- •Міністерство освіти і науки України
- •Національний університет харчових технологій
- •Інформаційні технології в інженерних розрахунках
- •Методичні вказівки
- •Предмет, мета і завдання дисципліни
- •Лабораторна робота №1
- •Приклад виконання лабораторної роботи.
- •Лабораторна робота №3 на тему: „Інтерполяція функцій”.
- •Теоретичні відомості.
- •Приклад виконання лабораторної роботи.
- •Лабораторна робота №4 на тему: „Апроксимація функцій. Метод найменших квадратів”.
- •Теоретичні відомості.
- •Емпірична функція будується в два етапи:
- •Визначення параметрів емпіричної залежності. Метод найменших квадратів.
- •Визначення параметрів лінійної емпіричної залежності.
- •Визначення параметрів квадратичної емпіричної залежності.
- •Приклад виконання лабораторної роботи.
- •Порядок виконання в ms Excel:
- •Квадратична залежність
- •Приклад визначення параметрів емпіричних залежностей у MathCad.
- •Лабораторна робота №5
- •Теоретичні відомості.
- •Методи уточнення коренів.
- •А) метод поділу відрізка навпіл (бісекцій)
- •Б) метод Ньютона (дотичних)
- •В) метод простої ітерації
- •Приклад виконання лабораторної роботи.
- •Лабораторна робота №6
- •Теоретичні відомості.
- •Формула прямокутників.
- •Формула Симпсона.
- •Лабораторна робота №7 на тему: „ Розв’язання звичайних диференціальних рівнянь ”.
- •Теоретичні відомості.
- •Контрольні питання
- •Додатки Контрольні завдання
- •Література
- •Інформаційні технології в інженерних розрахунках Методичні вказівки
Лабораторна робота №7 на тему: „ Розв’язання звичайних диференціальних рівнянь ”.
Мета роботи: вивчення методів чисельного диференціювання та набуття навичок рішення задачі Коші за допомогою ЕТ Excel та МП MathCad.
Теоретичні відомості.
Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо невідома функція є функцією однієї змінної, і диференціальним рівнянням в частинних похідних, якщо невідома функція є функцією багатьох змінних.
Таким чином, звичайним диференціальним рівнянням називають рівняння виду:
, (38)
де x – незалежна змінна; y = y(x) – невідома функція; відповідно похідні цієї функції порядку 1, 2,…,n.
Розв’язком диференціального рівняння (38) на деякому інтервалі (a;b) називається диференційована на цьому інтервалі функція y = y(x), яка при підстановці в рівняння (38) перетворює його в тотожність по x на (a;b).
Кожне диференціальне рівняння має безліч розв’язків . Щоб знайти частинний розв’язок рівняння необхідно, задати додаткові умови. Залежно від способу задання додаткових умов розрізняють два типи задач: задача Коші і крайова задача.
Якщо додаткові умови задаються в одній точці, то така задача називається задачею Коші, а ці умови початковими умовами.
Якщо додаткові умови задаються більш ніж в одній точці, то така задача називається крайовою задачею, а умови крайовими або граничними.
В лабораторній роботі набудемо навичок рішення задачі Коші.
Задача Коші полягає в тому, щоб знайти розв’язок y(x) звичайного диференціального рівняння першого порядку
, (39)
який задовольняє початкову умову
. (40)
З погляду геометрії розв’язати задачу Коші це означає виділити з множини інтегральних кривих (розв’язків) ту, яка проходить через задану точку .
Для розв’язання задачі Коші широко використовують чисельні методи, які дають наближений розв’язок диференціального рівняння у вигляді таблиці значень. В основі цих методів лежить покроковий принцип визначення шуканої функції. Найпоширенішими є методи Ейлера та Рунге – Кутта.
Метод Ейлера . При пошуку чисельного розв’язку задачі (39),(40) відрізок інтегрування [x0, b] розбивають на n рівних частин. Довжина кожної із утворених частин дорівнює . Точки розбиття будуть:, якщо відоме значенняв точці.
Наближене значення в точціобчислюється за формулою:
(41)
Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге (правило подвоєння):
, (42)
де – значення розв’язку в точці , отримане за методом Ейлера з крокомh, - значення розв’язку в тій же точціx, але отримане з кроком рівним 2h.
Метод Рунге – Кутта. Метод Рунге – Кутта четвертого порядку дає рішення задачі Коші більш точне ніж в попередньому методі.
Відрізок інтегрування [x0, b] розбивається на n рівних частин. Довжина кожної із утворених частин дорівнює . Точки розбиття будуть:, якщо відоме значенняв точці.
Наближене значення в точціобчислюється за формулами:
, (43)
де
Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге (правило подвоєння):
, (44)
де – значення розв’язку в точці , отримане за методом Рунге – Кутта з крокомh, - значення розв’язку в тій же точціx, але отримане з кроком рівним 2h.
Приклад виконання лабораторної роботи.
Завдання: Розв’язати задачу Коші :
на відрізку інтегрування [1;2] для n=5, n=10 та n=20.
Рішення задачі реалізувати в середовищах ЕТ Excel та MathCad.
Виконання:
Реалізація метода Ейлера в середовищі ЕТ Excel.
Ввести в комірку А1 текст Рішення звичайних диференціальних рівнянь методом Ейлера.
Ввести у відповідні комірки текстові дані:
Комірка: Текст:
А2 n=5
D2 n=10
G2 n=20
A3 x
B3 y(x)
D3 x
E3 y(x)
G3 x
H3 y(x)
Ввести в комірку А4 значення x0 (значення 1).
Ввести в комірку А5 значення x0+h (значення ).
Виділити комірки А4:А5 і перетягнути маркер заповнення до комірки А9 для заповнення таблиці значеннями x.
В комірку В4 ввести початкове значення y0 (значення 0,3).
В комірку В5 ввести формулу методу Ейлера ( =B4+(A5-A4)*(SIN(A4)+0,5*B4^2) ).
Скопіювати формулу з комірки В5 в комірки В6:В9 .
Аналогічно заповнити таблиці для n=10 та n=20 (п.1.3-п.1.8).
В режимі формул таблиця має вигляд
Реалізація метода Рунге-Кутта в середовищі ЕТ Excel.
Ввести в комірку А1 текст Рішення звичайних диференціальних рівнянь методом Рунге – Кутта.
Ввести у відповідні комірки текстові дані:
Комірка: Текст:
A3 x
B3 y(x)
Ввести в комірку А4 значення x0 (значення 1).
Ввести в комірку А5 значення x0+h (значення ).
Виділити комірки А4:А5 і перетягнути маркер заповнення до комірки А14 для заповнення таблиці значеннями x.
В комірку В4 ввести початкове значення y0 (значення 0,3).
Ввести в комірки C3:F3 відповідні заголовки К1, К2, К3, К4.
Ввести в комірку С4 формулу для К1 (=(A5-A4)*(SIN(A4)+0,5*B4^2) ).
Скопіювати цю формулу в комірки С5:С13.
Ввести в комірку D4 формулу для К2 (=(A5-A4)*(SIN(A4+(A5-A4)/2)+0,5*(B4+C4/2)^2) ).
Скопіювати цю формулу в комірки D5:D13.
Ввести в комірку E4 формулу для К3 (=(A5-A4)*(SIN(A4+(A5-A4)/2)+0,5*(B4+D4/2)^2)).
Скопіювати цю формулу в комірки E5:E13.
Ввести в комірку F4 формулу для К4 ( =(A5-A4)*(SIN(A4+(A5-A4))+0,5*(B4+E4)^2) ).
Скопіювати цю формулу в комірки F5:F13.
В комірку В5 ввести формулу методу Рунге – Кутта ( =B4+1/6*(C4+2*D4+2*E4+F4) ).
Скопіювати цю формулу в комірки B6:B14.
Реалізація рішення задачі Коші в середовищі MathCad.
Для наближеного чисельного розв’язування задачі Коші МП MathCad має вбудовану функцію rkfixed(y0,a,b,n,f), що реалізує метод Рунге – Кутта з фіксованим кроком. Звертання до неї здійснюється оператором
,
де y0 початкове значення розв’язку;
a,b кінці інтервалу, на якому потрібно обчислити розв’язок рівняння (a=x0);
n кількість частин, на які розбивають відрізок [a,b];
f ім’я правої частини диференціального рівняння (39).
Розв’язки, що отримаємо для випадків коли n=5, n=10 та n=20 відповідно назвемо Y1, Y2, Y3. встановимо початкове значення індексів масивів рівним одиниці оператором
Задамо початкову умову:
Запишемо праву частину заданого диференціального рівняння у вигляді
Зауваження: зверніть увагу на те, що в правій частині запису ім’я невідомої функції з індексом y1. Це тому, що вбудовані в MathCad процедури розв’язування диференціальних рівнянь призначені для систем. В нашому випадку маємо “систему” із одного рівняння із однією невідомою функцією y1(x). В лівій же частині запису початкової умови y01 пишемо також з індексом
Знайдемо три розв’язки задачі Коші (n=5, n=1 та n=20)
Результат розв’язування рівняння подається у вигляді таблиці (матриці)
При побудові графіків отриманих розв’язків, в ролі аргументу виступають перші стовпчики таблиць Y1<1>, Y2<1>, Y3<1>, а на осі ординат вказуємо значення других стовпчиків (значення розв’язку рівнянь у відповідних вузлах) Y1<2>, Y2<2>, Y3<2> .
Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге