elementarna_matematyka / _ндив_дуальн_ завдання / 6 ᥬ

55.Сторони квадрата розділені у відношенні т до п, причому до кожної вершини прилягає один великий і один малий відрізок. Послідовні точки поділу сполучені відрізками. Знайти площу утвореного чотирикутника,

якщо сторона даного квадрата дорівнює а.

56.У квадрат вписано інший квадрат, вершини якого лежать на сторонах першого, а сторонни утворюють зі сторонами першого квадрата кути по

30 . Яку частину площі данного квадрата складає площа вписанного ?

57.У прямокутник зі сторонами 3м і 4м вписано інший прямокутник, сторони

якого відносяться, як 1:3. Знайти сторони цього прямокутника.

58.У рівносторонній трикутник АВС зі стороною а вписано інший рівносторонній трикутник LMN, вершини якого лежать на сторонах першого трикутника і ділять кожну з них у відношенні 1: 2. Визначити площу трикутника LMN.

59.У трикутник з бічними сторонами 9 і 15 см вписано паралелограм так, що одна з його сторін дорівнює 6 см і лежить на основі трикутника, а діагоналі паралелограма паралельні бічним сторонам трикутника. Знайти іншу сторону паралелограма і основу трикутника.

60.Точки M, N, P, Q є серединами сторін AB, BC, CD, DA ромба ABCD.

Обчислити площу фігури, що є перетином чотирикутників ABCD, ANCQ і BPDM, якщо площа ромба дорівнює 100 см2 .

11

Тема 4. Коло, круг. Вписані кути

61.Два кола, радіуси яких 4 і 9, дотикаються зовні. Знайти радіус кола, яке дотикається заданих кіл та їх зовнішньої спільної дотичної.

62.Два кола, радіуси яких R і r, мають зовнішній дотик. З центра одного кола проведено дотичну до другого, а з цієї точки дотику проведено дотичну до першого кола. Знайти довжину другої дотичної.

63.Два круги, радіус кожного з яких дорівнює R, розміщено так, що центр кожного з них лежить у колові другого. Знайти радіус круга, який вписано в спільну частину цих кругів і який дотикається до лінії їх центрів.

64.У сектор, радіус якого R, а центральний кут , вписано коло. Знайти радіус кола.

65.Два кола, радіуси яких r1 і r2, мають зовнішній дотик. Знайти відстань від точки дотику до їх спільної зовнішньої дотичної.

66.До кола, радіус якого R, проведено з однієї точки дві дотичні, кут між якими дорівнює 2 . Знайти площу частини площини, що лежить між цими дотичними та меншою дугою кола.

67.Два кола радіусів R=3см та r=1cм дотикаються зовнішньо. Знайти відстань від точки дотику кола до їх спільних дотичних.

68.З точки А, що лежить поза колом, проведені до нього дотична і січна.

Відстань від точки А до точки дотику рівна 16см, а відстань від точки А до однієї з точок перетину січної з колом рівна 32 см. Знайти радіус кола,

якщо січна віддалена від його центра на 5 см.

69.Хорда кола рівна 10 см. Через один кінець хорди проведено дотичну до кола, а через другий січна, яка паралельна до дотичної. Визначити радіус кола, якщо внутрішній відрізок січної дорівнює 12 см.

70.Точка Р віддалена на 7 см від центра кола з радіусом 11 см. Через цю точку проведена хорда довжиною 18 см. Знайти довжини відрізків, на які поділяється хорда точкою Р.

12

71. Із зовнішньої точки проведені до кола січна довжиною 12 см і дотична,

довжина якої складає 2 внутрішнього відрізка січної. Знайти довжину

3

дотичної.

72.Три рівні кола радіуса r попарно дотикаються. Знайти площу трикутника,

утвореного спільними зовнішніми дотичними до цих кіл.

73.Із зовнішньої точки проведені до кола січна і дотична. Визначити їх довжини, коли відомо, що дотична менше січної на 2 см, а зовнішній відрізок січної дорівнює 4,5 см.

74.З однієї точки проведені до кола дві дотичні. Довжина кожної з них 12 см,

а відстань між точками дотику 14,4 см. Визначити радіус кола.

75.Із точки М до кола проведена січна МАВ, яка проходить через центр кола

О, і січна MCD, зовнішня частина якої дорівнює радіусу кола. Знайти кут між січними, якщо центральний кут DOB дорівнює 72 .

76.Спільну хорду двох кіл, що перетинаються, видно з їх центрів під кутами

90 і 60 . Знайти радіуси кіл, якщо відстань між їх центрами рівна 3 1.

77.У кут, що дорівнює 60 , вписано два кола, які зовні дотикаються одне одного. Радіус меншого кола рівний r. Знайти радіус більшого кола.

78.Три кола різних радіусів попарно дотикаються одне одного. Відрізки, що з’єднують їх центри, утворюють прямокутний трикутник. Знайти радіус найменшого кола, якщо радіуси двох інших кіл рівні 6 см і 4 см.

79.Січна у 6,25 рази більша своєї зовнішньої частини. У скільки разів ця січна більша дотичної, проведеної з тієї ж точки?

80.Із точки, яка віддалена від центра кола на 8,5 см, проведена січна так, що вона ділиться колом у відношенні 3:2, рахуючи від зовнішньої точки.

Знайти довжину цієї січної, якщо радіус кола дорівнює 3,5 см.

13

Тема 5. Многокутники, вписані в коло. Многокутники,

описані навколо кола

81.Вершини трикутника сполучено з центром вписаного в нього кола. Площі утворених трикутників 28 см2, 60 см2, 80 см2 . Знайти сторони трикутника.

82.У рівнобедреному трикутнику центр вписаного кола поділяє його висоту у відношенні 12:5, а бічна сторона дорівнює 60 см. Знайти основу трикутника.

83.Висота рівнобедреного трикутника дорівнює 20 см, а основа трикутника відноситься до його бічної сторони, як 4:3. Знайти радіус кола, вписаного в цей трикутник.

84.Знайти катети прямокутного трикутника, якщо їх відношення 20:21, а

різниця між радіусами описаного та вписаного кіл 17 см.

85.У коло радіуса R вписано рівнобедрений трикутник, сума висоти і основи якого дорівнює діаметру кола. Знайти висоту трикутника, опущеного на його основу.

86.У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює с, а один із гострих кутів

. Визначити радіус кола, вписаного в цей трикутник.

87.У рівнобедреному трикутнику центр вписаного кола поділяє висоту у відношенні 17:15. Основа трикутника дорівнює 60 см. Знайти радіус кола.

88.Знайти кути прямокутного трикутника, якщо радіуси його вписаного та описаного кіл відносяться як 5:2.

89.З вершини прямого кута трикутника на його гіпотенузу опущено перпендикуляр У кожен з утворених трикутників вписано кола, радіуси яких дорівнюють 3 см і 4 см. Знайти сторони трикутника.

90.Знайти площу трикутника за кутом , протилежною йому стороною а і

радіусом вписаного кола r.

91.У круг, радіус якого дорівнює R, вписано квадрат, а в цей круг вписано другий квадрат і т. д. до нескінченності. Знайти границю площ усіх кругів.

14

92.Навколо кола радіуса R описано рівнобічну трапецію, менша основа якої дорівнює 2а. Знайти діагональ трапеції.

93.У рівнобічній трапеції, описаній навколо кола, основи дорівнюють 36 см і 1

м. Визначити радіус кола.

94.Навколо кола, радіус якого r, описано рівнобічну трапецію. Паралельні сторони її відносяться, як m : n. Знайти сторони цієї трапеції.

95.У коло радіуса R вписано трапецію, одна основа якої збігається з діаметром,

а друга – стягує дугу . Знайти площу трапеції.

96.Навколо кола описано трапецію, бічні сторони якої утворюють з більшою основою гострі кути і . Визначити радіус кола, якщо площа трапеції дорівнює Q.

97.У ромб зі стороною а і гострим кутом 60 вписано коло. Визначити площу прямокутника, вершини якого лежать у точках дотику кола зі сторонами ромба.

98.Площа рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, рівна S. Визначити бічну сторону цієї трапеції, коли відомо, що гострий кут при основі трапеції

дорівнює . 6

99.До кола радіуса R проведено 4 дотичні, що утворюють ромб, більша діагональ якого рівна 4R. Визначити площу кожної з фігур, обмежених двома дотичними, які виходять з спільної точки, і меншою дугою кола, що лежить між точками дотику.

100.Навколо кола з радіусом 2 см описана рівнобічна трапеція, площа якої рівна

20 см2 . Знайти сторони трапеції.

15

Тема 6. Комбінації плоских фігур

101.У трикутник вписано паралелограм так, що одна його сторона лежить на основі трикутника, а діагоналі відповідно паралельні його бічним

сторонам. Основа трикутника дорівнює 45 см, а бічні сторони 39 см і 48

см. Знайти сторони паралелограма.

102.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 3 і 4. Через середину меншого катета і середину гіпотенузи проведено коло, яке дотикається гіпотенузи. Знайти площу круга, обмеженого цим колом.

103.У прямокутний трикутник вписано квадрат так, що одна з його сторін лежить на гіпотенузі. Відрізки гіпотенузи від вершини трикутника до вершини квадрата дорівнюють m і n. Знайти площу квадрата.

104.У коло радіуса r вписано рівнобедрений трикутник, сума висоти і основи якого дорівнює діаметру кола. Знайти висоту трикутника.

105.На сторонах прямокутного трикутника побудовано квадрати, а їх вершини,

які не збігаються з вершинами трикутника, послідовно сполучені між собою. Знайти площу утвореного шестикутника, якщо катети трикутника дорівнюють а і b.

106.Катети АС і ВС прямокутного трикутника дорівнюють відповідно 25 см і 8

см. З точки С як з центра радіусом СВ описано дугу, яка відтинає від гіпотенузи частину ВD. Знайти довжину ВD.

107.Знайти сторону квадрата, вписаного в сегмент круга радіуса R, який стягує дугу .

108.Центри чотирьох кругів, радіуси яких дорівнюють стороні а квадрата,

розміщені у вершинах квадрата. Знайти площу частини площини, спільної для цих кругів.

109.З вершини прямого кута трикутника на його гіпотенузу опущено перпендикуляр. В кожен з утворених трикутників вписано кола, радіуси яких дорівнюють 3 см і 4 см. Знайти сторони трикутника.

16

110.Площі трикутників, які прилягають до основ трапеції і утворені в результаті перетину її діагоналей, дорівнюють 9 дм2 і 16 дм2. Знайти площу трапеції.

111.Сторона правильного трикутника дорівнює а. З його центра радіусом a

3

описано коло. Визначити площу частини трикутника, що лежить зовні

кола.

112.У прямокутній трапеції, висота якої дорівнює h, на стороні, не перпендикулярній до основи, як на діаметрі, описано коло, яке дотикається до протилежної сторони трапеції. Знайти площу прямокутного трикутника,

катетами якого є основи трапеції.

113.Кожна сторона правильного трикутника розділена на три рівні частини і відповідні точки поділу, рахуючи в одному напрямку, з’єднані між собою.

В утворений правильний трикутник вписано коло радіуса 6 см. Визначити сторони трикутників.

114.Дано трикутник з сторонами 12 см, 15 см і 18 см. Описано коло, яке дотикається до обох менших сторін і має центр на більшій стороні. Знайти відрізки, на які центр кола ділить більшу сторону трикутника.

115.У спільну частину двох кіл, які перетинаються, вписано ромб з діагоналями

12 см і 6 см. Знайти радіуси кіл.

116.Дано квадрат, дві вершини якого лежать на колові радіуса , а дві інші вершини лежать на дотичній до цього кола. Знайти діагональ квадрата.

117.Спільна хорда двох кіл слугує для одного з кіл стороною вписаного квадрата, а для другої – стороною правильного вписаного шестикутника.

Знайти відстань між центрами кіл, якщо радіус меншого з них рівний r.

118.Поза квадратом на його сторонах побудовані правильні трикутники і їх вершини послідовно з’єднані. Визначити відношення периметра отриманого таким чином чотирикутника до периметра даного квадрата.

17

119.У прямокутний трикутник з кутом 60 вписано ромб зі стороною 6 см, так,

що кут в 60 у них спільний і всі вершини ромба лежать на сторонах трикутника. Знайти сторони трикутника.

120.У коло з діаметром, рівним 12 , вписано правильний трикутник. На його висоті, як на стороні, побудовано інший правильний трикутник, в який вписано коло. Знайти радіус цього кола.

18

Тема 7. Задачі на побудову

121.Побудувати чотирикутник за двома суміжними сторонами, кутом між ними, діагоналлю, що виходить з вершини цього кута і кутом між діагоналями.

122.У дане коло вписати трикутник, одна із сторін якого проходить через дану точку M і два кута дорівнюють та .

123.Дано коло і точку A. Провести хорду даної довжини так, щоб з точки A її було видно під даним кутом .

124.У дане коло вписати прямокутник так, щоб дві його сторони проходили через дві дані точки.

125.Дано два кола та їх спільна зовнішня дотична. Знайти на ній точку, з якої обидва кола видно під кутами, сума яких дорівнює даному куту.

126.Побудувати трикутник, якщо дано периметр, радіус вписаного кола і один з кутів.

127.Побудувати трикутник, якщо дано периметр, один з кутів і висоту,

опущену з вершини цього кута.

128.Побудувати прямокутний трикутник, якщо дано один катет і проекція іншого катета на гіпотенузу.

129.Побудувати трикутник, якщо дано два кути і суму однієї сторони і висоти,

на неї опущеної.

130.Побудувати трикутник, якщо дано дві сторони і різниця протилежних до них кутів.

131.Через точку A перетину двох кіл провести січну BAC так, щоб різниця хорд BA AC дорівнювала даному відрізку 2a.

132.Дано два концентричних кола і точка B. Знайти на цих колах по одній точці X та Y таких, щоб довжина XY та кут YBX були заданої величини.

133.Побудувати прямокутний трикутник за сумою катетів та висотою,

опущеною на гіпотенузу.

19

134.У дане коло вписати рівнобедрений трикутник, якщо відомо довжину медіани, що виходить з кінця основи.

135.Всередині трикутника ABC дано точку M , провести через неї пряму, яка розділить прощу трикутника навпіл.

136.Побудувати трикутник, якщо дано дві сторони і рівновеликий йому квадрат.

137.Дано дві прямі, що перетинаються, і коло. Побудувати коло, яке дотикається до даних прямих і даного кола.

138.Побудувати трикутник, якщо дано три точки, що є серединами його сторін.

139.Побудувати ABC, якщо відомо медіану BD та радіуси кіл, описаних навколо трикутників ABD та CBD .

140.Побудувати паралелограм за даною стороною, кутом та діагоналлю.

20