7)Продовження

. (3.71)

Підставимо (3.59) в (3.71), отримаємо:

. (3.72)

Проінтегруємо вираз (3.72) вздовж кривої при переміщенні із точки 1 в точку 2

. (3.73)

Формула (3.73) визначає зв’язок між різницею потенціалів і напруженістю електричного поля.

Підставимо вираз (3.73) у формулу (3.61). Отримаємо зв’язок між роботою при переміщенні електричного заряду в електричному полі та різницею потенціалів

. (3.74)

Нехай точковий електричний заряд переміщується під дією електричного поля з напруженістювздовж осі. Тоді згідно із формулою (3.72) одержимо

, (3.75)

де – проекція векторана вісь.

Із формули (3.75) одержимо

.

Якщо потенціал електричного поля є функцією не лише координатиа також і координаті, то в останній формулі слід використати поняття частинної похідної. Тоді формула набере вигляду

. (3.76)

подібні формули можна отримати і при переміщенні заряду вздовж осей координат і:

, (3.77)

. (3.78)

Виразимо вектор напруженості електричного поля через його проекції на осі координат

, (3.79)

де – орти.

Підставимо (3.76), (3.77) і (3.78) у формулу(3.79)

. (3.80)

Формула (3.80) визначає зв’язок між напруженістю електричного поля і потенціалом. Цю формулу можна представити в більш компактному вигляді використовуючи поняття векторного диференціального оператора градієнт

. (3.81)

Використовуючи (3.81) формулу (3.80) можна представити у вигляді

(3.82)

Нехай точковий електричний заряд взаємодіє з іншими точковими електричними зарядами. Тоді його потенціальна енергія рівна сумі потенціальних енергій взаємодії з кожним із зарядів

. (3.83)

Поділимо рівність (3.83) на

. (3.84)

Використовуючи означення потенціалу (3.68) формулу (3.83) можна записати у вигляді

. (3.85)

Із формули (3.85) випливає, що потенціал електричного поля, створеного системою зарядів, рівний сумі потенціалів полів, створених кожним із зарядів зокрема.

Для графічного зображення електричних полів поряд із силовими лініями використовуються еквіпотенціальні поверхні. Еквіпотенціальною поверхнею називається така поверхня, в кожній точці якої потенціал електричного поля має однакове значення. Тобто еквіпотенціальна поверхня - це поверхня однакового потенціалу. Силові лінії електричного поля перпендикулярні до еквіпотенціальних поверхонь. На рис.3.12 зображено силові лінії та еквіпотенціальні поверхні точкового позитивного заряду.

Рис.3.12

8) Розрахунок потенціалу електричного поля деяких заряджених тіл

Знайдемо потенціали електричних полів деяких заряджених тіл.

а). Потенціал поля рівномірно зарядженої кулі.

Розглянемо кулю радіусом , рівномірно заряджену по об’єму з об’ємною густиноюі загальним зарядом( рис.3.13 ).

Рис. 3.13

Знайдемо різницю потенціалів між двома точками простору 1 і 2 на відстані івід центру кулі в середині кулі. Використаємо формулу різниці потенціалів (3.73)

.(3.86)

Підставимо вираз (3.37) напруженості електричного поля всередині зарядженої кулі у формулу (3.86)

(3.87)

Знайдемо різницю потенціалів між двома точками простору 1 і 2 на відстані івід центру кулі ззовні куліі, як зображено на рис. 3.14.

Рис.3.14

Підставимо вираз (3.41) напруженості електричного поля ззовні від зарядженої кулі у формулу (3.86)

. (3.88)

Формула (3.88) справедлива також і для точкового електричного заряду .