- •1) Електричний заряд. Електричне поле. Закон Кулона. Напруженість та індукція електричного поля. Принцип суперпозиції електричних полів
- •2) Потік вектора напруженості та індукції електричного поля. Теорема Остроградського-Гауса
- •3)Розрахунок електричних полів за допомогою теореми Остроградського-Гауса
- •5) Електричне поле нескінченої рівномірно зарядженої прямої.
- •6) Електричне поле нескінченної рівномірно зарядженої площини.
- •7)Робота сил електричного поля. Теорема про циркуляцію вектора напруженості електричного поля. Потенціал
- •7)Продовження
- •8) Розрахунок потенціалу електричного поля деяких заряджених тіл
- •9). Потенціал поля нескінченної рівномірно зарядженої прямої
- •10). Потенціал поля нескінченої рівномірно зарядженої площини
- •11)Провідники в електричному полі. Електроємність відокремленого провідника
- •12) Конденсатори. Електроємність конденсатора. З’єднання конденсаторів
- •12)Продовження
- •14)Електричний струм. Закон Ома для ділянки кола. Закон Ома в диференціальній формі
- •14)Продовження
- •15)Робота і потужність струму. Закон Джоуля-Ленца
- •16) Магнітне поле і його характеристики. Дія магнітного поля на контур зі струмом. Принцип суперпозиції. Класифікація магнетиків
- •17)Закон Біо-Савара-Лапласа. Магнітне поле прямолінійного та колового струмів
- •18)Циркуляція вектора напруженості магнітного поля. Вихровий характер магнітного поля. Поле довгого соленоїда
- •19)Дія магнітного поля на струм; сила Ампера
- •21)Явище електромагнітної індукції. Закон Фарадея. Правило Ленца
- •22)Магнітне поле в речовині
3)Розрахунок електричних полів за допомогою теореми Остроградського-Гауса
Для розрахунку електричного поля створеного зарядженим тілом необхідно розбити це тіло на точкові заряди і визначити напруженість електричного поля в деякій точці простору за принципом суперпозиції. Для багатьох тіл такі розрахунки математично досить складні. Для деяких симетричних тіл розрахунок електричного поля значно спрощується при використанні теореми Остроградського-Гауса. Розглянемо деякі приклади таких розрахунків.
а) Електричне поле рівномірно зарядженої кулі.
Розглянемо кулю радіусом R рівномірно заряджену по об’єму з об’ємною густиною заряду
. (3.27)
Для рівномірного розподілу заряду можна вважати що
. (3.28)
Оскільки об’єм кулі рівний
, (3.29)
то підставивши (3.29) в (3.28) одержимо:
. (3.30)
Виберемо замкнену поверхню S у формі сфери радіусом r, центр якої співпадає з центром зарядженої кулі, як зображено на рис. 3.5. Розглянемо випадок коли , тобто визначимо напруженість електричного поля всередині зарядженої кулі. Запишемо теорему Остроградського-Гауса для випадку неперервного розподілу електричного заряду.
(3.31)
Рис.3.5
або
(3.32)
В даному випадку і, тому
. (3.33)
Виходячи з міркувань симетрії випливає, що величина Е за модулем постійна у всіх точках сферичної поверхні S, тому винесемо Е за знак інтегралу:
. (3.34)
У формулі (3.34) інтеграл по замкненій поверхні рівний площі сферичної поверхні радіусом r а інтеграл по об’єму V рівний об’єму цієї ж сферичної поверхні, тому
, (3.35)
. (3.36)
Підставимо вирази (3.30), (3.35) і (3.36) у формулу (3.34):
. (3.37)
Отже всередині рівномірно зарядженої по об’єму кулі напруженість електричного поля прямо пропорційна відстані від центру кулі до даної точки.
Рис.3.6
4)Розглянемо випадок коли , тобто визначимо напруженість електричного поля ззовні зарядженої кулі (рис. 3.6). Запишемо теорему Остроградського-Гауса.
(3.38)
або
. (3.39)
Оскільки вектори імають однаковий напрямок то. Виходячи з міркувань симетрії можна стверджувати, що модульЕ однаковий в усіх точках поверхні S. Врахуємо також, що поверхня S охоплює кулю з зарядом q, тоді вираз (3.39) набере вигляду:
. (3.40)
Підставимо (3.35) в (3.40):
. (3.41)
Із формули (3.41) випливає, що ззовні зарядженої кулі напруженість електричного поля, так само як і для точкового заряду, обернено пропорційна квадратові відстані від центру кулі до даної точки простору.
Рис.3.7.
На рис. 3.7 зображено залежність напруженості електричного поля Е від відстані r .
5) Електричне поле нескінченої рівномірно зарядженої прямої.
Розглянемо нескінченно довгу пряму, рівномірно заряджену електричним зарядом з лінійною густиною заряду .
Рис.3.8.
. (3.42)
Лінійною густиною електричного заряду називається фізична величина рівна електричному зарядові одиниці довжини лінії вздовж якої він розподілений. У випадку рівномірного розподілу електричного заряду
(3.43)
де – електричний заряд який розподілений вздовж лінії довжиною.
В якості замкненої поверхні виберемо циліндричну поверхню радіусом r, висотою , вісь якої співпадає із зарядженою прямою, як зображено на рис. 3.8. Застосуємо теорему Остроградського-Гауса:
. (3.44)
Інтеграл по замкненій поверхні S запишемо як суму трьох інтегралів: по бічній поверхні, по першій і другій основах. Сумарний заряд, який охоплений поверхнею S, рівний зарядові на ділянці прямої довжиною . Із формули (3.43) цей заряд рівний:
. (3.45)
Підставимо (3.45) в (3.44):
Оскільки і, то одержимо:
.
З міркувань симетрії випливає, що модуль Е є однаковим в усіх точках бічної поверхні. Тому винесемо Е за знак інтегралу:
. (3.46)
Інтеграл по бічній поверхні рівний площі цієї поверхні:
. (3.47)
Підставимо (3.47) у (3.46):
. (3.48)
З цієї формули випливає, що напруженість електричного поля, створеного нескінченою рівномірно зарядженою прямою обернено пропорційна до відстані між даною точкою простору і прямою. Ця формула справедлива також для нескінченого прямого рівномірно зарядженого циліндра.