин проекцій на прикладі точок, прямих і площин та розв’яжемо чотири основні задачі на перетворення.

П одивимося, які зміни відбуваються з проекціями точки при переході від однієї системи площин проекцій до іншої. На рис. 5.40 показано точку А, що знаходиться в системі площин проекцій . Замінимо одну з цих площин, наприклад П₂, іншою, також вертикальною площиною П₄ і побудуємо проекцію точки А на цю площину. Оскільки горизонтальна площина проекцій П₁ є спільною для "старої" та "нової" систем, то координата z точки А залишається незмінною. Отже, відстань від нової проекції до нової осі дорівнює відстані від проекції, що замінюється, до осі . При цьому проекцію визначено як основу перпендикуляра, проведеного із точки А на П₄. Горизонтальна проекція залишається тією ж самою, але координата у точки А тепер інша. Вона визначається відстанню від точки А до площини П₄, яка на комплексному кресленні дорівнює відстані від проекції до осі . Відзначимо, що ця вісь на кресленні вибрана довільно.

Д ля побудови комплексного креслення площина П₄ обертанням навколо осі суміщається з площиною П₁. Суміститься з П₁ й нова проекція точки А, яка виявиться на спільному перпендикулярі до нової осі , проведеному з горизонтальної проекції точки А (рис. 5.41).

Розв’язання чотирьох основних задач способом заміни площин проекцій

П еретворення прямої загального положення в пряму рівня (задача 1). Нехай у системі площин / задано відрізок АВ прямої загального положення (рис. 5.44). Для того, щоб у новій системі площин ця пряма зайняла положення прямої рівня, необхідно нову площину проекцій розташувати паралельно відрізку АВ і перпендикулярно до площини проекцій . Утворюється нова система взаємно перпендикулярних площин ,, вісь якої паралельна проекції відрізка АВ. Спроекціювавши АВ на площину , отримаємо його проекцію . Для здобуття нового плоского комплексного креслення площину обертанням навколо осі суміщаємо з площиною .

У системі площин проекцій , пряма АВ є прямою рівня, її проекція на дорівнює натуральній величині відрізка АВ, а кут  між проекцією та новою віссю є кутом нахилу відрізка АВ до площини .

Переходимо до комплексного креслення (рис. 5.45). На цьому кресленні в системі площин , маємо відрізок АВ прямої загального положення. собою горизонтальну площину проекцій . На цьому кресленні в системі площин , маємо відрізок АВ прямої загального положення. собою горизонтальну площину проекцій .

Перехід до нової системи площин реалізується у три кроки:

1. Будується нова вісь проекцій у відповідності до умов задачі. В нашому випадку нова вісь проекцій паралельна горизонтальній проекції відрізка АВ. Відстань від нової осі проекцій до проекції довільна.

2. Проводяться нові лінії сполучення перпендикулярно до нової осі проекцій. Ці лінії починаються від тих проекцій точок, які переходять до нового креслення. На рис. 5.45 лінії сполучення йдуть від кінців , горизонтальної проекції відрізка до нових проекцій, перпендикулярно до нової осі.

3. На нових лініях сполучення від нової осі відкладають відстані, рівні відстаням від "старих" проекцій точок до старої осі (у нашому випадку це координати z точок А і В, тобто віддалення проекцій і від осі ).

Якщо треба знайти кут  нахилу відрізка АВ до площини , то площину проекцій замінюють новою площиною проекцій , паралельною відрізку АВ і перпендикулярною до площини проекцій

Перетворення прямої рівня в проекціювальну пряму (задача 2). Цю задачу будемо розв’язувати, як продовження першої задачі.

Розглянемо комплексне креслення (рис. 5.48). Для зручності комплексне креслення в системі площин ,, повернуто таким чином, щоб положення осі проекцій відповідало наочному зображенню рис. 5.47.

Перехід до нової системи площин на комплексному кресленні реалізується в тому ж порядку, який використовувався при розв’язанні попередньої задачі (задачі 1):

1. Будуємо вісь проекцій перпендикулярно до проекції , що випливає з умови задачі, пов’язаної з перетворенням прямої рівня у пряму проекціювальну.

2. Через проекції і , що переходять із старого у нове комплексне креслення, проводимо нові лінії сполучення, перпендикулярно до нової осі (зрозуміло, що у нашому випадку ці лінії збігаються).

3. На нових лініях сполучення від нової осі відкладаємо відрізки, що відповідають відстаням від горизонтальних проекцій і точок до старої осі . Отримуємо нову, додаткову проекцію відрізка АВ.

Таким чином, маємо нове комплексне креслення, яке складається із старої проекції та нової, додаткової проекції . На цьому новому кресленні пряма рівня АВ є проекціювальною прямою.

Н агадаємо, що нові осі проекцій будують на довільних відстанях від тих проекцій геометричних образів, які переходять до нового креслення. Ці відстані визначаються тільки зручністю розв’язання конкретної задачі та наявністю вільного місця на аркуші паперу.

Для перетворення прямої загального положення у проекціювальну пряму необхідно послідовно розв’язати першу та другу задачі на одному комплексному кресленні (рис.5.49). Дійсно, перетворення однієї із проекцій деякої прямої загального положення у точку вимагає подвійної заміни площин проекцій, оскільки в системі площин , площина, перпендикулярна до цієї прямої, не буде ортогональною ні до , ні до .

Перетворення площини загального положення в площину проекціювальну (задача 3). Нехай площина загального положення задана трикутним відсіком АВС (рис. 5.50). Для розв’язання цієї задачі нову площину проекцій розташовують перпендикулярно до відсіку АВС і однієї з площин проекцій. А це свідчить про те, що нова площина проекцій є перпендикулярною до лінії перетину заданої площини з однією з площин проекцій. Саму лінію не будують, оскільки її напрям визначають за допомогою головної лінії площини (горизонталі чи фронталі). Тому у заданій площині загального положення перш за все проводять одну із таких ліній, наприклад, горизонталь А1. Ця горизонталь необхідна для орієнтування нової площини проекцій .

Розташувавши , забезпечуємо виконання одразу двох умов: нова площина буде перпендикулярною і до , і до площини трикутника. Нову вісь проводять під прямим кутом до . Провівши через горизонтальні проекції вершин трикутника лінії сполучення, перпендикулярні до нової осі, відкладаємо на них від осі відрізки, що дорівнюють , , . Далі будується нова проекція трикутника АВС, яка є прямою лінією. Додамо також, що на площину , яка перпендикулярна до трикутника і до площини проекцій , без спотворення проекціюється кут , утворений трикутним відсіком з площиною проекцій .

Перетворення проекціювальної площини в площину рівня (задача 4). Цю задачу будемо розглядати як продовження попередньої (третьої) задачі. Для зручності вісь розташуємо горизонтально.

Нагадаємо, що для перетворення проекціювальної площини у площину рівня необхідно ввести нову площину проекції , паралельну площині трикутника. Вісь проекцій має бути паралельною "виродженій" проекції три-кутника, яка є результатом розв’язання третьої задачі.

Спочатку паралельно проекції трикутника на довільній відстані від неї будують нову вісь проекцій (рис. 5.52), а потім від вершин , , проводять нові лінії сполучення, перпендикулярні до нової осі , і на них відкладають відстані, які визначають віддалення проекцій точок , , від старої осі . У результаті матимемо нове комплексне креслення площини АВС, яке складається із старої проекції-прямої відсіку та його нової, додаткової проекції . На цьому кресленні площина АВС є площиною рівня, а проекція відповідає його натуральній величині.

Д ля перетворення площини загального положення в площину рівня послідовно розв’язують третю та четверту задачі на одному комплексному кресленні (рис. 5.53). Треба створити таку нову ортогональну систему площин проекцій, в якій одна з цих площин була б паралельна трикутному відсіку. В системі , таку площину побудувати неможливо. Дійсно, площина, паралельна трикутнику, не буде перпендикулярною ні до , ні до , тобто вона не утворює з площинами проекцій ортогональної системи. Звідси випливає необхідність виконання подвійної заміни площин проекцій. Спочатку площина замінена площиною , а потім площина площиною .