2. Исследование операций.

Исследование операций (ИСО) – это наука, занимающаяся разработкой и практическим применением математических, количественных методов для обоснования оптимального (эффективного, наилучшего) решения задач в различных областях практической деятельности людей.

Предметом ИСО являются задачи принятия оптимальных решений при проведении управляемых действий, объединенных единым замыслом и направленных на достижение определенной цели.

Цель ИСО количественно и качественно обосновать принимаемое решение по управлению организацией (предприятием). Окончательное решение принимает ответственное лицо (либо группа лиц), называемое лицо, принимающее решение (ЛПР).

Основными методологическими принципами ИСО являются:

• системный подход и анализ к изучению объектов или процессов;

• стремление найти оптимальное решение поставленной задачи.

Нахождение оптимального решения базируется на построении математической модели и использования математического аппарата для её анализа, поэтому основные данные задачи – количественные. Оптимальное – это такое решение, которое обеспечивает экстремум (максимум, минимум) целевой функции (критерия оптимальности) при выполнении заданной системы ограничений.

Основными понятиями ИСО являются:

• модель

• целевая функция (ЦФ)

• ограничения

• переменные (варьируемые)

Эти понятия рассмотрим чуть позже в разделе «Основные понятия математического программирования (МП)».

ИСО в зависимости от поставленных целей и методов их решения подразделяется на дисциплины:

• математическое программирование

• многокритериальная (векторная) оптимизация

• теория массового обслуживания

• теория игр

• теория управления запасами

• сетевое планирование

• теория расписаний

• теория графов

3.Основные понятия мп.

Математическое программирование (МП) – это математическая дисциплина, в которой разрабатываются методы отыскания экстремальных (минимум и максимум) значений целевой функции среди множества ее возможных значений, определяемых ограничениями. Нахождение оптимального решения базируется на построении математической модели и использования математического аппарата для её анализа, поэтому основные данные задачи – количественные. Оптимальное – это такое решение, которое обеспечивает экстремум (максимум, минимум) целевой функции (критерия оптимальности) при выполнении заданной системы ограничений.

Наличие ограничений делает задачи математического программирования принципиально отличными от классических задач математического анализа по отысканию экстремальных значений функции. Методы математического анализа для поиска экстремума функции в задачах математического программирования оказываются непригодными.

Термин «Модель» происходит от латинского mod, что означает копия, образ, очертание. Под моделью будем понимать такую мысленно представляемую или материально реализованную систему, которая , воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что её изучение даёт новую информацию об объекте. Модель создаётся для того, чтобы с её помощью получить новую информацию об объекте моделирования, которую без модели иметь часто трудно, а иногда и невозможно.  Границы между моделями различных типов или классов, а также отнесение модели к какому-то типу или классу чаще всего условны. Наиболее распространенные признаки, по которым классифицируются модели:

• цель использования;

• область знаний;

• фактор времени;

• способ представления.

По целям использования выделяются модели учебные, опытные, имитационные, игровые, научно-технические.  По области знаний выделяются модели биологические, экономические, исторические, социологические и т.д. По фактору времени разделяются модели динамические и статические. Статическая модель отражает строение и параметры объекта, поэтому ее называют также структурной. Она описывает объект в определенный момент времени, дает срез информации о нем. Динамическая модель отражает процесс функционирования объекта или изменения и развития процесса во времени.

По способу представления различают модели вещественные - физические, материально реализованные передающие свойства и действия реального объекта (макеты различных сооружений, модели судов, модели транспортных средств, макет планеты Земля-глобус и т.д), и мысленные – абстрактные в них используется другая форма представлений в виде чертежа, таблицы, текста и т. д. Рассмотрим несколько примеров нематериальных (абстрактных) моделей. Представьте себе железнодорожного диспетчера. Сидя у пульта управления, он следит за перемещением на экране цветных прямоугольников, условно обозначающих поезда и вагоны. Это модель ре­альной железнодорожной сортировочной станции.

При решении задач по физике, химии, геометрии, биологии ис­пользуются формулы. И это тоже модели. Они называются матема­тическими.

Другой пример нематериальной модели из истории человечества связан с представлением о нашей планете и Солнечной системе. В древности люди считали, что Земля является плоской и окружена океаном. Древние поэты и философы сочинили об этом мифы. Именно такое описание объекта «Земля» является одной из первых дошедших до нас моделей. Как видно из примеров, человек постоянно создает модели объектов. Они помогают решать и житейские проблемы, и задачи любой сложности, изобретать новые объекты. Собираетесь ли вы управлять предприятием, строить дом, перейти дорогу или сделать покупки в магазине, вы непременно сначала представляете себе это в уме и только потом действуете. То есть любой деятельности предшествует процесс создания мысленной модели.

Но вернёмся непосредственно к математической модели, так как именно она является основным объектом нашего познания.

Математическая модель – математическое описание, какого либо явления или процесса. Она представляет собой систему соотношений, определяющих зависимость характеристик процесса от его параметров. Характеристики и параметры процесса⁵ в нашей отрасли выбираются из совокупности эксплутационно - экономических показателей работы морского транспорта; при этом показатели, выбираемые в качестве характеристик, являются белее синтетическими⁶, т.е. результирующими, например прибыль, рентабельность⁷, производительность труда⁸ и т.п. Показатели, выбираемые в качестве параметров управления, бывают чаще всего простыми количественными, в зависимости от их численных значений существенно меняются значения характеристик процесса. Это, например количество рейсов судов на линиях, время работы перегрузочной техники и т.д., показатели, которые по смыслу могут быть независимыми переменными (варьируемыми параметрами).

При составлении математической модели учитываются самые существенные, самые главные факторы и условия. Поэтому модель никогда не бывает точным слепком с действительности. Если же главное в модели отражено хорошо, то говорят, что модель хорошо аппроксимирует⁹ процесс.

Мат. моделирование – это метод исследования экономических или других процессов (явлений) с помощью математических моделей.

Принятие решений основывается на формализованном описании задачи, количественном анализе влияющих факторов и достигаемых целей и включает разработку математической модели задачи, исследование модели и нахождение оптимального решения, а также анализ полученных результатов. Решение получают на основе применения методов оптимизации. Ряд методов принятия решений объединяется под названием "исследование операций".

Особенности задач МП в сравнении с классическими:

1. Математически эти задачи относят к задачам на условный экстремум. Условный экстремум - точка, в которой достигается наибольшее «max» или наименьшее «min» значение функции, при наличии ограничений на варьируемые переменные. В таких задачах, как правило классические методы нахождения экстремумов не применимы, так как экстремум здесь находится на границе рассматриваемой области, где функция недифференцируема.

2. Система ограничений представляет систему уравнений и/или неравенств (=, ≥, ≤).

3. На переменные накладывается требование неотрицательности переменных х_j ≥0.

При решении оптимизационных задач выделяют следующие этапы:

• Составление экономико-математической модели задачи;

• Нахождение оптимального решения одним из методов;

• Практическое применение найденного решения.

Составление экономико-математической задачи включает следующий алгоритм:

1. выбор переменных задачи;

2. составление системы ограничений;

3. выбор целевой функции.

Экономико – математическая модель – это абстрактное, упрощённое математическое описание какого – либо процесса при помощи математических понятий.

Математическая модель задачи МП в самом общем виде записывается:

Найти экстремум (максимум или минимум) функции

Z=f (х₁, х₂, …, х_j,…x_n) →min (max) (1)

при ограничениях

g_i (х₁, х₂, …, х_j,…x_n) {═;≤;≥} а_i (i=1,2…,m) (2)

условие неотрицательности переменных

х_j≥0 (j=1, 2,…,n) (3)

1. Функцию Z, определяющую зависимость характеристики процесса от его параметров, принято называть целевой функцией (ЦФ). ЦФ или критерий оптимальности принимает наилучшее значение из множества возможных значений. В качестве ЦФ выступает, какой либо финансовый показатель (доход, расход) или натуральный показатель (количество перевезенного груза).

2) Ограничения, которые накладываются на значения переменных (х₁, х₂, …, х_j,…x_n). Называются структурными ограничениями. Вид этих ограничений следует из условий технологических и производственных процессов. Это может быть связаны с лимитом ресурсов, пропускной способностью ж/д станции, порта, обеспечением безопасности, являться следствием физических законов и т.д. а - постоянная величина. Совокупность значений х₁, х₂, …, х_j,…x_n, изменением которых можно влиять на значения ЦФ называется планом задачи или параметрами управления.

3)Условия неотрицательности переменных, следует исходя из экономической или физической сущности переменных.

Допустимым планом называется план, который удовлетворяет системе ограничений (2) и условию неотрицательности переменных (3).

Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных х₁, х₂, …, х_j,…x_n, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции.

Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным. Среди допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, как правило, имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

Если ограничения (2) и целевая функция (1) линейны относительно переменных, то модель называют линейной. Задачи оптимизации при линейных критериях и ограничениях являются задачами линейного программирования (ЛП).

Вопросы по теме 1.

1. Кем и когда был введен термин экономико-математические методы (ЭММ)?

2. Какие науки объединил в себе термин (ЭММ)?

3. Какие великие ученые стояли у истоков исследования операций?

4. Кто участвовал в разработке вычислительного алгоритма симплекс-метода?

5. Назовите причины, из-за которых возникла необходимость применять математические методы и современную вычислительную технику?

6. Дайте понятие науки ИСО

7. Дайте понятие предмету ИСО

8. Назовите цель ИСО

9. Расшифруйте и дайте понятие аббревиатуре (ЛПР)

10. Назовите основные методологические принципы ИСО

11. Назовите основные понятия ИСО

12. На какие дисциплины подразделяется ИСО в зависимости от поставленных целей и методов их решения?

13. Дайте понятие дисциплины МП

14. Дайте определение термину «Модель»

15. Какие модели различают, приведите примеры

16. Что такое математическое моделирование?

17. Перечислите особенности задач МП в сравнении с классическими.

18. Какие этапы выделяют при решении оптимизационных задач ?

19. Дайте понятие экономико – математической модели.

20. Какой алгоритм используют при составление экономико-математической задачи?

21. Охарактеризуйте составляющие математической модели задачи МП в самом общем виде.

22. Какой план называется допустимым планом?

23. Какой план называется оптимальным?

24. Какие задачи относятся к задачам линейного программирования (ЛП)?

1 Статисти́ческие ме́тоды — методы анализа статистических данных. Выделяют методы прикладной статистики, которые могут применяться во всех областях научных исследований и любых отраслях народного хозяйства, и другие статистические методы, применимость которых ограничена той или иной сферой. Имеются в виду такие методы, как статистический приемочный контроль, статистическое регулирование технологических процессов, надежность и испытания, планирование экспериментов.

2 Исследование операций (ИО, англ. operations research — OR, также англ. management science — наука управления) — дисциплина, занимающаяся разработкой и применением методов нахождения оптимальных решений на основе математического моделирования, статистического моделирования и различных эвристических подходов в различных областях человеческой деятельности. Иногда используется название математические методы исследования операций.

3 Cлово «кибернетика» как название науки об управлении и информации в научный обиход ввел Норберт Винер.  Экономическая кибернетика рассматривает экономику, а также её структурные и функциональные части как сложные системы, в которых протекают процессы регулирования и управления, реализуемые движением и преобразованием информации.

4 Математическое программирование - область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т.е. задач на экстремум функций многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

5 Процесс-ход какого-л. явления. Совокупность последовательных действий, направленных на достижение определенного результата.

6 Синтетический показатель - обобщающий показатель, характеризующий экономический объект, экономическую систему в целом, в органичном единстве ее частей.

7 Рентабельность комплексно отражает степень эффективности использования материальных, трудовых и денежных ресурсов, а также природных богатств. Коэффициент рентабельности рассчитывается как отношение прибыли кактивам, ресурсам или потокам, её формирующим. Может выражаться как в прибыли на единицу вложенных средств, так и в прибыли, которую несёт в себе каждая полученная денежная единица. Показатели рентабельности часто выражают в процентах.

8 Производительность труда измеряется количеством продукции, выпущенной работником за какое-то время.

9 

6