Расчет аналоговых фильтров-прототипов.
Фильтры низкой частоты Баттерворта.
АЧХ фильтра:
K(ω) = 
,
где
ω0 – частота среза(для фильтра прототипа она равна 1рад/с);
n – порядок фильтра (n = 2).
Рис. 1.1 – Расположение полюсов на комплексной плоскости фильтра Баттерворта
Функция передачи фильтра-прототипа Баттерворта не имеет нулей, а её полюса равномерно расположены на s-плоскости в левой половине окружности единичного радиуса.
Рис. 1.2 – АЧХ фильтра Баттерворта
Рис. 1.3 – ФЧХ фильтра Баттерворта
АЧХ фильтра Беттерворта (Рис.1.2) является максимально плоской при ω = о и ω → ∞. Это значит, что в данных точках равны нулю 2n – 1 производных АЧХ по частоте.
В целом АЧХ монотонно спадает от 1 до 0 при изменении частоты от 0 до ∞.
Листинг программы (для MatLab):
[z,p,k]=buttap(3); #нули и полюса прототипа
plot(p,'x') #график расположения полюсов
axis equal
axis ([-1.5 1.5 -1.5 1.5])
w=0:0.01:5;
[b,a]=zp2tf(z,p,k); #коэффициенты функции передачи
h=freqs(b,a,w); #комплексный коэфициент передачи
figure
plot(w, abs(h)),grid #график АЧХ
figure
plot(w, unwrap(angle(h))), grid #график ФЧХ
Фильтр Чебышева 1-го рода.
АЧХ фильтра:
K(ω) = 
,
где
ω0 – частота среза
Tn(x) – полином Чебышева n-го порядка
n – порядок фильтра
ε – параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания
Рис. 2.4 – Расположение полюсов на комплексной плоскости фильтра Чебышева первого рода
Функция передачи фильтра Чебышева не имеет нулей, а её полюса расположены в левой половине эллипса на s-плоскости.
Рис. 2.5 – АЧХ фильтра Чебышева первого рода
Рис. 2.6 – ФЧХ фильтра Чебышева первого рода
АЧХ фильтра
Чебышева первого рода (Рис.2.2) в полосе
пропускания (при ω ≤ ∞) колеблется
между значениями
и 1, а вне полосы пропускания (при ω >
∞) монотонно затухает до 0. По сравнению
с фильтром Баттерворта того же порядка
обеспечивает более крутой спад АЧХ в
области перехода от полосы пропускания
к полосе задерживания. При ω → ∞ АЧХ
стремится к 0 и является максимально
плоской.
Листинг программы (для MatLab):
[z,p,k]=cheb1ap(3,0.5) #нули и полюса прототипа
plot(p,'x') #график расположения полюсов
axis equal
axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])
w=0:0.01:2;
[b,a]=zp2tf(z,p,k); #коэффициенты функции передачи
h=freqs(b,a,w); #комплексный коэффициент передачи
figure
plot(w,abs(h)),grid
figure
plot(w,unwrap(angle(h))),grid
Фильтр Чебышева 2-го рода.
АЧХ фильтра:
K(ω) = 
,
где
ω0 – частота среза
Tn(x) – полином Чебышева n-го порядка
n – порядок фильтра
ε – параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания
Рис. 3.7 – Расположение полюсов на комплексной плоскости фильтра Чебышева второго рода
Передаточная функция имеет нули и полюсы.
Рис. 3.8 – АЧХ фильтра Чебышева второго рода
Рис. 3.9 – ФЧХ фильтра Чебышева второго рода
Коэффициент передачи при нулевой частоте равной 1, на частоте среза – заданному уровню пульсаций в полосе задерживания. При ω → ∞ коэффициент передачи равен 0 при нечетном порядке фильтра, а при четном – уровню пульсации. При ω = 0 АЧХ (Рис.3.2) является максимально плоской.
Листинг программы (для MatLab):
[z,p,k]=cheb2ap(3,10) #нули и полюса прототипа
plot(p,'x') #график расположения полюсов
hold on
plot(z,'o') #график расположения нулей
hold off
axis equal
axis([-2 2 -2 2])
w=0:0.01:5;
[b,a]=zp2tf(z,p,k); #коэффициенты функции передачи
h=freqs(b,a,w); #комплексный коэфициент передачи
figure
plot(w,abs(h)),grid
figure
plot(w,unwrap(angle(h))),grid