Тема 8. «Основи теорії прийняття рішень»

Лабораторна робота

Людині постійно доводиться приймати рішення. Так, перш ніж вийти з будинку, ви замислюєтеся над тим, чи взяти парасоль. Звичайно, не хотілося б носити його із собою в гарну погоду. Але в дощовий день парасоль буде досить до речі. Так брати або не брати парасоль?

Відповісти на це питання нескладно, якщо точно знати, яка буде погода. Якщо з ранку йде дощ, більшість людей візьме парасолі. Хоча, можливо, не усі. Деякі загартовані люди скоріше зволіють промокнути, аби тільки не носити увесь день із собою парасоль. Наслідки відсутності парасоля в погану погоду оцінюються кожною людиною по-різному. Ці оцінки впливають на рішення.

Складніше прийняти рішення, якщо відсутня достовірна інформація про те, яка очікується погода. Не можна повністю довіряти прогнозу. Він ніколи не буває абсолютно точним. Ще складніше прийняти рішення, якщо ви прогнозу не знаєте.

Методи прийняття рішень в умовах відсутності достовірної інформації про можливі наслідки вивчаються теорією ризику. Ця теорія має широку сферу додатків в економіці. Одне з найбільш важливих - вибір інвестиційних проектів.

Після того як ви виконаєте задачі, пропоновані в цій главі, ви будете вміти визначати й використовувати для економічного аналізу наступні поняття:

•альтернатива;

•стан середовища;

•таблиця рішень;

•дерево рішень;

•критерій байдужності;

•критерій оптимізму;

•критерій песимізму;

•очікувана вартісна оцінка альтернативи;

•очікувана цінність достовірної інформації.

Крім того, ви навчитеся приймати рішення в умовах невизначеності, визначеності й в умовах ризику.

Теоретичні відомості

Теорія прийняття рішень - це аналітичний підхід до вибору найкращої альтернативи або послідовності дій. У теорії прийняття рішень існують три основних рівні класифікації. Вони залежать від ступеня визначеності можливих наслідків, з якими зіштовхується особа, що приймає рішення (ЛПР).

Відповідно існують три типи моделей:

1. Прийняття рішень в умовах визначеності — ЛПР точно знає наслідки будь-якої альтернативи або вибору рішення. Наприклад, ЛПР із повною визначеністю знає, що внесок 100 тис. грн. на поточний рахунок приведе до збільшення балансу цього рахунку на 100 тис. грн.

82

2.Прийняття рішень в умовах ризику — ЛПР знає ймовірності настання наслідків для кожного рішення. Ми можемо не знати того, що завтра буде дощ, але ми можемо знати, що ймовірність дощу 0,3.

3.Прийняття рішень в умовах невизначеності — ЛПР не знає ймовірностей настання наслідків для кожного рішення. Наприклад, ймовірність того, що весь тираж надрукованої книги буде реалізований за рік, автору невідома.

Якщо місце має повна невизначеність відносно можливості реалізації станів середовища (тобто ми не можемо навіть приблизно вказати ймовірності настання кожного можливого результату), то обставини, з якими ми маємо справу при виборі рішення, можна представити як вид стратегічної гри, у якій один гравець — ЛПР, а іншої — якась об'єктивна дійсність, називана природою. Умови такої гри звичайно представляються наступною таблицею рішень, у якій

ряди А1, А2, ..., Аm, відповідають стратегіям ЛПР, а стовпці N1, N2,..., Nn — стратегіям природи (aij — виграш ЛПР, що відповідає кожній парі Ai, Nj):

У розглянутій ситуації при виборі з множин {А1, А2, ..., Аm} найкращого рішення звичайно використовують наступні критерії:

1.Максимаксний критерії, або критерії крайнього оптимізму — визначає альтернативу, що максимізує максимальний результат для кожної альтернативи, тобто ЛПР вибирає стратегію sq, що відповідає

2.Максиминний критерій Вальда, або критерій крайнього песимізму —

визначає альтернативу, що максимізує мінімальний результат для кожної альтернативи, тобто ЛПР вибирає стратегію i0, який відповідає

3.Критерій мінімаксного ризику Севіджа. Відповідно до цих критеріїв

вибирається стратегія, при якій величина ризику rij у найгірших умовах мінімальна, тобто дорівнює

83

4. Критерій оптимізму-песимізму Гурвіца — рекомендує при виборі рішення не керуватися ні крайнім песимізмом, ні крайнім оптимізмом. Відповідно до цих критеріїв стратегія вибирається з умови

Значення коефіцієнта песимізму k вибирається між нулем і одиницею. При k = 1 критерій Гурвіца перетворюється в критерій Вальда, при k > 0 — у критерій крайнього оптимізму.

5. Критерій байдужності. В умовах повної невизначеності передбачається, що всі можливі стани середовища (природи) рівноймовірні. Ці критерії виявляє альтернативу з максимальним середнім результатом, тобто

Якщо відомо таблицю рішень із оцінками умов і ймовірностями реалізації для всіх станів середовища, можна визначити очікувану вартісну оцінку ЕМ для кожної альтернативи. Один з найпоширеніших критеріїв вибору альтернативи

— максимальна ЕМ.

Для кожних альтернатив очікувана вартісна оцінка ЕМ є сума всіляких оцінок умов (виграшів) для цієї альтернативи, помножених на ймовірності реалізації цих виграшів:

де aij — виграш ЛПР при виборі альтернативи i і реалізації стану середовища j, j =1,..., n;

рj — ймовірність настання стану середовища j.

Очікуваною цінністю достовірної інформації EVPI назвемо різницю між виграшем в умовах визначеності й виграшем в умовах ризику.

Для того щоб визначити EVPI, спочатку необхідно розрахувати математичне очікування в умовах визначеності, що дорівнює очікуваному (або середньому) доходу у випадку, коли ми маємо достовірну інформацію перед тим, як прийняти рішення.

Очікуваний виграш в умовах достовірної інформації визначається як

Тоді

Таблицю рішень зручно використовувати при аналізі завдань, що мають одна Множина альтернативних рішень і одна Множина станів середовища. Багато завдань, однак, містять послідовності рішень і станів середовища. Якщо мають місця два (або більше) послідовні рішення й наступне рішення

84

ґрунтується на результаті попереднього, більше кращий підхід, заснований на побудові дерева рішень.

Дерево рішень — це графічне зображення процесу рішень, у якому відбиті альтернативні рішення, стани середовища, а також відповідні ймовірності й виграші для будь-яких комбінацій альтернатив і станів середовища.

Аналіз завдань за допомогою дерева рішень включає п'ять етапів:

1)формулювання задачі;

2)побудова дерева рішень;

3)оцінка ймовірностей станів середовища;

4)установлення виграшів для кожної можливої комбінації альтернатив і станів середовища;

5)рішення задачі шляхом розрахунку очікуваної вартісної оцінки ЕМУ для кожної вершини стану середовища.

Приклади Приклад 1. Вибір альтернативи.

Компанія «Корівка» вивчає можливість виробництва й збуту навісів для зберігання кормів. Проект може ґрунтуватися на великий або малу виробничу базу. Ринок для реалізації навісів може бути сприятливим або несприятливим.

Василь Бичків - менеджер компанії - ураховує можливість взагалі не робити ці навіси. При сприятливій ринковій ситуації велике виробництво дозволило б Бичкову дістати чистий прибуток 200 тис. грн. Якщо ринок виявиться несприятливим, то при великому виробництві компанія зазнає збитків у розмірі 180 тис. грн. Мале виробництво дає 100 тис. грн. прибутку при сприятливій ринковій ситуації й 20 тис. грн. збитків при несприятливій.

Задача: Яку альтернативу варто вибрати?

Рішення. Застосуємо перераховані вище критерії. Складемо таблицю рішень (k = 0,75):

Альтернатива\Стан		Сприятлив ий ринок	Несприятл ивий ринок	MaxiMax	MaxiMin	Критерій Седвіджа	Критерій Гурвіца	Критерій байдужнос ті
	середи
А1	Зробити велике	200	-180	200	-180	180	-85	10
	виробництво
А2	Зробити мале	100	-20	100	-20	100	10	40
	виробництво
А3	Нічого не робити	0	0	0	0	200	50	0

Відповідь: За критерієм maximax слід вибрати альтернативу А1. за критерієм maximin і критерію Гурвіца ( при k = 0,75) — А3; за критерієм мінімуму максимального ризику (критерію Сэвиджа) і критерію байдужності — А2.

Приклад 2. Вибір альтернативи при равновероятных станах середовища. Розглянемо умови прикладу 1 і припустимо, що оба стану середовища

равноможливі.

Питання: Яку альтернативу слід вибрати за критерієм максимізації EMV? Розв'язок. Одержуємо наступні оцінки:

85

EMV(А1) = 200-0,5 + (-180) • 0,5 = 10 тис. грн.;

EMV(A2 ) = 100 • 0,5 + (-20) • 0,5 = 40 тис. грн.;

EMV(A3 ) = 0 • 0,5 + 0 • 0,5 = 0.

Рішення в цьому випадку збігається з рішенням, отриманим у прикладі 1 за критерієм байдужності.

Відповідь: Варто вибрати альтернативу А2

Приклад 3. Ухвалення рішення про використання додаткової інформації.

Припустимо, що менеджер компанії «Корівка» (см. приклад 1) зв'язався з фірмою, що займається дослідженням ринку, що запропонувала йому допомогу в ухваленні рішення про те, чи варто створювати виробництво навісів для зберігання кормів. Дослідники ринку затверджують, що їхній аналіз дозволить установити з повною визначеністю, чи буде ринок сприятливим для даного продукту. Інакше кажучи, умови для компанії «Корівка» міняються від прийняття рішень в умовах ризику до прийняття рішень в умовах визначеності. Ця інформація може застерегти Бичкова від дуже дорогої помилки. Фірма, що займається дослідженням ринку, хотіла б одержати за цю інформацію 65 тис. грн.

Визначити: чи Варто скористатися послугами зазначеної фірми? Навіть якщо результати дослідження є зовсім точними, чи виправдана плата 65 тис. грн.?

Рішення. 1. Кращий результат для стану середовища «сприятливий ринок» - «створити велике виробництво» з виграшем 200 тис. грн., а для стану середовища «несприятливий ринок» - «нічого не робити» з виграшем 0. Очікувана вартісна оцінка в умовах визначеності дорівнює 200 0,5 + 0 0,5 = 100 тис. грн.

Отже, якби ми мали достовірну інформацію, ми очікували б одержати в середньому 100 тис. грн.

2.Максимум ЕМУ дорівнює 40 тис. грн. Це розмір очікуваного доходу без достовірної інформації.

3.EVPI= Очікувана вартісна оцінка в умовах визначеності — Максимум

ЕМ = 100 — 40 = 60 тис. грн.

Отже, Бичкову варто було б платити за достовірну інформацію не більше 60 тис. грн. Звичайно, такий висновок ґрунтується на припущенні, що ймовірність реалізації кожного стану середовища дорівнює 0,5.

Відповідь: Здобувати достовірну інформацію не треба.

Приклад 4. Взаємозалежні рішення.

Припустимо, що Бичкову (см. приклад 1) треба прийняти два рішення, причому друге рішення залежить від результату першого. Перш ніж створити нове виробництво. Бичков має намір замовити дослідження ринку й заплатити за нього 10 тис. грн. Результати цього дослідження могли б допомогти вирішити задачу про те, чи варто створювати велике виробництво, мале виробництво або не робити нічого. Бичков розуміє, що таке обстеження ринку не може дати достовірну інформацію, але може проте виявитися корисним.

Визначити: чи Варто проводити обстеження ринку?

86

Рішення. На мал. 1 показані можливі стани середовища й рішення, а також ймовірності різних результатів обстеження й ймовірності настання різних станів середовища. (Прямокутники використовуються для позначення вершин прийняття рішень, кружечки позначають неконтрольовані події - настання станів середовища.)

Дерево рішень Бичкова з розрахованими EMУ представлено на мал. 2. Короткими паралельними лініями відтинається та галузь, що виявляється менш сприятливої в порівнянні з іншими й може бути відкинута.

Очікувана вартісна оцінка найкращого рішення у випадку, якщо буде замовлене обстеження ринку, становить 49,2 тис. грн., без обстеження вона становить 40 тис. грн.

Рис. 1

87

Рис.2

Відповідь: Так, варто замовляти обстеження ринку. Якщо результат обстеження буде сприятливим, варто створювати велике виробництво, якщо несприятливим - мале.

Тести для самоконтролю

1. У теорії прийняття рішенні ситуація, що не може контролювати особу, що приймає рішення, називається:

1)деревом рішень;

2)станом середовища;

3)рішенням в умовах невизначеності;

88

4)альтернативою;

5)таблицею рішень.

2.Укажіть правильну відповідність назв критеріїв прийняття рішень в умовах невизначеності:

1) minmax ( «критерій оптимізму»;

2) maxmin ( «критерій песимізму»;

3) minmin ( «критерій песимізму»;

4) maxmin ( «критерій байдужності»;

5) maxmax ( «критерій байдужності».

3.У завданні прийняття рішень розглядається одна Множина станів середовища й одна Множина рішень. Якщо ймовірність настання одного зі станів середовища дорівнює одиниці, то рішення приймається в умовах:

1) часткової невизначеності;

2) невизначеності;

3) визначеності;

4) байдужності;

5)ризику.

4.Можна зробити одне з наступних придбань: квартира, земельна ділянка, річковий катер, авторемонтна майстерня або невелике кафі. У випадку якщо обставини складуться сприятливо, прибуток становитиме відповідно 22, 12, 17, 25 або 30 тис. грн. У випадку несприятливого збігу обставин покупка квартири або земельної ділянки принесе прибуток відповідно 7 або 9 тис. грн., а покупка катера, авторемонтній майстерні або кафі - збитки відповідно 5, 11 або 13 тис. грн.

Сприятливий і несприятливий збіг обставин рівноймовірно. У цьому випадку достовірна інформація про стан середовища оцінюється величиною:

1) 15,5 тис. грн.;

2) 10 тис. грн.;

3) 8 тис. грн.;

4) 5 тис. грн.;

5) 2 тис. грн.

5.Модель прийняття рішень в умовах ризику ставиться до класу моделей: 1) імітаційних; 2) статистичних; 3)алгебраїчних;

4) управління запасами;

5) математичного програмування.

6.Нехай як критерій ухвалення рішення в умовах ризику використовується очікувана вартісна оцінка альтернативи ЕМ. Ймовірність того, що фактичний виграш буде дорівнює значенню ЕМ:

1) висока;

2) залежить від числа альтернатив;

3) мала;

4) залежить від числа станів середовища;

5) ніщо з вищевказаного не є вірним.

89

Задачі для розв’язування

Задача 1. Адміністратор лікарні вирішує, чи варто зробити до лікарні більшу прибудову, маленьку прибудову або не робити прибудови взагалі. Якщо населення міста буде продовжувати рости, то більша прибудова могла б приносити щорічно прибуток в 150 тис. грн. Якщо буде зроблена маленька прибудова, то вона може приносити лікарні 60 тис. грн. прибутку щорічно за умови, що населення буде збільшуватися. Якщо населення міста не буде збільшуватися, то спорудження великої прибудови принесе лікарні збиток в 85 тис. грн., а маленької - в 45 тис. грн. У адміністратора немає інформації про те, як буде змінюватися чисельність населення міста.

Побудуйте таблицю рішень. Визначите найкращу альтернативу, використовуючи критерій байдужності.

Визначити:

1.Чому дорівнює значення ЕМ для найкращої альтернативи?

2.Отримано додаткову інформацію: ймовірність росту населення дорівнює 0,6, ймовірність того, що його чисельність залишиться незмінної, — 0,4. Визначите найкраще рішення, використовуючи критерій максимізації очікуваної вартісної оцінки. Чому дорівнює значення ЕМ для найкращої альтернативи при наявності додаткової інформації?

3.Яка очікувана цінність додаткової інформації?

Задача 2. Інвестор припускає побудувати ресторан недалеко від університетського гуртожитку. Один з можливих варіантів - передбачити в ньому пивний бар. Інший варіант не пов'язаний із продажем пива. В обох випадках інвестор оцінює свої шанси на успіх як 0,6 і на невдачу як 0,4. Попередні обговорення показують, що план, пов'язаний із продажем пива, може принести 325 тис. грн. прибутку. Без продажу пива можна заробити 250 тис. грн. Втрати у випадку відкриття ресторану з баром складуть 70 тис. грн., у випадку ресторану без бара - 20 тис. грн.

Виберіть альтернативу для інвестора на основі середньої вартісної оцінки як критерій.

Визначити:

1.Чи варто реалізувати план, що передбачає продаж пива?

2.Чому дорівнює значення ЕМ для найкращої альтернативи?

Задача 3. «Фотоколор» - невеликий магазин, що торгує хімічними реактивами, які використовуються деякими фотостудіями при обробці плівки. Один із продуктів, що пропонує «Фотоколор», - фіксаж ВР-6. Директор магазина, продає протягом місяця 11, 12 або 13 ящиків ВР-6. Від продажу кожного ящика фірма одержує 35 тис. грн. прибуток. Фіксаж ВР-6, як і багато фотореактивів, має малий строк придатності. Тому, якщо ящик не проданий до кінця місяця, директор повинен його знищити. Тому що кожний ящик обходиться магазину в 56 тис. грн., він втрачає їх у випадку, якщо ящик не проданий до кінця місяця. Ймовірність продати 11, 12 або 13 ящиків протягом місяця дорівнює відповідно 0,45; 0,35 і 0,2.

Визначити:

90

1.Скільки ящиків закуповувати фірмі для продажу щомісяця?

2.Яка очікувана вартісна оцінка цього рішення?

3.Скільки ящиків варто було б закуповувати, якби директор міг дістати фіксаж ВР-6 з добавкою, що значно продовжує строк його придатності?

Задача 4. Компанія «Едем» - невеликий виробник різних продуктів із сиру. Один із продуктів - сирна паста - продається в роздріб. Менеджер компанії, повинен вирішити, скільки ящиків сирної пасти варто робити протягом місяця. Ймовірність того, що попит на сирну пасту протягом місяця буде 6, 7, 8 або 9 ящиків, дорівнює відповідно 0,1;-0,3; 0,5; 0,1. Витрати на виробництво одного ящика пасти становлять 45 тис. грн. Ароматів продає кожний ящик за ціною 95 тис. грн. Якщо сирна паста не продається протягом місяця, то вона псується й компанія не одержує доходу.

Визначити:

1.Скільки ящиків варто робити протягом місяця?

2.Яка очікувана вартісна оцінка цього рішення?

Задача 5. Інвестор вирішує куди вкласти кошти. Він може відкрити у своїй аптеці або більшу, або секцію прокату відеокасет. Інвестор може одержати додаткову інформацію про те, буде ринок відеопрокату сприятливим чи ні. Ця інформація обійдеться йому в 300000 грн. Підприємець вважає, що ця інформація виявиться сприятливої з ймовірністю 0,5. Якщо ринок буде сприятливим, то більша секція прокату принесе прибуток 150000 грн., а маленька - 50000 грн. При несприятливому ринку Мухін втратить 200000 грн. у випадку, якщо він відкриє більшу секцію, і 100000 грн. у випадку, якщо маленьку. Не маючи додаткової інформації, Дмитро оцінює ймовірність сприятливого ринку як 0,7. Позитивний результат обстеження гарантує сприятливий ринок з ймовірністю 0,9. При негативному результаті ринок може виявитися сприятливим з ймовірністю 0,4.

Визначити:

1.Чи варто одержати додаткову інформацію?

2.Чи варто відкрити більшу секцію?

3.Яка очікувана вартісна оцінка найкращого рішення?

Задача 6. Проведено аналіз, пов'язаний з відкриттям магазина велосипедів. Якщо інвестор відкриє великий магазин, то при сприятливому ринку одержить 600000 грн., при несприятливому - зазнає збитків 40 млн грн. Маленький магазин принесе йому 300000 грн. прибутку при сприятливому ринку й 100000 грн. збитків - при несприятливому. Можливість сприятливого й несприятливого ринку він оцінює однаково. Дослідження ринку, що може провести професор, обійдеться інвестору в 50000 грн. Професор уважає, що з ймовірністю 0,6 результат дослідження ринку виявиться сприятливим. У той же час при позитивному висновку ринок виявиться сприятливим з ймовірністю 0,9. При негативному висновку ринок може виявитися сприятливим з ймовірністю

0,12.

Використовуйте дерево рішень для того, щоб допомогти інвестору зробити правильний вибір.

Задача:

91

1.Чи варто замовити проведення обстеження ринку?

2.Чи варто відкрити великий магазин?

3.Яка очікувана вартісна оцінка найкращого рішення?

Задача 7. Компанія «Промінь» одержує перемикачі у двох постачальників. Якість перемикачів охарактеризована в наступній таблиці:

% браку	Вірогідність для поставщиків
1.	0,7	0,3
2.	0,2	0,4
3.	0,1	0,3

Так, 1% всіх перемикачів, що поставляються постачальником А, з ймовірністю 0,7 виявиться бракованим. Тому що кожне замовлення компанії становить 10 000 перемикачів, це означає, що з ймовірністю 0,7 вони одержать від цього постачальника 100 бракованих перемикачів. Бракований перемикач можна відремонтувати за 0,5 тис. грн. Якість у постачальника В нижче, тому він уступає партію в 10 000 перемикачів на 37 тис. грн. дешевше, ніж постачальник

А.

Визначити:

1.Якого постачальника варто вибрати компанії?

2.Яка очікувана вартісна оцінка найкращого рішення?

Задача 8. Головному інженерові компанії «Каучук», треба вирішити, монтувати чи ні нову виробничу лінію з використанням останніх технологій. Якщо нова лінія буде працювати безвідмовно, компанія дістане прибуток 200 млн грн. Якщо лінія відмовить, компанія може втратити 150 млн грн. По оцінках інженера, в 60% випадків нова лінія відмовить. Можна створити експериментальну установку, а потім уже вирішувати, монтувати чи ні нову лінію. Експеримент обійдеться в 10 млн грн. Головний інженер вважає, що в 50% випадків експериментальна установка буде працювати. Якщо вона буде працювати, то в 90% випадків виробнича лінія (якщо неї змонтувати) також буде працювати. Якщо установка не буде працювати, тобто тільки 20% шансів, що лінія буде працювати.

Визначити:

1.Чи варто будувати експериментальну установку?

2.Чи варто монтувати виробничу лінію?

3.Яка очікувана вартісна оцінка найкращого рішення?

92