Лабы_идентификация

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНІЙ УНІВЕРСИТЕТ

ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

ІДЕНТИФІКАЦІЯ ТА МОДЕЛЮВАННЯ ОБ’ЄКТІВ АВТОМАТИЗАЦІЇ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт

для студентів за напрямом підготовки 6.050202 “Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”

денної та заочної форм навчання

Київ НУХТ 2011

Ідентифікація		та	моделювання	об’єктів автоматизації. Методичні
вказівки	до виконання		лабораторних	робіт для студентів за напрямо
підготовки	6.050202	“Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”

денної та заочної форм навчання/ Уклад.: В.Д. Кишенько, С.А. Киричук, Є.С. Проскурка. – К.: НУХТ, 2011. – 19 с.

Рецензент: Б.М. Гончаренко, д-р. техн. наук, професор

Укладачі: В.Д. Кишенько, канд. техн. наук

С.А. Киричук Є.С. Проскурка

Відповідальний за випуск А.П. Ладанюк, д-р. техн. наук, проф.

Видання подається в авторській формі

2

Лабораторна робота №1 Побудова математичних моделей статичних, стохастичних об’єктів

управління методом найменших квадратів

Мета роботи: Освоїти методику проведення пасивного експерименту та обробки експериментальних даних за методом найменших квадратів.

	Загальні відомості
Статичною	характеристикою (математичною			моделлю	статики)
об’єкта управління називається функціональна		залежність вихідних			величин
об’єкта від вхідних діянь (збурення / управління)		в усталеному режимі роботи
об’єкта, коли всі його змінні є сталими в часі.
Стохастичним об’єктом називається об’єкт,			в	якому всі його	змінні
змінюються як випадкові процеси. Ці випадкові процеси підкоряються певним
статистичним закономірностям.
Більшість технологічних об’єктів управління є стохастичними об’єктами,
в яких змінні є випадковими процесами з нормальним(Гаусовим) законом
розподілу. У цьому випадку може бути виявлена в процесі експериментута
обробки експериментальних даних статистична			закономірність– рівняння

регресії, яка відтворює статистичну залежність математичного сподівання вихідної величини від вхідних дій.

Такі

моделі (закономірності)

отримуємо

в

результаті

обробки

експериментальних даних пасивного чи активного експерименту.

Експериментом

називають

взаємодію

дослідника

з

об’єк

дослідження,

в

результаті

якої

шляхом

вимірювання

отримують

дан

спостереження в кількісній чи якісній формі – експериментальні дані.

Пасивний експеримент

полягає

у спостережені

за

функціонуванням

об’єкта, шляхом вимірювання всіх його змінних, що входять в модель без

нанесення на об’єкт спланованих діянь.

Одним з методів побудови математичних

моделей таких

стохастичних

об’єктів

є метод

найменших

квадратів. Метод

найменших

квадратів–

це

метод параметричної ідентифікації об’єктів управління.

Ідентифікація –

це

процес побудови

математичної моделі об’єкта

управління за експериментальними даними та деякою апріорною(до дослідів)

інформацією

(дані

про

особливості

об’єкта: детермінований-стохастичний,

лінійний-нелінійний, неперервний-дискретний, стаціонарний-нестаціонарний;

інформація про алгоритм та критерії ідентифікації), при цьому математична

модель повинна бути оптимальною, забезпечуючи екстремальне значення

критерію адекватності.

Адекватність –

це

міра відповідності

моделі об’єкту. В більшості

випадків

оцінюється

за

допомогою

показників-критеріїв

адекватності, які

зв’язують вихідні змінні моделі та об’єкта.

Математичні моделі об’єктів управління складаються з двох основних компонентів:

3

-	структури S;
-	параметрів цієї структури АS.
	M <S, AS >	(1.1)
Структура математичної моделіS являє		собою сукупність елементів

(вхідні та вихідні змінні), форм зв’язків між цими елементами, типів зв’язків. Тип зв’язку лінійний:

у = а0+а1х1+а2х2 де у, х1, х2 – елементи; а0, а1, а2 – параметри;

Тип зв’язку лінійний, степеневий:

у = а0+а1х1+а2х12 де у, х1– елементи; а0, а1, а2 – параметри;

Тип зв’язку показниковий.

(1.2)

(1.3)

			у = а0х1а1				(1.4)
де у, х1– елементи; а0, а1 – параметри;
Параметрами структури є коефіцієнти рівняння, константи, за допомогою
яких кількісно оцінюється взаємозв'язок між змінними.
При	параметричній		ідентифікації		структура	математичної		моделі
визначається неформальним шляхом, частіше всього апріорі(до дослідів), на
основі досвіду застосування на об’єктах подібного класу, або шляхом
висунення	декількох	структур-претендентів, остаточний				вибір	найбільш
ефективної з них здійснюється в процесі обробки даних.
Метод найменших квадратів є оптимізаційною задачею, критерієм
оптимальності якої є вираз:		п
		Ф= å ( у іе - у ім ) 2 ¾¾® min					(1.5)
де і – номер експерименту;		і =1
n – загальна кількість експериментів;
уеі, умі –	відповідно,	значення		вихідної	величини	об’єкта, отримані в
результаті і-того експерименту			та розраховані за математичною моделлю при
значеннях вхідних дій, отриманих на і-тому експерименті.
У випадку відомої структури рівняння (1.5) набуває вигляду:
		п		r r			(1.6)
	Ф= å ( у іе - f j			( A j ; X ie )) 2	¾¾® min

і=1

Впостановці (1.6) метод найменших квадратів є задачею нелінійного

програмування.

У випадку, якщо функція fj є диференційованою, тоді задачу (1.6) можна вирішити градієнтними методами чи методами класичного аналізу. Якщо функція fj буде лінійною за одним параметром, то:

п
Ф= å ( у іе - ( а 0 - а1 х )) 2 ¾¾® min					(1.7)
і =1
Для вирішення задачі (1.7) знаходимо часткові похідні та прирівнюємо їх
до нуля:
	дФ	= 0;	дФ	= 0;	(1.8)
	да0		да1

4

Отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, розв'язком якої є:

		n	n	n	n			n	n	n
а		å yi åxi2 - åxi yi åxi				; а		nå yi xi - åxi å yi			(1.9)
	=	i=1	i=1	i=1	i=1		=	i =1	i=1	i=1
			n	n				n	n
0						1
			nåxi2 - (åxi )2					nåxi2 - (åxi )2
			i=1	i=1				i=1	i=1

Опис лабораторної установки

Лабораторна установка складається із двох стендів рис. 1.1. На правому стенді розміщені вольтметр 1, регулюючий мікропроцесорні контролери Р-130 2, ПРОТАР 3, мнемосхема 4, електронний імітатор об’єкта 5. На лівому стенді знаходяться потенціометр -КСП4 6, вольтметр 7, амперметр 8, автотрансформатор 9. Нижче розміщена панель тумблерів керування 10.

Рис. 1.1. Схема лабораторної установки.

Порядок виконання роботи

1.Ввімкнути тумблер “возмущение” і вимкнути тумблер “сброс”. Потенціометром “возмущение” змінити напругу, яка контролюється вольтметром 1, у випадковій послідовності в межах від 2,5 до 5 В (вхідна змінна Х, В).

2.Слідкувати на потенціометрі 6 за змінюванням вихідної змінної Y (температура на виході об’єкта) до закінчення перехідного процесу.

3.Ввімкнути тумблер “сброс” і перейти до пункту 1.

5

4.Записати отримані експериментальні дані в таблицю1.1, сформувавши малу

та

велику вибірки (розмірність вибірки задається викладачем).

5.Побудувати кореляційні поля для експериментальних даних малої та великої вибірок.

6.Розрахувати параметри математичної моделі у = а0+а1х1 за формулами 1.9; визначити значення критерію Ф.

7.Розрахувати параметри математичних моделей у = а0+а1х1 та у = а0+а1х1+а2х12

звикористанням програм MNK11.bas та MNK22.bas для малої та великої вибірки; визначити значення критерію Ф для кожної моделі.

8.Проаналізувати за критерієм Ф отримані математичні моделі; зробити висновок

про адекватність отриманих моделей в залежності від величини вибірки експериментальних даних та структури моделей.

Таблиця 1.1

№екс			1		2		3		4		5		6		7		8		9		10		11		12		13		14
Xei,В
Yei,
	°С
Yмi,л
Yei,нл
Yi,не
	15	16		17		18		19		20		21		22		23		24		25		26		27		28		29

30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45

Контрольні запитання

1.Що таке експеримент і чому він полягає?

2.Дайте визначення поняттю ідентифікації об’єктів управління.

3.Що передбачає методика проведення пасивного експерименту?

4.Поясніть алгоритм методу найменших квадратів.

5.Поясніть поняття про структуру та параметри математичної моделі

6

Лабораторна робота №2 Побудова математичної моделі статичного об'єкта управління методом

повного факторного експерименту Мета: освоїти методику активного експерименту та статистичного аналізу

результатів експерименту.

Загальні відомості

Активний експеримент передбачає нанесення на об'єкт спланованих діянь та у вимірюванні змінних, що входять в математичну модель.

Активні експерименти поділяють на 2 класи:

-“класичний”;

-методи планування експерименту.

Класичний метод полягає в тому, що інтервал змінювання вхідних дій (факторів) неформалізованим чином розбивається на декілька підінтервалів, кількість яких визначається дослідником, виходячи з міркувань точності

відтворення	властивостей	об, ’єктабільш	детального	дослідження
окремих ділянок області функціонування об'єкта тощо.

Експеримент проводять, встановивши стабільне значення вхідних дій на деякому рівні. Ці значення повинні знаходитися у вибраному інтервалі.

Експеримент	виконують на	всіх визначених рівнях		факторів з декількома
повторами, з метою усунення систематичної похибки. Такий експеримент
характеризується значною		кількістю	дослідів, але	дає	змогу для деяких
об'єктів встановити властиві для цього об’єкта закономірності.
Методи планування експерименту дозволяють різко скоротити кількість
експериментів за рахунок того, що рівні факторів в кожному експерименті
теоретично	обґрунтовані	і математична модель має однакові показники
ефективності (точність, адекватність)			в порівняні з	моделями, отриманими
класичним методом. Остання теза справедлива у випадку,					якщо математична

модель за своєю структурою є типовою: лінійна, показникова, експоненціальна тощо, тобто тоді коли вона є диференційованою та гладкою.

Експеримент виконують згідно з планом експерименту, що являє собою матрицю планування експерименту. Ці матриці експерименту є універсальними, тому що координати рівнів факторів наведені у відносних одиницях по відношенню до центру плану експерименту.

Вбудь-якому експерименті використовуються крайні значення факторів,

атакож так звані “зоряні точки”, координати яких визначаються за спеціальними формулами в залежності від типу математичної моделі.

Вихідна змінна в методах плануванняексперименту називається функцією відгуку.

7

			Центр плану експерименту
X2	(-1;+1)		(+1;+1)	Область	DХ і = Х імах - Х іном
X2max				існування	Х імах - Х іном		= +1
X1ном				моделі.	Х імах	- Х іном
X2min	(-1;-1)		(+1;-1)		Х іміп - Х іном		= -1
					мах	ном
	X		X		Х і	- Х і
	Х1min	X1ном	Х1max	Х1

Рис. 2.1. Ілюстрація плану повного факторного експерименту.

Кількість експериментів при повному факторномуексперименті визначається типом математичної моделі і повинна забезпечити комбінацію всіх можливих рівнів фактору. Наприклад, при лінійній моделі кількість експериментів в одній повторності N=2n, де n – кількість факторів.

	Для	того,		щоб розрахувати точність моделі потрібно провести
статистичний аналіз отриманих результатів. Як правило, експерименти
проводять з кількістю повторів не менше двох.									Таблиця 2.1
			План			Вихідні змінні			Розрахунок
	№	експерименту
	п/п	Х1		Х2	Yu1		Yu2	Yu3	Ÿu	Ŷu
	1	+1		+1
	2	-1		+1
	3	+1		-1
	4	-1		-1

Опис лабораторної установки

Дослідження проводяться на тепловому об'єкті (рис. 2.2), що являє собою коліноподібну трубу, в якій знаходиться електричний нагрівач в яку вентилятором подається холодне повітря. Вихідною змінною (функцією відгуку) Y є температура на виході з труби.

8

X2(φ)

Першим фактором є напруга, що

подається на нагрівальний елемент Х1 (u),

другим фактором є швидкість обертання

вентилятора Х2(φ).

отримати

лінійн

Потрібно

X1(u)

математичну модель такого вигляду:

Y=a0+a1X1+a2X2

фактор

Враховуючи

те, що

перший

(напруга)

змінюється

за

допомогою

ТЕ

У(t)

пневматичного

виконавчого

механізму,

положення якого визначається тиском

стисненого повітря, визначаємо значення

Рис. 2.2. Структурна схема

рівнів факторів в % ходу виконавчого

теплового об’єкта.

механізму, яким відповідають певні

значення тиску повітря, що подається на виконавчий механізм.

Х1= 50 % Х.ВМ

0 %

100 %

Х1 =20% Х. ВМ.

1

1

(+1) Х1мах =90% ~ 0,76 кгс/см2

0,2 кгс/см2

1,0 кгс/см2

(-1) Х1мах =30% ~ 0,44 кгс/см2

Швидкість вентилятора змінюється змінюванням положення

потенціометра

Х2

ном –

друга поділка,

Х2мах – перша поділка,

Х2мін – третя поділка.

Лабораторна установка (рис. 2.3) складається із теплового об’єкта, що

являє собою трубу9 з розміщеними в середині нагрівними елементами10.

Повітря в трубу подається вентилятором8. Вихідною величиною об’єкта є

температура

повітря

на

виході

з

труби, а

факторами – зміна

напруги, що

подається

на

нагрівні

елементи10 та зміна витрати повітря, пропорційна

частоті обертів п вентилятора, яка змінюється за допомогою змінного резистора

3. Напруга живлення нагрівника змінюється автотрансформатором7, повзун

якого переміщується мембранним виконавчим механізмом11. Температура в

об’єкті вимірюється термометром опору 12 в комплекті з автоматичним мостом

КСМ-3 1, що має пневмовихід, тобто виконує роль ЕПП. Регулятор ПР 3.31 (ПІ-

регулятор) встановлений на задній стінці вториного приладу2 типу ПВ10.1Э;

справа

розміщений

мікропроцесорний

регулятор 4.

Стенд

вмикається

за

допомогою

вимикача 6,

пов’язаного з сигнальною лампою5. Швидкість

обертання вентилятора регулюється перемикачем 3.

9

Рис. 2.3. Схема лабораторного стенду.

Порядок виконання роботи

1. Згідно з планом експерименту встановити за допомогою задатчика2 значення

фактора Х1, а за допомогою резистора 3 значення фактора Х2.

2.Після закінчення перехідного процесу записати значення функції відгуку Y в таблицю 2.1.

3.Експерименти повторити в трьох повторах згідно із планом експерименту.

Обробка експериментальних даних і їх статистичний аналіз.

2.1. Оцінка відтворюваності експериментальних даних.

Відтворюваність експериментальних даних вказує на те, чи вибрані нами фактори в діапазоні їх змінювання є впливовими на функцію відгуку чи ні.

Розрахувати математичні сподівання функції відгуку у кожном експерименті

m

å yuk

	y u	=	k =1	(2.1)
			m

10