1. Складання вузлових рівнянь

Кількість рівнянь, які складаються для знаходження невідомих струмів, можна зменшити, якщо за незалежну змінну прийняти потенціал вузла. Знаючи потенціали всіх вузлів, можна знайти струми у вітках.

Рівняння з вузловими потенціалами (чи вузловими напругами) ми отримуємо на основі першого закону Кірхгофа, їхня кількість дорівнює кількості незалежних вузлів (кількість вузлів мінус одиниця).

Прийнявши потенціал одного із вузлів за нульовий, запишемо рівняння в загальному вигляді для будь-якої схеми, яка має п-незалежних вузлів

Оіі^иі0 ^- Оі2^и20 ^- ОізЦзо ^- ... ^- Ощипс = Ju;

-Оіоиіо + О22и20 - О2зизо - ... - О2пЦі0 = J22;

-GnlUlö - Gn2U20 ^- Gn3U30 - ... + GnnUnö ^Jnn, де G₁₁,G₂₂,G₃₃.G_nn - називають власними вузловими провідностями і знаходять їх як суму провідностей всіх віток, що підімкнені до даного вузла;

G₁₂,G₂₁,G₂₃.G_n(_n-1) - називають спільними вузловими провідностями і знаходять їх як суму провідностей віток, що увімкнені між двома вузлами, які розглядаються;

J₁₁, J₂₂, J₃₃ ••• J_nn - називають вузловими струмами і знаходять їх як алгебраїчну суму струмів джерел струмів, які підімкнені до n-го вузла (якщо джерела спрямовані до n- го вузла, то будемо їх брати зі знаком "+", якщо від n-го вузла - зі знаком "-"). Якщо до складу вітки входить джерело напруги та резистор його завжди можна перетворити в джерело струму.

Розв'язавши систему рівнянь за методом вузлових напруг, можна за законом Ома знайти струми у всіх вітках.

Додавання рівнянь за методом вузлових напруг проілюструємо на прикладі електричного кола, схема якого зображена на рис. 27.

Рис. 27. Схема електричного кола

Дане електричне коло має 5 вузлів. За нульовий потенціал приймемо потенціал першого вузла (ф₁ = 0), складемо чотири рівняння в загальному вигляді

022^0 - О2зИз0 - 024^0 - 025^0 = 322,

-Оз2И20 + 0ззИз0 - 0з4И40 - 0з5И50 = ^3',

-042^0 - 04зИз0 + 044^0 - 045^0 = 344,

^-052^и20 ^{- 0}5з^из0 ^{- 0}54^и40 + ⁰55^и50 = ³55 ,

де власні вузлові провідності:

111 _ 111

G

G33 =

+

+

+

+

22

^R1 ^R2

R₄ r₇

Rc

1 1

+ — +

1 1

+ — +

G

g₅₅ =

+

44

R₆ R₅ + & R₇ R₉

R3 + & Rg R9

-6

спільні вузлові провідності:

^G23 = ^G 32 = ⁰

G25 = G 52 = 0:

^G24 ^G 42

R

G34 = G43 =

G35 = G53 =

G45 = G54 =

R

R

R

вузлові струми:

J = ^E2

J = ^E9

^J33 ⁰’ ^J44 ^J5

V

²² _R ^{33 44 5} _R ⁵⁵ _R

-2 ^iv9 ^iv9

Розв'язавши систему рівнянь відносно вузлових напруг U₂₀, U₃₀, U₄₀, U₅₀, за законом Ома знайдемо струми у вітках:

Т _ ^U20 . т _ ⁰ ~ ^U20 + ^E2 . т _ ^U30 . т _ ^U20 ~^U

^1 ^; ± Л ^;

^R1

^R2

^R4

^R6

т _ ^и30 ^и40 т _ ^и30 ^и50 т _ ^и40 ^и50 + ^Е9 .

⁷ ^ ⁸ ^ ⁹ ^

Рис. 28. Схема електричного кола

К₇ ^ 8 ^9

6.2. Особливості складання вузлових рівнянь для кіл, які мають вітки тільки з ідеальними джерелами напруги

Якщо електричне коло має вітку тільки з ідеальними джерелами напруги (їхній внутрішній опір дорівнює нулю), то необхідно за нульовий потенціал прийняти потенціал вузла, до якого ці вітки підключені.

Додавання рівнянь за методом вузлових напруг проілюструємо на прикладі електричного кола, схема якого зображена на рис. 28.

Дане електричне коло має 6 вузлів, дві вітки з ідеальними джерелами напруги, які

мають спільний вузол - 5, тому за нульовий потенціал необхідно прийняти потенціал 5-го

вузла.

Якщо ми знаємо потенціал 5-го вузла, тоді потенціали 3-го та 6-го вузлів дорівнюють: Из0 = Е8; Иб0 = - Ею.

Дане коло має не 5 невідомих потенціалів, а тільки три, отже, нам необхідна система тільки третього порядку:

⁰іі^иі0 ^{- 0}і2^и20 ^{- 0}із^из0 ^- Оі4^и40 ^{- 0}іб^иб0 = Jn;

-02іИі0 + 022^0 - С2зИз0 - 024^0 - 02бИб0 = ^2; -04іИі0 - 042И20 - 04зИз0 + 044^0 - 04бИб0 = J44 , де власні вузлові провідності: 0 і і і і 0 і і і 0іх _ + + + ; 044 _ + + ^ 44	Я
1 і	1
Я7	ОТ
1
	(т}
^4	1

_п _1 1

^22 + +

^Я1 ^Я2

013 =

14

Я2 Яз Я₄

ОТ

спільні вузлові провідності:

1 1

^12 ^21 +

'41

^К1 ^К2

О

О42 = - = 0_;

да

С₁₆ = 0:

о₂з = 0

24

1

1

1

О26 =

О43 =

О46 =

Я.

Я,

Я,

вузлові струми:

і = ^Е2

*41

^і22

^і44 ^і5•

'5 ’

^Я2 ^Я3

^Я2

Розв'язавши систему третього порядку, знайдемо И₁₀, И₂₀, И₄₀ та струми у всіх вітках (задавшись їхніми умовно-додатними напрямами):

и₂₀—и₁₀+Е₂

^и20 ^и10

_т _ ^и10 + ^Е3 ^ 3

³ Я3

^и20 ^{— и}б0 .

10

І1

І2 =

^Я1

и_іп - и

^Я2

_ ^и30 ^и 40 .

Яб _- ’

т _ ^и40 ^иб0

і- П

т=

10

30

І4 =

т

6

Я

Я

Я

Струми І₈ та Іі₀ знайдемо за першим законом Кірхгофа: для третього вузла: І₄ - І_б + І₈ = 0 " І₈ = І_б -1₄; для шостого вузла: І₉ + І₇ - І₁₀ = 0 " І₁₀ = І₉ + І₇.

Якщо ж коло має декілька віток тільки з ідеальними джерелами напруги, які не мають спільного вузла, то необхідно скористатися методом переносу джерела через вузол.

Складання рівнянь методом вузлових рівнянь проілюструємо на прикладі електричного кола, схема якого зображена на рис. 29,а.

Рис. 29. Схема електричного кола

Параметри елементів електричного кола мають такі значення:

Еі = 20 V; Е2 = 30 V; / = 2А;

Я₁ = 10 #; Я₂ = 20 #; Я₃ = 5 #; Я₄=10 #; Я5 = 20 #; Яб = 25 #. Послідовність проведення розрахунку така

:

1. Перенесемо джерело Е₂ через 4-й вузол (рис. 29,6).

2. Приймемо потенціал першого вузла за нульовий, тоді потенціал 3-го вузла нам відомий: и₃о = Еі = 20У.

3. Складемо систему рівняння другого порядку методом вузлових напруг:

О22И20 - О23И30 - О25И50 = ^22;

^-052^И20 ^- С53^и30 + °55^И50 = ^55,

де власні вузлові провідності:

Є = ф ЄНІ. 7

С) 30

5і 54

и 56

я, + я4 62

Розв'яжемо цю систему відносно и₂₀, и₅₀ та отримаємо

И20 = 3,4 У; И50 = 38,11 У.

За законом Ома знайдемо струми:

= Ц20 + Е2 = 3,4 + 30 = 3,34 а;

Є = ф ЄНІ. 7

С) 30

5і 54

и 56

я, + я4 62

І7 = - І3- І4 = 3,32- 1,811 = 1,51 А.

За другим законом Кірхгофа знайдемо напругу на джерелі струму:

И₅ = Я₅/₅ + Я4І₄ + Е₁ = 20-2 + 10-1,811 +20 = 78,11 У.

Перевіримо чи вірно ми розрахували струми у вітках, для цього складемо баланс потужностей:

Рг = Цг/5 + ЕіІ7 + Е2І1 + Е2І6 = 78,11-2 + 20-1,51 + 30-3,34 +

+ 30-(-0,188) = 282,38 W;

Рпр = І1²Я1 + А + І3²Я3 + І4²Я4 + /5²Я5 + Л =

= 3,34²-10 + 0,17²-20 +3,32²-5 + 1,811²-10 + 2²-20 +

+ 0,188²-25 =280,93 W.

З^на-д^{емо похи}б^ку Пр^зр^аху^нку^: ООЛО'!!

₈ = ЇГ—^рпр. 100% = ^{282 38 — 28093}-100%=0.51%.

Р_г 282.38

Така точність розрахунку нас задовольняє.

Для поглибленого вивчення цієї теми використовуйте літературу [1, с.24-29].Лекція 7. Метод еквівалентного генератора

Зміст лекції - будутъ розглянуті такі питання: застосування методу еквівалентного генератора для знаходження струму в одній вітці; передача електроенергії від активного двополюсника до пасивного.